Diskussion:Atiyah-Singer-Indexsatz

Der Artikel ist eine Übersetzung aus der englischen wiki vom März/April 2007. Habe noch vor weitere Teile zu übersetzen (Hauptautor ist glaube ich Charles Matthews). Der englische Artikel scheint mir relativ gut zu sein. Leider fehlt der Abschnitt über den Diffusionsgleichungs-Beweis noch. -- Claude J 12:36, 30. Mär. 2007 (CEST) Übersetzung abgeschlossen, Bearbeitung kann beginnen. Eventuell müsste Sektion durch Schnitt ersetzt werden. -- Claude J 19:02, 30. Mär. 2007 (CEST) Habe Sektion durch Schnitt ersetzt. Meines Erachtens ein wirklich guter Artikel. -- Martin , 25. Mai 2007 (nicht signierter Beitrag von 131.220.120.17 (Diskussion) )

Anwendung in der Physik

Die Einleitung erwähnt die "Anwendung in der theoretischen Physik". Doch wie schaut sie aus? Mir ist da vage was in Erinnerung: Die halbe Eulerzahl des $K6$ (Calabi-Yau-Raum) ist gleich der Anzahl der Familien von Elementarteilchen. Also wie bedingen sich die Spektren der Operatoren (Elementarteilchen) mit den topologischen Eigenschaften der zusätzlichen Dimensionen in Stringtheorien. Oder seh ich da was falsch? --Uweroehner 22:58, 24. Feb. 2010 (CET)

Ist einer der Anwendungen (siehe Blog von Lubos Motl [[1]], wobei er aus der Green-Schwarz-Witten-Bibel zitiert).--Claude J 11:53, 2. Aug. 2010 (CEST)

Pseudoinverse

Im Abschnitt über das Symbol eines Differentialoperators wird von der Pseudoinversen eines elliptischen Operators gesprochen. Die Verlinkung ist leider überhaupt nicht zielführend und erklärt wird das Wort hier auch nicht. --Christian1985 (Diskussion) 16:18, 2. Feb. 2011 (CET)

In der englischen Fassung, dessen Übersetzung das im Wesentlichen ist, steht jetzt en:Parametrix (oder Pseudoinverse).--Claude J 16:45, 2. Feb. 2011 (CET)

Ja das Wort Parametrix klingt schon vertrauter. Habe auf meiner Benutzerseite sogar noch einen sehr kurzen Artikel zu diesem Thema hier gefunden. Ich gucke mal ob ich den in absehbarer Zeit einstellen kann. --Christian1985 (Diskussion) 17:40, 2. Feb. 2011 (CET)

Atiyah-Singer-Indexsatz vs. Lokaler Indexsatz

Kann es sein, dass dieser Artikel zwei Sätze von Atiyah und Singer vermischt? Der Lokale Indexsatz besagt, dass topologischer Index, definiert über das ${\hat {A}}$-Geschecht und eine Krümmungsgröße, und Fredholm-Index für Dirac-Operatoren assoziiert zu einem Clifford-Zusammenhang gleich sind. Eine Verallgemeinerung dazu besagt, dass für jeden elliptischen Operator topologischer Index, definiert über Chern- und Todd-Klasse, gleich dem Fredholm-Index ist. Die Aussage die im Artikel dargestellt wird, ist die verallgemeinerte, die für jeden elliptischen Differentialoperator gilt. Bei den Beispielen sehe ich eigentlich nur Spezialfälle mit Dirac-Operatoren. Bei den Beweisstrategien ist der Absatz Atiyah-Singer-Indexsatz#W.C3.A4rmeleitungsgleichung auch erstmal eine Idee, um den Lokalen Indexsatz zu beweisen, ob man aus dieser Idee auch die Verallgemeinerung erhalten kann, weiß ich nicht. --Christian1985 (Diskussion) 17:05, 6. Mai 2012 (CEST)

2 kleine Stricherln - Korrekturanregungen

http://de.wikipedia.org/wiki/Atiyah-Singer-Indexsatz#Das_.C3.82-Geschlecht_und_der_Satz_von_Rochlin

4 dimensionalen ... (-8)-fachen ---------> 4-dimensionalen ... (–8)-fachen --Helium4 (Diskussion) 16:14, 23. Mai 2012 (CEST)

Kann man das ganze mal deutsch schreiben?

Der Artikel ist sicher gut, aber kann man solch komplexe mathematischen Sachen vielleicht auch so Schreiben oder durch entsprechende Verlinkungen auch für nicht studierte mathematisch interessierte verständlich machen?

