Rationaler Funktionenkörper

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Ein Rationaler Funktionenkörper ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Algebra. Dieses Objekt hat die algebraische Struktur eines Körpers.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der rationale Funktionenkörper ist der Quotientenkörper des Polynomrings über einem Körper . Die Konstruktion von ist analog zu jener der rationalen Zahlen aus den ganzen Zahlen. Die Elemente können also als mit Polynomen , wobei nicht das Nullpolynom ist, geschrieben werden.

Anmerkungen und Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Namensgebung ist traditionell, aber mit etwas Vorsicht zu genießen:

  • Erstens muss man die Unterschiede zwischen Polynomen und Polynomfunktionen betrachten. Jedes Polynom induziert eine Polynomfunktion, aber die Zuordnung Polynom Polynomfunktion ist nur dann injektiv, wenn der Körper unendlich ist. Beispiel: Ist der Körper mit 2 Elementen, so induzieren und die gleiche Funktion auf . Trotzdem sind sie als Elemente des rationalen Funktionenkörpers nicht gleich.
  • Zweitens hat in der Regel der Nenner Nullstellen. Dementsprechend ist die rationale Funktion nicht auf ganz definiert, sondern nur auf einer Zariski-offenen Teilmenge.

Beispiel: Für gilt zwar als rationale Funktion auf im Sinne der obigen Definition – aber der Definitionsbereich ist leer.

Die Körpererweiterung ist rein transzendent und damit insbesondere unendlich. Es lässt sich mit Hilfe der verallgemeinerten Partialbruchzerlegung sogar eine -Basis des -Vektorraums angeben.

In mehreren Variablen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der rationale Funktionenkörper in den Variablen ist analog definiert als der Quotientenkörper des Polynomrings .

Konstruktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der rationale Funktionenkörper kann durch sukzessives Adjungieren einer Variablen und anschließendes Bilden des Quotientenkörpers konstruiert werden. Also:

ist der Quotientenkörper des Polynomrings , also des Polynomrings über dem Körper in der Variable

Funktionenkörper in der algebraischen Geometrie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der algebraischen Geometrie werden Funktionenkörper von affinen Varietäten betrachtet: Sei der Körper algebraisch abgeschlossen und eine affine Varietät im . Dann ist das Ideal ein Primideal im Polynomring , weshalb der Koordinatenring , d. h. der Quotientenring , ein Integritätsbereich ist.

Der Quotientenkörper des Koordinatenrings heißt dann Funktionenkörper von . Seine Elemente heißen rationale Funktionen auf und dürfen tatsächlich als Funktionen auf (nicht leeren) offenen Teilmengen von betrachtet werden.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]