Direkte Summe abelscher Gruppen

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Der Begriff direkte Summe abelscher Gruppen verallgemeinert den Begriff der direkten Summe von Vektorräumen. Er ist von großer Bedeutung für die Theorie abelscher Gruppen. Kann eine Gruppe in eine direkte Summe zerlegt werden, so wird dadurch die Struktur der Gruppe auf einfachere Gruppen zurückgeführt. Neue Gruppen können aus den direkten Summanden gebildet werden. Die meisten Struktursätze machen eine Aussage über eine direkte Zerlegung von Gruppen.

Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die abelsche Gruppe heißt genau dann direkte Summe zweier Untergruppen , , wenn folgende zwei Bedingungen erfüllt sind.
  1. .
  2. .
In diesem Fall wird geschrieben . Dabei bezeichnet die Untergruppe, die nur das neutrale Element enthält.
  • Eine Untergruppe heißt direkter Summand, wenn es eine Untergruppe gibt mit: . In diesem Fall heißt Komplement von .
  • heißt direkt unzerlegbar, wenn und die einzigen direkten Summanden von sind.
  • Sei eine Familie von Untergruppen von . Die Gruppe heißt direkte Summe der , wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.
  1. . Die Familie erzeugt .
  2. Für jedes gilt: .
Es wird geschrieben: . Oder falls .[1]

Erläuterungen, einfache Sätze[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Es seien Untergruppen der abelschen Gruppe . Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
    • Es ist .
    • Jedes lässt sich eindeutig schreiben als mit .
    • Es ist und aus mit folgt .
  • Ist , so haben die beiden Endomorphismen und die folgende Eigenschaft: und . Dabei ist die Identität auf .

Homomorphismen liefern eine Möglichkeit, direkte Summanden zu kennzeichnen und zu erkennen:

  • Seien Homomorphismen. Dann gilt:
  1. ist ein Monomorphismus und ist ein Monomorphismus.
  2. Ist ein Epimorphismus, dann ist .
  3. ein Isomorphismus, dann ist .[2]
  • Für eine Untergruppe sind folgende Aussagen äquivalent:
  1. ist direkter Summand in .
  2. Es gibt einen Endomorphismus mit: und .
  3. Ist die Inklusionsabbildung, so gibt es einen Homomorphismus mit .

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • ist direkter Summand in jeder Gruppe.
  • Es sei die zyklische Gruppe mit der zugehörigen Addition. Es sei . Dann ist . Es sind und Untergruppen von . Ihr Durchschnitt ist und ihre Summe ist . Es ist beispielsweise .
  • Die Gruppen der ganzen Zahlen und der rationalen Zahlen sind unzerlegbar. Ist eine Primzahl, so ist direkt unzerlegbar.
  • Hat die abelsche Gruppe eine größte Untergruppe , dann ist direkt unzerlegbar. Ist eine Primzahl, so hat die größte Untergruppe . Also ist direkt unzerlegbar.
  • Sind teilerfremde ganze Zahlen, so ist .
  • Das letzte Beispiel hat eine starke Verallgemeinerung: Sei eine Gruppe und mit . Außerdem sei mit teilerfremden . Dann ist .
  • Ist , so ist , wobei ist. Das Komplement von ist keineswegs eindeutig bestimmt. Es ist zum Beispiel auch für alle .
  • Das letzte Beispiel gilt allgemeiner. Sei eine natürliche Zahl. die Menge der - Tupel mit Komponenten aus . Weiter sei das Tupel, das an der Stelle eine hat und an anderen Stellen . Dann ist .
  • Um zu bestimmen, ob eine Untergruppe von direkter Summand ist, gibt es ein einfaches Kriterium:
Sei . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
  1. ist direkter Summand in .
  2. Es gibt mit .

Die Eigenschaft 2. des letzten Satzes hat eine geometrische Bedeutung: Die Untergruppe ist genau dann direkter Summand in , wenn es einen Vektor gibt, so dass ein Parallelogramm vom Flächeninhalt 1 aufspannen.

  • Die letzte Aussage lässt sich verallgemeinern. Ist so gilt: ist genau dann direkter Summand in , wenn die Zahlen den größten gemeinsamen Teiler haben.

Primäre Gruppen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der folgende Satz macht eine Aussage über die Zerlegung von Torsionsgruppen. Dazu wird definiert: Sei eine Primzahl. Die Gruppe heißt -primär genau dann, wenn es zu jedem ein gibt mit . Die Summe aller -primären Untergruppen einer Gruppe ist -primär. Es ist die größte -primäre Untergruppe von . Sie wird mit bezeichnet und heißt -Primärkomponente von . Es gilt:

Ist eine Torsionsgruppe, so ist . Es ist direkte Summe seiner Primärkomponenten.

Universelle Eigenschaft[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Sei für zwei Untergruppen und die kanonischen Inklusionen. Es sind äquivalent:
  1. .
  2. Zu je zwei Homomorphismen gibt es genau einen Homomorphismus mit für .

Die zweite Aussage des Satzes ist die sogenannte universelle Eigenschaft der direkten Summe. Sie gilt für beliebige Indexmengen.

  • Sei eine Familie von Untergruppen mit . Und seien die Inklusionen. Dann sind äquivalent:
  1. Es ist .
  2. Zu jeder Familie von Homomorphismen gibt es genau ein mit . Das heißt folgendes Diagramm ist für alle kommutativ.
Koprodukt-mehrer-Komponenten.svg
  • Seien und zwei abelsche Gruppen mit und . Gibt es zu jeder Familie genau ein mit und genau ein mit , so sind und isomorph.

Einige Struktursätze[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Satz: Ist ein Homomorphismus, so ist mit und .
  2. Satz: Jede Untergruppe von ist direkte Summe von höchstens zyklischen Untergruppen.
  3. Satz: Ist torsionsfrei und von Elementen erzeugt, so gibt es einen Monomorphismus .
  4. Folgerung: Ist eine von Elementen erzeugte torsionsfreie Gruppe, so gibt es ein , so dass isomorph zu ist.
  5. Ist endlich erzeugt, so ist die Torsionsuntergruppe direkter Summand von .

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. László Fuchs: Abelian Groups. Springer, ISBN 978-3-319-19421-9, S. 43.
  2. Frank W. Anderson Fuller Rings and Categories of Modules Springer, ISBN 0-387-97845-3, S. 66.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Da es recht mühsam ist die Beweise zu den Tatsachen in der angegebenen Literatur zusammen zu suchen sind hier Beweise zusammengestellt.