Proendliche Zahl

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In der Algebra und Zahlentheorie ist eine proendliche Zahl (auch pro-endliche Zahl, proendliche Ganzzahl oder profinite (Ganz)zahl, englisch: profinite integer) durch die Reste (Restklassen) festgelegt, die sie in allen ganzzahligen Restklassenringen bildet. Damit ist sie ein Element aus der proendlichen Vervollständigung (gesprochen: Zett-Dach) der Gruppe der ganzen Zahlen .[1][2] Die (rationalen) Ganzzahlen lassen sich vermöge des kanonischen injektiven Homomorphismus

in die proendlichen Zahlen einbetten. Dabei wird die Zahl in allen Restklassenringen auf das dortige abgebildet. Dieses „erzeugt“ gewissermaßen

Die so eingebetteten ganzen Zahlen liegen dicht in den proendlichen ganzen Zahlen [3][4] Sie sind in Folgen von Restklassen, und bei den Eigenschaften bspw. einer solchen 1 oder 2 kommt es (wie häufig in der Abstrakten Algebra) nur auf diejenigen an, die sie in ihren Verknüpfungen haben.

Die Galois-Gruppe des algebraischen Abschlusses eines endlichen Körpers über diesem Körper ist isomorph zu

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die proendliche Vervollständigung der Gruppe der ganzen Zahlen ist

          (projektiver oder inverser Limes).

Die Bildung eines projektiven Limes erfordert ein sog. projektives System bestehend aus einer gerichteten Indexmenge, die eine Folge von Objekten indiziert, und Übergangsmorphismen zwischen diesen Objekten. Für nimmt man als gerichtete Indexmenge die natürlichen Zahlen die durch die Teilbarkeitsrelation partiell geordnet sind, und als Folge von Objekten die Folge der endlichen zyklischen Gruppen Zu jedem und jedem gibt es den Gruppenhomomorphismus (die „Restklassenabbildung“, die „natürliche Surjektion“)

der wegen wohldefiniert ist. Diese Homomorphismen nimmt man als Übergangsmorphismen zwischen den Objekten. Sie bilden einen Erzeuger von in einen von ab und sind für in einer Weise, nämlich

also

verträglich, wie es für das projektive System und die Bildung des projektiven Limes erforderlich ist.

Im projektiven Limes werden diejenigen Familien von Restklassen zusammengefasst, deren Komponenten miteinander verträglich sind, bei denen also für alle mit gilt:

was durch die Kongruenzen

erfüllt wird. In einer Formel geschrieben ergibt sich:

Eine Elementefamilie, die die Verträglichkeitsbedingungen erfüllt, die also zum projektiven Limes gehört, wird manchmal auch als „Faser“ bezeichnet.

Die komponentenweise definierte Addition ist stetig. Dasselbe gilt in zusätzlich für die Multiplikation. Dadurch wird zu einer topologischen additiven Gruppe und zu einem topologischen Ring mit 1.

Die natürliche Topologie auf ist die Limestopologie, d. i. die von den diskreten Topologien auf den induzierte Produkttopologie. Diese Topologie ist mit den Ringoperationen verträglich und wird auch Krulltopologie genannt. Gleichzeitig ist die abgeschlossene Hülle von im Produkt was die Dichtheit von in impliziert.

Alternative Konstruktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Ring der ganzen Zahlen kann auch in „klassischer“ Manier über eine uniforme Struktur vervollständigt werden. Sei dazu für

eine Nachbarschaft (der Ordnung ). Die Menge ist ein (abzählbares) Fundamentalsystem[5] und der zugehörige Filter

eine uniforme Struktur für . Die Forderungen an sind leicht verifiziert:

(1) Jede Nachbarschaft und jedes enthält die Diagonale
(2) Ist und , dann ist
(3) Ist , dann ist auch
(4) Zu jedem gibt es ein mit .[6]
(5) Ist , dann ist auch

Die Menge der Cauchy-Netze in ist

welche mit der komponentenweisen Addition eine Gruppe ist. Die Vervollständigung der ganzen Zahlen bezüglich der uniformen Struktur der Teilbarkeit ist die Faktorgruppe der Cauchy-Netze modulo den Nullfolgen (genauer: den Folgen, die Nullnetze bzw. Cauchy-Netze mit Limes sind).[7]

erweist sich als isomorph zu

Beweis  
Sei eine Familie von verträglichen Restklassen, also
,

und sei , dann ist für alle mit

,

die Folge der Repräsentanten also ein Cauchy-Netz.