Wikipedia soll ja auch eine allgemein zugängliches Nachschlagewerk sein und nicht in reine Fachliteratur abdriften.--88.153.184.211 03:08, 30. Mai 2012 (CEST)

Auf die Verständlichkeit wurde in diesem Artikel schon sehr viel Wert gelegt. Aber in der Mathematik gibt es nun mal viele Dinge, die man nicht so weit vereinfachen kann, dass Nichtstudierte sie verstehen können. Aus diesem Grund studiert man nämlich Mathematik. Fehlende Verlinkungen kann man sicher nachtragen, welche fehlen denn noch?--Christian1985 (Diskussion) 10:04, 30. Mai 2012 (CEST)

Ich habe mir mal den Spaß gemacht zu schauen, wie weit man als "studierter" (aber fachfremder) Mathematiker im Artikel kommt, und wollte eigentlich Christian schon zustimmen, dass der Artikel (für diese "Zielgruppe") recht gut geschrieben ist und auf Verständlichkeit geachtet wird, aber dann kommt als Hammer der Abschnitt Topologischer Index. Und da reißt es so abrupt ab, dass ich schon etwas enttäuscht bin. Es kann natürlich sein, dass der Begriff vom Niveau her so abgehoben ist, dass man sowieso keine Chance hat, wenn sich nicht schon jahrelang damit beschäftigt hat. Aber ich habe schon den Eindruck, dass der Artikel ab dort ziemlich "lieblos" wird und nur noch listenartig alles kurz definiert "damit's halt dasteht" oder auf andere Artikel voller Rotlinks verlinkt.

Vielleicht noch etwas konkreter (damit ihr seht, dass ich mich wirklich bemüht habe ;-): 1. Was ist das [X] hinten an der Formel? 2. Warum wird die Mannigfaltigkeit X in die Todd-Klasse Td eingesetzt, aber im verlinkten Artikel ein Vektorbündel? 3. Ich kann leider nicht mal nachvollziehen, wieso bei der Definition überhaupt eine Zahl herauskommt: ch(D) ist wohl ein Element aus H^k(X,Q) (Was ist überhaupt Q und wieso wird das in Thom-Raum nicht erklärt?) Wie wirkt das auf Td(X)? usw. -- HilberTraum (Diskussion) 21:16, 30. Mai 2012 (CEST)

Die (einfachere, weniger algemeine) Variante des Satzes, die ich von der Uni her kenne, kommt ohne die Todd-Klasse aus. Zugegeben den Abschnitt hier im Artikel verstehe ich auch nicht. Aber die danach folgenden Abschnitte sind doch wieder verständlicher? Die dort aufgeführten Beispiele hätten alle einen eigenen Artikel verdient, in dem sie genauer erklärt würden. Ich schaue mal, ob meine vorhandene Literatur die Todd-Klasse so erklärt, dass ich hier was verbessern kann. --Christian1985 (Diskussion) 22:06, 30. Mai 2012 (CEST)

Na ja, viel besser wird's danach mMn nicht mehr, aber vielleicht fehlt auch bei mir einfach etwas die Motivation weiterzudenken, wenn es um den topologischen Index geht, und man überhaupt keine Vorstellung hat, was das sein soll. Aber den Satz "Trotz seiner komplexen Formulierung kann der topologische Index im Allgemeinen gut berechnet werden" finde ich interessant. Könnte man das vielleicht noch etwas ausführen? Könnte man vielleicht das Kreisbeispiel nochmal aufgreifen und sagen, wie man dort den topologischen Index bekommt? Dass man zuerst eine einfachere Variante des Satzes bringt und dann erst die Verallgemeinerung, fände ich prima. -- HilberTraum (Diskussion) 22:31, 30. Mai 2012 (CEST)

Okey ich schaue mal, ob ich was verbessern kann. Deine zweite Frage kann ich Dir schonmal beantworten. Die Mannigfaltigkeit eingesetzt in die Todd-Klasse bedeutet, dass man die Todd-Klasse des Tangentialbündels nimmt. Das ist ein typische Notation in der Differentialgeometrie. --Christian1985 (Diskussion) 22:42, 30. Mai 2012 (CEST)

Die einfachere Version oder sagen wir besser, die weniger allgemeine Version hier noch zu ergänzen, macht den Artikel wohl auch nicht verständlicher, denn dazu braucht man die gewistete Krümmung eines Zusammenhangs. Und es gibt weder einen Artikel zur Krümmung bzgl. eines Zusammenhangs geschweige denn zur gewisteten Krümmung eines Zusammenhangs. Auch werden dafür vektorwertige Differentialformen benötigt. --Christian1985 (Diskussion) 00:35, 31. Mai 2012 (CEST)

