Graduierung (Algebra)

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Unter Graduierung versteht man im mathematischen Teilgebiet der Algebra die Zerlegung einer abelschen Gruppe oder komplizierterer Objekte in Teile eines bestimmten Grades. Das namengebende Beispiel ist der Polynomring in einer Unbestimmten: Beispielsweise ist das Polynom Summe der Monome (Grad 3), (Grad 1) und (Grad 0). Umgekehrt kann man endlich viele Monome verschiedenen Grades vorgeben und erhält als Summe ein Polynom.

Es sei durchweg eine feste abelsche Gruppe. Beispielsweise kann man oder wählen.

Graduierte Vektorräume[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein Körper. Eine -Graduierung auf einem -Vektorraum ist ein System von Untervektorräumen, so dass die direkte Summe der ist:

Die Vektorräume heißen die graduierten Bestandteile von .

Elemente heißen homogen vom Grad und man schreibt dafür kurz oder . Jedes Element von kann genau auf eine Weise als Summe homogener Elemente verschiedenen Grades geschrieben werden; sie heißen die homogenen Bestandteile (oder Komponenten) von .

Graduierte abelsche Gruppen und -Moduln für (gewöhnliche, nicht graduierte) Ringe sind analog definiert.

Ist , so spricht man häufig nicht explizit von einer -Graduierung, sondern schlicht von einer Graduierung.

Graduierte Algebren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein Körper. Eine -Graduierung auf einer -Algebra ist eine -Graduierung auf als -Vektorraum, für die

für , d.h.

für

gilt.

Graduierte Ringe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Graduierter Ring

Es sei ein Ring. Eine -Graduierung auf ist eine Familie , so dass

,

und

für alle .[1]

Dies verallgemeinert obige Definition für Algebren. Man beachte, dass für Algebren verlangt wird, dass die direkten Summanden der homogenen Elemente -Untervektorräume sind, das heißt, dass eine Ring-Graduierung einer -Algebra möglicherweise keine Algebren-Graduierung, wie sie oben definiert wurde, ist.

Graduierte Moduln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein -graduierter Ring. Ein -graduierter -Modul ist ein -Modul

,

so dass

für gilt.

Diese Definition bezieht sich auf den Fall von Linksmoduln, graduierte Rechtsmoduln sind analog definiert. Bei einer entsprechenden Definition für -Algebren verlangt man noch, dass die in obiger Definition -Vektorräume sind.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Der Polynomring in Unbestimmten über einem Körper ist durch den Gesamtgrad graduiert:
(Offenbar ist für .)
Es gibt aber noch andere Graduierungen auf : Es seien positive ganze Zahlen. Dann ist durch
ebenfalls eine Graduierung von definiert, bei der jedoch das Monom Grad hat.
eine endlich erzeugte graduierte -Algebra.
Ist beispielsweise für eine Primzahl , so ist .

ℤ/2ℤ-Graduierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine -Graduierung eines Ringes oder einer Algebra ist eine Zerlegung mit . Dann ist ein Automorphismus auf mit . Umgekehrt definiert jeder solche Automorphismus eine Graduierung

.

Eine -Graduierung ist also nichts weiter als die Auszeichnung eines selbstinversen Automorphismus. Speziell für C*-Algebren ist eine -Graduierung ein C*-dynamisches System mit Gruppe . Unter einer graduierten C*-Algebra versteht man in der Regel eine -graduierte C*-Algebra.

Viele mathematische Konstruktionen werden bei graduierten Objekten so angepasst, dass die vorliegende Graduierung respektiert wird. So definiert man etwa einen graduierten Kommutator für homogene Elemente durch

und für allgemeine Elemente durch lineare Fortsetzung. Man erhält dann zum Beispiel eine graduierte Jacobi-Identität[2]

für homogene Elemente

Auch die Bildung des Tensorproduktes wird entsprechend angepasst. Die Multiplikation im graduierten Tensorprodukt -graduierter Ringe und wird dann für Elementartensoren homogener Elemente durch

festgelegt. Sätze wie lassen sich auch für die graduierten Tensorprodukte beweisen. Gibt es zusätzlich eine Involution auf den Ringen bzw. Algebren, wie zum Beispiel im Falle von C*-Algebren, so wird eine Involution auf dem graduierten Tensorprodukt durch

, homogen,

definiert. Durch Übergang zur einhüllenden C*-Algebra erhält man so ein Tensorprodukt graduierter C*-Algebren.[3]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6, Definition 5.3 für
  2. Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Satz 14.1.3
  3. Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Definition 14.4.1