Polynom vierten Grades

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In der Algebra ist ein Polynom vierten Grades eine Funktion der Form

mit ungleich Null.

Eine quartische Gleichung oder Gleichung vierten Grades ist dann eine Gleichung der Form

mit .

Lösung der Gleichung vierten Grades durch Radikale (Wurzelausdrücke)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Natur der Lösungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für die quartische Gleichung

mit reellen Koeffizienten a,b,c,d,e und a ≠ 0 ist die Natur der Wurzeln (der Lösungen) im Wesentlichen gegeben durch das Vorzeichen der sogenannten Diskriminante

Zusätzlich muss man noch vier weitere Polynome betrachten. Man erhält dann Information, wie viele Nullstellen reell und wie viele komplex sind.

Allgemeine Formeln für die Wurzeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Volle Lösungsformel. Zu kompliziert, um wirklich nützlich zu sein.[1]

Die vier Wurzeln , , und der allgemeinen quartischen Gleichung

mit a ≠ 0 ergeben sich aus der folgenden Formel.

mit p und q wie folgt

wobei

(falls oder , siehe unter Spezialfälle der Formel unten)

hierbei ist

und

wobei die oben genannte Diskriminante ist. Für die in auftretende dritte Wurzel, kann jede beliebige der komplexen dritten Wurzeln genutzt werden.

Spezialfälle der Formel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Falls und muss das Vorzeichen von so gewählt werden, dass .
  • Falls muss die Wahl der dritten Wurzel in der Definition von so geändert werden, dass Dies ist immer möglich, außer wenn das Polynom vierten Grades als faktorisiert werden kann, wodurch die Lösungen gegeben sind.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Quartic formula as four single equations. In: PlanetMath. (englisch)