Graduierter Ring

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In der kommutativen Algebra und der algebraischen Geometrie ist ein graduierter Ring eine Verallgemeinerung des Polynomrings in mehreren Veränderlichen. Er ist in der algebraischen Geometrie ein Mittel, projektive Varietäten zu beschreiben.

Dieser Artikel beschäftigt sich mit kommutativer Algebra. Insbesondere sind alle betrachteten Ringe kommutativ und haben ein Einselement. Ringhomomorphismen bilden Einselemente auf Einselemente ab. Für weitere Details siehe Kommutative Algebra.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein graduierter Ring A ist ein Ring, der eine Darstellung als direkte Summe von abelschen Gruppen hat:

sodass

Elemente von werden homogene Elemente vom Grad genannt. Jedes Element eines graduierten Ringes kann eindeutig als Summe von homogenen Elementen geschrieben werden.

Ein Ideal wird homogen genannt, wenn:

Ist ein Ideal des Ringes , so kann der zum Ideal assoziierte Ring gebildet werden:

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Ein Ideal ist genau dann homogen, wenn es von homogenen Elementen erzeugt werden kann.
  • Die Summe, das Produkt, der Schnitt und das Radikal homogener Ideale ist wieder homogen.
  • Ein homogenes Ideal ist genau dann prim, wenn für alle homogenen gilt:
  • Ist noethersch und ein Ideal, dann ist auch noethersch.

Charakterisierung regulärer Ringe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein lokaler noetherscher Ring, sein maximales Ideal, und eine -Basis des Vektorraums , so sind folgende Aussagen äquivalent:

(1) ist regulär.
(2) Der durch
definierte Homomorphismus
ist ein Isomorphismus von graduierten -Algebren.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Wenn ein Körper ist, dann ist auf natürliche Weise ein graduierter Ring.
  • Dieser Ring kann auch mit einer anderen Graduierung versehen werden:
Ist , so ist die Menge der quasihomogenen Polynome vom Grad :

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]