Ist umgekehrt eine Folge von ganzen Zahlen, die ein Cauchy-Netz ist im Sinne der oben definierten uniformen Struktur, dann gibt es zu jedem ein , so dass für alle mit gilt

.

Nimmt man jetzt , dann ist

für alle mit . Die Teilfolge hat denselben Grenzwert wie die ursprüngliche Folge, repräsentiert also dasselbe Element . Ist nun , dann ist für alle mit auch und , also

.

Damit erfüllt die Folge von Restklassen die Verträglichkeitsbedingungen und ist eine Familie

.
Ergebnis
Man kann von Folgen von Restklassen zu den Folgen ihrer Repräsentanten übergehen – wie man auch umgekehrt aus einem Cauchy-Netz von Ganzzahlen durch Beigabe von Moduln eine Folge von Restklassen machen kann, die dieselbe proendliche Zahl ausmacht.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Menge der proendlichen Zahlen ist überabzählbar.
Kommutatives Diagramm zum Ring der proendlichen Zahlen
  • Der projektive Limes zusammen mit den Homomorphismen
den kanonischen Projektionen (des projektiven Limes), hat die folgende universelle Eigenschaft:
Für jede Gruppe und Homomorphismen für die für alle gilt, existiert ein eindeutig bestimmter Homomorphismus so dass gilt.
Universelle Eigenschaft des Einbettungs-
isomorphismus
  • Der natürliche Homomorphismus hat die folgende universelle Eigenschaft:
Für jeden Homomorphismus in eine proendliche Gruppe gibt es einen (bezüglich der Krulltopologie) stetigen Homomorphismus mit
(mit als der Menge der natürlichen Primzahlen) von zum direkten Produkt der p-adischen Zahlringe die ihrerseits projektive Limites
sind.[9] Bei der Umkehrfunktion des Isomorphismus lässt sich zu einem beliebigen Vektor mit Komponenten das Urbild (eindeutig) mithilfe des chinesischen Restsatzes bestimmen, der in einem erweiterten iterativen Verfahren, ähnlich dem im Beweis der Dichtheit im Artikel Limes (Kategorientheorie) gebrachten, angewendet wird.[10]
Wie im projektiven Limes geschehen Addition und Multiplikation im direkten Produkt komponentenweise. Das bedeutet, dass es Nullteiler gibt in und keinen Quotientenkörper haben kann.
Für jede Primzahl bezeichne
die kanonische Projektion (des direkten Produktes). Angewendet auf die Injektion
         
Komponente
erfüllt sie Die Komposition dagegen entspricht der Multiplikation
           
mit
 
Komponente
  • Eine in konvergente Zahlenfolge konvergiert auch in jedem proendlichen Unterring und umgekehrt. Die Konvergenz für ein einzelnes genügt allerdings nicht. Beispiel: Die Folge die in gegen konvergiert, divergiert sowohl in für Primzahlen ungleich wie auch in Denn ist die Ordnung von in der multiplikativen Gruppe des endlichen Körpers, dann gilt für alle und
Topologie

Die Produkttopologie auf ist die gröbste Topologie (die Topologie mit den wenigsten offenen Mengen), bezüglich der alle Projektionen stetig sind.

Diese Topologie fällt mit der oben erwähnten Limestopologie zusammen und wird Krulltopologie genannt. Da der die Isomorphie etablierende Isomorphismus gleichzeitig in beiden Richtungen stetig unter den beiderseitigen Topologien ist, ist er zusätzlich ein Homöomorphismus.

Darstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Entwicklung einer proendlichen Zahl beinhaltet (wie die einer reellen) im Normalfall unendlich viele Symbole. Die solche Symbolfolgen bearbeitenden Algorithmen können davon nur endliche Anfangsstücke abarbeiten. Bei einem Abbruch ist eine Angabe über die Größenordnung des Fehlers wünschenswert, ähnlich den p-adischen Zahlen, bei denen die letzte ausgeworfene Ziffer genau ist.

Darstellung als direktes Produkt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Darstellung einer proendlichen Zahl als direktes Produkt

ist ein in zwei Dimensionen unendlicher[11] „Vektor“. Bei dieser Darstellung sind viele algebraisch-zahlentheoretiche Eigenschaften von anhand der Eigenschaften in den gut erkennbar.[12]

Darstellung als unendliche Reihe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im projektiven Limes kann man die Halbordnung der Teilbarkeitsrelation durch eine lineare Ordnung ersetzen. Sei dazu mit der „Stellenwert“ (das Gewicht) an der Stelle und mit die „Basis“. Dann ist[13]

wobei jedes Element eine unendliche Familie

 

von Restklassen ist. Jeder solche Repräsentant lässt sich als Teilsumme

     
       

einer Reihe mit „Ziffern“     in einer Stellenwertnotation mit mehreren Basen schreiben.[14][15]

Die Indizierung ist so gewählt, dass die Ziffer Repräsentant einer Restklasse ist – mit einem um 1 höheren Index – und das Folgenglied Repräsentant einer Restklasse dem „Modul“ (an der Stelle ).[16]

Algorithmus  
In der Induktionsannahme seien für die Ziffern der Darstellung schon derart bestimmt, dass

Im Induktionsschritt komme die Forderung

hinzu, die für alle Teiler die Verträglichkeitsbedingung

mit einer der kanonischen Projektionen des projektiven Limes erfüllt. Es sollen aber die bereits etablierten Kongruenzen erhalten bleiben, d. h.

gelten. Der erweiterte euklidische Algorithmus

liefert zu den beiden Moduln und neben dem größten gemeinsamen Teiler zwei Zahlen mit

Wegen gilt ähnlich wie in

was zusammengenommen

ergibt. Also lässt sich und

bilden, so dass mit

sowohl

als auch

gilt, wie es sein soll.     ■
Die gezeigte Wahl von führt zum System A003418 der kleinsten gemeinsamen Vielfachen und zum System A051451, während eine Wahl mit dem -fachen Modul und beliebigem zum fakultätsbasierten System führt.

Der Algorithmus vereinigt in jedem Induktionsschritt in Anwendung des chinesischen Restsatzes (unter Zuhilfenahme des erweiterten euklidischen Algorithmus) zwei (simultane) Kongruenzen zu einer neuen, die zu den beiden Ausgangskongruenzen äquivalent ist. (Im Fall nicht-teilerfremder Moduln wird die Lösbarkeit durch die Verträglichkeitsbedingungen des projektiven Systems stets garantiert.) Das Verfahren wirft unabhängig von der Wahl des Basissystems pro Schritt ein Folgenglied einer unendlichen Reihe aus.

Werden umgekehrt Ziffern mit     frei gewählt, dann stellt die mit ihnen und dem gegebenen Basissystem gebildete unendliche Reihe eine (eindeutige) proendliche Zahl dar.

Kofinale Folge[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Diese Reihe ist nur dann bei jedem beliebigen eine Stellenwertentwicklung, wenn das gegebene Basissystem jede Primzahl unendlich oft enthält, d. h. wenn die Folge der Moduln kofinal in [17] und monoton (wachsend)[18] ist.[11] Dies ist beim System der Fakultäten, dem A003418- und dem A051451-basierten System der Fall. Die Monotonie vermeidet Basen und ist wachsend, da das interessante, das offene Ende von bei den großen Zahlen ist.

