Legendre-Transformation

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Die Legendre-Transformation (nach Adrien-Marie Legendre) gehört zu den Berührungstransformationen und dient als wichtiges mathematisches Verfahren zur Variablentransformation.

Die Legendre-Transformation in einer Variablen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei eine differenzierbare konvexe Funktion einer reellen Variablen, die im Folgenden mit bezeichnet wird. Die Legendre-Transformation überführt nun diese Funktion in eine Funktion , deren unabhängige Variable die Ableitungswerte der Funktion durchläuft, so dass die Ableitung von den Ableitungswert auf den zugehörige -Wert abbildet. Mit anderen Worten, die Ableitungen von und sollen zueinander inverse Funktionen sein. Die Wahl des Vorzeichens hängt von der Anwendung ab.

Wird also

gesetzt, und ist die Umkehrfunktion zu , so soll die gesuchte Funktion die Gleichung

erfüllen. Man stellt fest, dass diese Gleichung von der Funktion

gelöst wird, was durch Einsetzen überprüft wird. Diese Funktion heißt Legendre-Transformation von . In der Rücktransformation durchläuft die unabhängige Variable der Transformierten die Ableitungswerte von und es gilt

.

Im Falle des oberen Vorzeichens ist die Legendre-Transformation eine Involution,

Herleitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ziel der Legendre-Transformation ist die Änderung der Abhängigkeit einer Funktion von einer Variablen zu einer anderen Variablen , für die gilt

.

Man schreibt für die von abhängige Funktion

,

und für die von abhängige Funktion soll

.

gelten.

Bilden wir zunächst das totale Differential von , so erhalten wir

.

Der Vergleich mit und liefert uns

.

Daraus schließen wir

,

Nach einer Integration gilt also

.

Abhängig von der Wahl des Vorzeichens von können wir also oder schreiben.

Geometrische Bedeutung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Anschauliche Darstellung der Legendre-Transformation

Geometrisch lässt sich der Sachverhalt wie in der Abbildung veranschaulichen: Die Kurve (rot) kann, statt die Punktmenge anzugeben, aus der sie besteht, auch durch die Menge aller Tangenten charakterisiert werden, die sie einhüllen. Genau das passiert bei der Legendre-Transformation. Die Transformierte ordnet der Steigung einer jeden Tangente deren y-Achsenabschnitt zu. Es ist also eine Beschreibung derselben Kurve – nur über einen anderen Parameter, nämlich statt .

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei Abhängigkeit von mehreren Variablen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Änderung der Abhängigkeit einer Funktion von einer unabhängigen Variablen zu einer anderen mittels einer partiellen Ableitung von nach ist:

.

Hierbei stellt geometrisch die Steigung in x-Richtung der Tangentenebene an die Funktion dar. Daher spricht man von Berührungstransformation. Die Funktion wird als Legendre-Transformierte bezüglich der Variablen bezeichnet.

Die Legendre-Transformierte lässt sich wie folgt herleiten. Der Wert von kann alternativ als

geschrieben werden. Definiert man nun , erhält man für die Legendre-Transformierte

.

Meistens wird gewählt, und somit folgt

.

Für letztere Definition ist die Legendre-Transformierte die -Komponente des Schnittpunkts der Tangentenebene an mit der Ebene . Für Funktionen in der Ebene spricht man vom Achsenabschnitt (siehe auch Geradengleichung).

Praktisch erfolgt also der Austausch der unabhängigen Variablen durch Subtraktion des Produkts aus alter und neuer Variable von der Ausgangsfunktion:

.

Dies wird auch bei Betrachtung des totalen Differentials der Legendre-Transformierten deutlich:

.

Anwendungsgebiete[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Verwendung in der Physik findet die Legendre-Transformation vor allem in der (statistischen) Thermodynamik (z. B. Umwandlung der Fundamentalgleichung bzw. beim Übergang zwischen thermodynamischen Potentialen unter verschiedenen Randbedingungen) und beim Übergang von der Lagrangeschen zur Hamiltonschen Mechanik (Lagrange-Funktion zu Hamilton-Funktion). In der Thermodynamik verwendet man die untere Vorzeichenkonvention ().

Die Legendre-Transformation spielt – wie die Berührungstransformationen insgesamt – des Weiteren eine Rolle in der Mechanik, der Variationsrechnung und in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen 1. Ordnung. In der Mechanik verwendet man die obere Vorzeichenkonvention ().

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Analytischen Mechanik gewinnt man durch Legendre-Transformation aus der Lagrangefunktion die Hamiltonfunktion und umgekehrt:

In der Thermodynamik kann man durch Legendre-Transformation aus der Fundamentalgleichung der Thermodynamik die thermodynamischen Potentiale ableiten. Dabei findet beispielsweise ein Übergang von der inneren Energie U (abhängig von der Entropie S) zur Helmholtz-Energie F (abhängig von der Temperatur T) statt. Im Fall eines idealen Gases gilt also:

Die hier verwendete Ableitungsnotation bedeutet Ableitung der Funktion U(S,V,N) nach S, wobei V und N konstant gehalten werden.

Analog dazu ist auch ein Übergang von einem thermodynamischen Potential zu einem anderen möglich, beispielsweise von der Enthalpie H zur Gibbs-Energie G:

Auf die gleiche Weise erhält man auch die anderen thermodynamischen Potentiale, wobei durch eine Legendre-Transformation immer eine generalisierte Koordinate durch die konjugierte thermodynamische Kraft ersetzt wird.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Making Sense of the Legendre Transform (PDF; 231 kB) by R. K. P. Zia, Edward F. Redish and Susan R. McKay