Zu Deiner ersten Frage: Das [X] ist eine Art duales Objekt zu der davorstehenden Kohomologieklasse, so dass das Anwenden von [X] auf den Ausdruck davor eine reelle Zahl gibt, vergleiche dazu den englischen Artikel en:Fundamental homology class. Das ist wohl ein weiterer Artikel der in diesem Kontext fehlt. --Christian1985 (Diskussion)

Danke schon mal, Christian, für deine Mühe. Ich denke mal Q sollen wohl einfach die rationalen Zahlen sein, oder? Aber ich fürchte meine obige Einschätzung "Es kann natürlich sein, dass der Begriff vom Niveau her so abgehoben ist, dass man sowieso keine Chance hat, wenn sich nicht schon jahrelang damit beschäftigt hat." ist doch ziemlich zutreffend. Naja, vielleicht könnte man trotzdem noch die eine oder andere Erläuterung in den Artikel aufnehmen. Es scheint ja schon ein ziemlich wichtiger, herausragender Satz zu sein. -- HilberTraum (Diskussion) 09:33, 31. Mai 2012 (CEST)

Ja ich denke auch, dass mit Q die rationalen Zahlen gemeint sind. Weiter unten im Abschnitt wird das auch angedeutet. Und ja ich denke auch, dass man keine Chancen hat, den topologischen Index zu begreifen, wenn man sich nicht sehr ausführlich damit beschäftig. Um den lokalen Indexsatz (aus dem der Atiyah-Singer-Indexsatz in oben verlinker Form schnell folgt) mit allem drum und dran (Clifford-Algebra, asymptotische Entwicklung des Wärmeleitungskerns, McKean-Singer-Indexformel...) zu beweisen, hat in meinem Fall auch ein Semester nicht ausgereicht. Der letzte Teil des Beweises wurde im darauf folgenden Semester erläutert. Ich denke, das zeigt auch schon wie umfangreich das Thema ist.--Christian1985 (Diskussion) 15:18, 31. Mai 2012 (CEST)

Signatursatz von Hirzebruch

Ich habe den Abschnitt "Signatursatz von Hirzebruch" mal grundlegend überarbeitet. Ich denke man kann diesen mitlerweile in einen eigenen Artikel auslagern und ihn hier mittels Hauptartikel-Vorlage verlinken. Kann bitte den Abschnitt mal jemand gegenlesen, ob er verständlicher geworden ist. --Christian1985 (Diskussion) 23:40, 14. Jun. 2012 (CEST)

Du benuetzt auf einmal die Bezeichnung fredholm index, wo vorher durchgehend analytischer index verwendet wurde, auch wenn man im Artikel fredholm index erfaehrt dass beides identisch ist, waere eine einheitliche Bezeichnung im artikel besser.--Claude J (Diskussion) 06:11, 15. Jun. 2012 (CEST)

Ok, habe ich geändert. --Christian1985 (Diskussion) 09:29, 15. Jun. 2012 (CEST)

Referenz

Es fehlt, wie mir scheint, die Referenz zu dem Abschnitt 8.4 Wärmeleitungsgleichung bzw. diesem Satz: 1973 gaben Atiyah, Raoul Bott und Patodi einen neuen Beweis mit Hilfe der Wärmeleitungsgleichung (Diffusionsgleichung). Kann jemand die Referenz bitte nachtragen? Danke--Warboerde (Diskussion) 13:24, 11. Apr. 2013 (CEST)

Danke für die schnelle Bearbeitung und den Link zur Publikation. Freundlichen Gruss --Warboerde (Diskussion) 14:54, 11. Apr. 2013 (CEST)

Satz von Hirzebruch-Riemann-Roch

Inwiefern verallgemeinert dieser Satz den Satz von Riemann-Roch? Also, warum gibt seine Spezialisierung für Riemannsche Flächen den Satz von Riemann-Roch?—S. K. Kwan (Diskussion) 00:24, 1. Jun. 2018 (CEST)

Verallgemeinerungen

Im Abschnitt "Verallgemeinerungen" ist die Rede von der "Äquivarianten K-Theorie ersetzt (Atiyah, Bott)". Bezieht sich das auf den Atiyah-Bott-Fixpunktsatz? Wenn ja, dann wäre eine Verlinkung sinnvoll. Außerdem wäre eine passende Einbindung und Verlinkung zum Äquivarianten Indexsatz, der verwaist ist. Leon (Diskussion) 11:33, 31. Dez. 2022 (CET)