Fakultätsbasiert[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im fakultätsbasierten Zahlensystem (engl. factorial number system) werden als Moduln die Fakultäten [19] und damit als Basen gewählt. Lenstra gibt für die Symbolfolge

–1 = … 1010998877665544332211
    = (… 10987654321)!

und kennzeichnet sie mit dem tiefgestellten Rufzeichen. Dabei ist die Ziffer 1 ganz links wie in Lenstra Profinite Fibonacci numbers. S. 297 hochgestellt, um auszudrücken, dass sie (ggf. zusammen mit anderen hochgestellten Ziffern) bis einschließlich zur nächsten normal geschriebenen Ziffer rechts davon zu einer Dezimalzahl gehört, welche eine einzige Stelle der Darstellung ausmacht. Die Aufschreibung im Horner-Schema ist:

    = (((((((((( 10)·10+9)·9+8)·8+7)·7+6)·6+5)·5+4)·4+3)·3+2)·2+1)·1
    = 11! – 1 = 39916799 ≡ –1 (mod 39916800 = 11!).[20]

Proendliche Zahlen haben in dieser Darstellung abhängig von ihrem Rest mod 24=4·3·2 die folgenden Entwicklungen in den ersten (rechtesten) 3 Stellen:

xx (mod 24) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
  (z3 z2 z1)!   000  001  010  011  020  021  100  101  110  111  120  121  200  201  210  211  220  221  300  …

Die Wahl der Fakultäten als Moduln bei der fakultätsbasierten Darstellung bevorzugt die Produkte kleiner Primfaktoren, ganz besonders des Primfaktors 2.

A003418- bzw. A051451-basiert[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die folgende Wahl der Basen und Moduln erzeugt Darstellungen, bei denen die natürlichen Zahlen umgekehrt proportional zu ihrer Größe bevorzugt werden.

Sei dazu zunächst für jedes

(kleinstes gemeinsames Vielfaches) das Produkt der maximalen Primzahlpotenzen .[21] In Zahlen ausgerechnet ergibt sich mit

P:= ( P1, P2, P3, P4, P5, P6, P7, P8, P9, P10, … )
= ( 1, 1·2=2, 2·3=6, 6·2=12, 12·5=60, 60·1=60, 60·7=420, 420·2=840, 840·3=2520, 2520·1=2520, … )

die Folge A003418 in OEIS.[22]

Wählt man für die Darstellung als Moduln, dann sind die zugehörigen Basen Ist keine Primzahlpotenz, dann ist Ist aber eine Primzahlpotenz, etwa dann ist eine Primzahl.

Das Beispiel

–1 = … 101032217610542132211
    = … 10021604121,

im Horner-Schema

    = (((((((((( 10)·1+0)·3+2)·2+1)·7+6)·1+0)·5+4)·2+1)·3+2)·2+1)·1
    = P12 – 1 = 27719 ≡ –1 (mod 27720 = P12),

gibt die Darstellung von –1 (mit nur Ziffern oder mit den Ziffern fett und den Basen normal gedruckt). Dabei ist die Ziffer 1 ganz links wie in Lenstra Profinite Fibonacci numbers. S. 297 hochgestellt, um auszudrücken, dass sie zur selben Stelle gehört wie die nächste normal geschriebene Ziffer.

Lässt man die Basen =1 zusammen mit den zu ihnen gehörenden, verschwindenden Ziffern weg, so hat man

zu den Moduln
P9=2520, P8=840, P7=420, P5=60, P4=12, P3=6, P2=2, P1=1 
resp. zu den Basen
b9=3,       b8=2,       b7=7,       b5=5,       b4=2,       b3=3,       b2=2        
die Entwicklung
–1 = … 1
= … 103 22 17 65 42 13 22 11
= … 10 ·P9+   2 ·P8+   1 ·P7+   6 ·P5+   4 ·P4+   1 ·P3+   2 ·P2+   1 
= …, 27719, 2519, 839, 419, 59, 11, 5,
= …, P11 – 1, P9 – 1, P8 – 1, P7 – 1, P5 – 1, P4 – 1, P3 – 1, P2 – 1 
≡ –1 (mod Pn) für alle nN.

Die Moduln Pn dieser Darstellung machen (bei entsprechend angepasster Indizierung) die Folge A051451 in OEIS aus.[19]

Unterringe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Direkte Summe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Elemente im direkten Produkt , bei denen nur endlich viele Komponenten von 0 verschieden sind, fasst man in der direkten Summe

zusammen. Eine proendliche Ganzzahl dieser Art kann als -adische Entwicklung der Form

mit einer Basis     und Ziffern   aus   geschrieben werden. Man sagt, wird zur Basis notiert. Die -Darstellung lässt sich aus den -Darstellungen mit dem chinesischen Restsatz gewinnen.

