Familien-Indexsatz

In der Mathematik ist der Familien-Indexsatz eine Verallgemeinerung des Indexsatzes von Atiyah-Singer auf Familien von Differentialoperatoren, d. h. Faserbündel mit faserweisen Differentialoperatoren.

Topologischer und analytischer Index für Familien von Fredholm-Operatoren

Sei $E\to X$ ein Vektorbündel. Sei $\pi \colon Z\to Y$ ein Faserbündel mit Faser $X$ und $p\colon {\widetilde {E}}\to Z$ ein Faserbündel, so dass $\pi \circ p\colon {\widetilde {E}}\to Y$ ein Faserbündel mit Faser $E$ ist.

Für Vektorbündel $E,F$ über $X$ bezeichne mit ${\overline {{\mathcal {P}}^{m}}}(X,E,F)$ die Vervollständigung des Raums der Pseudodifferentialoperatoren $m$-ter Ordnung von $C^{\infty }(X,E)$ nach $C^{\infty }(X,F)$. Man kann dann ein Faserbündel ${\overline {{\mathcal {P}}^{m}}}(Z,{\widetilde {E}},{\widetilde {F}})$ über $Y$ mit Faser ${\overline {{\mathcal {P}}^{m}}}(X,E,F)$ konstruieren. Ein stetiger Schnitt dieses Bündels ist eine durch $X$ parametrisierte stetige Familie von Pseudodifferentialoperatoren. Eine solche Familie heißt elliptisch, wenn jedes $P_{y},y\in Y$ ein elliptischer Pseudodifferentialoperator ist. Weiter kann man ein „Symbolbündel“ $Symb(Z,{\widetilde {E}},{\widetilde {F}})$ und eine Symbolabbildung ${\overline {{\mathcal {P}}^{m}}}(Z,{\widetilde {E}},{\widetilde {F}})\to Symb(Z,{\widetilde {E}},{\widetilde {F}})$ konstruieren.

Nach dem Satz von Atiyah-Jänich entspricht eine durch $y\in Y$ parametrisierte Familie von Fredholm-Operatoren $P_{y}$ einem Element in $K(Y)$, der topologischen K-Theorie von $Y$. Dieses Element wird als $ind(P)$ bezeichnet. Es hängt nur vom Symbol $\sigma$ ab und kann deshalb auch als $ind(\sigma )$ bezeichnet werden. Durch $\sigma \to ind(\sigma )$ erhält man also für den Thom-Raum $TZ$ des Vektorbündels $Z$ eine Abbildung $K(TZ)\to K(Y)$, den „analytischen Index“ der Familie $P_{y}$.

Andererseits kann man den „topologischen Index“ der Familie $P_{y}$ definieren wie folgt. Nach dem Einbettungssatz von Whitney hat man eine Einbettung $X\to \mathbb {R} ^{k}$ und dann eine Einbettung $i\colon Y\to Z\times \mathbb {R} ^{k}$. Für die Thom-Räume erhält man einen Homomorphismus $i_{!}\colon K(TZ)\to K(Y\times T\mathbb {R} ^{k})$. Weiter hat man durch Bott-Periodizität einen Isomorphismus $j_{!}\colon K(Y)\to K(Y\times T\mathbb {R} ^{k})$. Die Abbildung $j_{!}^{-1}i_{!}\colon K(TZ)\to K(Y)$ ist der topologische Index.

Aussage des Familien-Indexsatzes

Der Familien-Indexsatz besagt, dass für eine Familie elliptischer Operatoren $P_{y},y\in Y$ über einem kompakten Raum $Y$ der analytische und topologische Index übereinstimmen.

Die kohomologische Version des Familien-Indexsatzes besagt

$ch(ind(P))=(-1)^{n}\pi _{*}(ch(u)\cdot {\mathcal {T}}(Z))$,

wobei $\pi _{*}\colon H^{*}(TZ)\to H^{*}(Y)$ der Gysin-Homomorphismus ist, $u\in K(TZ)$ die Klasse des Symbols von $P$, ${\mathcal {T}}(Z)$ die Todd-Klasse der Komplexifizierung von $Z$, und $n=dim(X)$. Anders als beim Atiyah-Singer-Indexsatz ist die kohomologische Version hier nicht äquivalent, sondern schwächer als der Familien-Indexsatz, da der Chern-Charakter $ch\colon K(Y)\to H^{*}(Y,\mathbb {Q} )$ nicht injektiv sein muss.

Literatur

• J.-M. Bismut: The index theorem for families of Dirac operators: two heat equation proofs. Invent. Math. 83, 91–151, 1986
• Kapitel 10 in N. Berline, E. Getzler, M. Vergne: Heat Kernels and Dirac Operators. Paperback Ed., Grundlehren Text Editions. Berlin: Springer, 2004