Die Darstellung ist eindeutig und kommt ohne ein vor das Literal (die Zahlkonstante) gestelltes Vorzeichen aus. Für alle Basen ist

Alle diese Darstellungen zur Basis sind dieselben wie im Ring

der ein Unterring der direkten Summe ist.[23]

Aus dieser Darstellung lässt sich erkennen, dass (zu einem ) die Basis quadratfrei gewählt werden kann.

Primzahlpotenzen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für jede Primzahl und ist

.
Beweis  
Eine Familie von Restklassen aus dem projektiven Limes

erfüllt für alle die Kongruenzen

,

Kongruenzen, die

trivialerweise implizieren. Daraus folgt , also .

Ist umgekehrt eine Familie aus dem projektiven Limes , dann sind für alle die Kongruenzen

erfüllt. Die Familien von Restklassen

sind zwar eine Vergröberung der ursprünglichen Familien. Und sie erfüllen die Bedingungen . Da aber die Folge kofinal ist zu , ergeben sie denselben projektiven Limes.   ■

Die folgende Überlegung führt zum selben Ergebnis:
Ausgehend von der -adischen Darstellung

mit und kommt man über die Teilsummen direkt zu

,

was wegen die -adische Darstellung ist. Dieser Weg lässt sich auch umkehren – mit dem Ergebnis:

10-adische Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die 10-adischen Zahlen sind ein Beispiel für einen -adischen Ring, bei dem die Basis keine Primzahlpotenz ist. Sie werden als projektiver Limes

gebildet und sind ein Unterring der direkten Summe.

Ultrametrik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Auf dem Ring , ja auf ganz ,[24] lässt sich eine Ultrametrik definieren, die zu einem metrischen Raum mit der Krulltopologie macht.

Beweis  
Eine rationale Zahl lässt sich schreiben als mit ganzzahligen und einem zu und teilerfremden Zu jedem von 0 verschiedenen gibt es einen maximalen Exponenten mit dieser Eigenschaft. Analog zu wird auf ganz eine Funktion definiert als:[25]
für   ,
sonst.

Die Forderungen „Nicht-Negativität“ und „positive Definitheit“ aus der Zusammenstellung Betragsfunktion#Betragsfunktion für Körper sind leicht einzusehen. Die „Multiplikativität“ kann nicht erfüllt werden, da Nullteiler hat (s. Abschnitt #Nullteiler).[26] Die „Dreiecksungleichung“ ergibt sich so: Haben die 2 Zahlen und verschiedene Exponenten und dann hat die Summe den Exponenten Sind sie aber gleich, dann ist mit so dass der neue Exponent keinesfalls kleiner und der neue Betrag keinesfalls größer werden kann. Es gilt also

  ■

Eine solche Dreiecksungleichung nennt man verschärft. Die mithilfe dieser Funktion definierte Metrik

ist damit eine Ultrametrik. Die von ihr induzierte Topologie stimmt mit der durch die Filter definierten überein.

10-adisch zu 2-adisch und 5-adisch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ferner     und sind jeweilige Repräsentanten der Nebenklassen dann entspricht die Bedingung der Kongruenz

Daraus folgt aber für

so dass dieselben Repräsentanten sowohl eine proendliche 2-adische Zahlenfolge wie auch eine proendliche 5-adische Zahlenfolge ausmachen.

(2×5)-adisch zu 10-adisch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zu frei gewählten

  und    

gibt es ein eindeutig bestimmtes mit

  und        

Denn die 2 simultanen Kongruenzen

  und        

können wegen der Teilerfremdheit der Moduln für jedes mit dem chinesischen Restsatz (eindeutig) gelöst werden.   wird dadurch   festgelegt.

Nullteiler[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Endliche Zahlen (abbrechende Zahlfolgen) in den Ringen und liegen allesamt im Ring der ganzen Zahlen. Letzterer Ring enthält bekanntlich keine Nullteiler, genauso wenig die proendlichen Ringe und die ja Quotientenkörper besitzen, nämlich die 2-adischen Zahlen bzw. die 5-adischen Zahlen

Beispiel 1

Wie im Abschnitt #Eigenschaften ausgeführt, entspricht für ein die Projektion einer Multiplikation mit Sind zwei verschiedene Primzahlen, dann ist (komponentenweise Multiplikation in ). Das Produkt zweier proendlicher Zahlen kann also Null sein, auch wenn beide Faktoren von Null verschieden sind.

Der Algorithmus im Abschnitt Darstellung als unendliche Reihe liefert für

zu den Stellenwerten[27] 2520,  840,  420,  60,  12,  6,  2,  1
die A051451-Entwicklung
12 = … 1 ·P9+   1 ·P8+   0 ·P7+   1 ·P5+   3 ·P4+   1 ·P3+   1 ·P2+   1
=           …, 3465, 945, 105, 105, 45, 9, 3, 1

Die Glieder der Folge in der letzten Zeile sind ≡1 (mod 2n) und teilbar durch (im Limes immer höhere) Potenzen aller anderen Primzahlen.[28]

Für ergibt sich die A051451-Entwicklung

15 = … 8 ·P9+   2 ·P8+   0 ·P7+   5 ·P5+   3 ·P4+   0 ·P3+   0 ·P2+   0
=           …, 22176, 2016, 336, 336, 36, 0, 0, 0

Die Glieder der Folge in der letzten Zeile sind ≡1 (mod 5n) und teilbar durch zunehmend höhere Potenzen aller anderen Primzahlen.

Das Produkt     der beiden Folgen ist für wachsende Indizes durch immer höhere Potenzen von 10 teilbar, d. h. es konvergiert unter der Ultrametrik gegen 0.

Beispiel 2

Für sei und . Wegen

ist Teiler von . Das bedeutet, dass die Folge im Ring der 10-adischen Zahlen konvergiert. Ferner ist . Analoges gilt für .

Das Produkt ist offensichtlich durch beliebig hohe Potenzen von 10 teilbar, so dass in

Übrigens sind die beiden 10-adischen Zahlen idempotent, weil und zur Folge hat, dass und

Oberringe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Ring der proendlichen Rationalzahlen

 

umfasst , und Außerdem ist

 
   

der Ring der endlichen Adele.[29]

Das Produkt ist der Ring der ganzzahligen Adele.

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Sei eine Primzahl und der Körper mit Elementen. Da jede algebraische Erweiterung von zyklisch ist vom Grade die Galois-Gruppe also isomorph zu ist  , wobei den algebraische Abschluss von bedeutet. Dabei entspricht der Frobeniusautomorphismus
dem Erzeuger von [30]
  • der Endomorphismenring des Moduls
  • In additiven Gruppen können proendliche Vielfachheiten definiert werden, in multiplikativen proendliche Exponenten.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise und Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. In #Fried S. 14 Prüfer group (deutsch: Prüfergruppe) genannt. (S. a. Teilbare Gruppe)
  2. #Gille 3. Die proendliche Vervollständigung von
  3. Beweis im Artikel Limes (Kategorientheorie)
  4. Trotzdem gibt es keine mit den Ringoperationen verträgliche Anordnung von : Die proendlichen Zahlen können also nicht angeordnet werden. (Das gilt auch schon für die p-adischen Zahlen.)
  5. Im Abschnitt Pseudometrik#Definition einer Spanne durch eine uniforme Struktur wird ausgehend von einer uniformen Struktur, hier unter Zuhilfenahme der Abzählbarkeit des Fundamentalsystems eine Pseudometrik konstruiert, die ihrerseits wieder induziert.
    Es gibt jedoch sogar eine Metrik, die die uniforme Struktur induziert:
    Sei dazu
    für   ,
    sonst.
    der „!-Wert“ eines . [ misst die Nähe zur Null (den Grad der Teilbarkeit) von durch Teiler der Form (gesprochen: enn Fakultät) – in Analogie zum -Wert in den Ringen der den maximalen Exponenten bei der Teilbarkeit durch angibt, oder auch zu (s. Lenstra Profinite number theory. S. 21) in den archimedischen Systemen.]
    Dann gilt für mit
    mit passenden und woraus Der symmetrische Fall führt zu Beide Fälle zusammen ergeben
    Die damit gebildete Abstandsfunktion
    erfüllt die Forderungen für eine Metrik und ist eine Ultrametrik:
    (1) Positive Definitheit:   und  
    (2) Symmetrie:
    (3) Verschärfte Dreiecksungleichung:

    Diese Metrik ist wie die uniforme Struktur im Text durch den Grad der Teilbarkeit definiert, so dass sie als uniforme Strukturen übereinstimmen.

    NB: Die Folge ist kofinal in . Und jede monotone kofinale Folge definiert eine Metrik mit derselben uniformen Struktur.

  6. Denn es ist
  7. Diese Nullnetze sind genau die monotonen in kofinalen Netze, denn
  8. #Brugger Satz 7.2.
  9. s. Artikel Limes (Kategorientheorie)
  10. Eine Implementierung dazu ist der #Algorithmus mit dem System A003418 der kleinsten gemeinsamen Vielfachen.
  11. a b Der hier vorkommende Ordnungstyp ist nicht sondern der in zwei Dimensionen (der Folge der Primzahlen und der Folge der Exponenten) unendliche Ordnungstyp
    d. s. die Vektoren
      mit   für fast alle
    Die Ordnungsrelation in geht komponentenweise
    Als abzählbarer Ordnungstyp enthält er kofinale Teilfolgen.
  12. Lenstra Profinite number theory. S. 17
  13. vorausgesetzt, zu jeder Primzahlpotenz gibt es unter den Stellenwerten ein Vielfaches,
  14. Wie bei allen Stellenwertnotationen üblich, b-adischen wie p-adischen, notiert man die kleinen Exponenten auf der rechten Seite der Zeile. Dort starten auch die meisten Algorithmen, insbesondere Addition und Multiplikation. Die p-adischen und die proendlichen Zahlen setzen sich nach links hin zu den höheren Exponenten potentiell bis ins Unendliche fort.
  15. Im Unterschied zu den Notationen mit gleichbleibender Basis wechseln die Basen von Stelle zu Stelle, hängen aber von nichts als der Nummer der Stelle ab. Wenn sie mitnotiert werden, sind sie so fix wie eine Skalenteilung an einer Koordinatenachse.
  16. Dies ist in Einklang mit der Konvention bei fakultätsbasierten Zahlensystemen (so auch bei Lenstra Profinite Groups Example 2.2).
  17. a b Diese Folge ist streng monoton kofinal in
  18. Werden die Basen (oder Moduln) mitnotiert, dann sind damit auch die Restklassen angegeben, auf die sich die Zwischensummen beziehen. Dies gilt auch für Notationen, bei denen die Basen anderweitig bekannt gemacht sind oder erschlossen werden können.
  19. mathworld.wolfram.com Eric W. Weisstein „Kleinstes gemeinsames Vielfaches.“ From MathWorld--A Wolfram Web Resource
  20. Diese Folge ist monoton kofinal in
  21. Lenstra Profinite Groups Example 2.1
  22. Die Schreibweise wird vermieden, um nicht die Assoziation eines Körpers hervorzurufen.
  23. Fjelstad S. 11.
  24. Es gilt jedoch
  25. Die Stellenwerte (oder Moduln) sind die Gewichte, mit denen die Ziffern zu multiplizieren sind, z. B. die Ziffer 3 mit dem akkumulierten Gewicht 12 = 2·3·2·1.
  26. Betrachtet man also diese Reihe als ganzzahlige Zahlenfolge im Ring so ist sie gleich (konvergiert sie gegen die dortige) 1. Man kann sie auch als Folge in auffassen, dann konvergiert sie gegen (die dortige) 0.
  27. Lenstra Profinite number theory. S. 7
  28. Milne, Ch. I Example A. 5.
  29. Lenstra Profinite Fibonacci numbers. S. 299