Legendre-Transformation

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Die Legendre-Transformation (nach Adrien-Marie Legendre) gehört zu den Berührungstransformationen und dient als wichtiges mathematisches Verfahren zur Variablentransformation.

Eine Verallgemeinerung der Legendre-Transformation auf allgemeine Räume und nicht-konvexe Funktionen ist die Konvex-Konjugierte.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In einer Variablen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine konvexe Funktion einer reellen Variablen. Die Legendre-Transformierte ist dann definiert als

Dabei ist mit das Supremum gemeint.

Für eine differenzierbare konvexe Funktion mit invertierbarer erster Ableitung lässt sich das Supremum mit Mitteln aus der elementaren Analysis auswerten. Die Funktion nimmt wegen der Konkavität von an der (eindeutigen) Stelle, an der die Ableitung ist, ein absolutes Maximum an. Daraus folgt, dass an der Stelle das Supremum in angenommen wird. Somit gilt:

In mehreren Variablen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ähnlich wie in einer Dimension kann die Legendre-Transformation auch in höheren Dimensionen definiert werden. Sei konvex und eine konvexe Funktion. Dann ist die Legendre-Transformierte mit Definitionsmenge und Standardskalarprodukt definiert als

Geometrische Bedeutung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Anschauliche Darstellung der Legendre-Transformation

Geometrisch lässt sich der Sachverhalt wie in der Abbildung veranschaulichen: Die Kurve (rot) kann, statt die Punktmenge anzugeben, aus der sie besteht, auch durch die Menge aller Tangenten charakterisiert werden, die sie einhüllen. Genau das passiert bei der Legendre-Transformation. Die Transformierte ordnet der Steigung einer jeden Tangente deren y-Achsenabschnitt zu. Es ist also eine Beschreibung derselben Kurve – nur über einen anderen Parameter, nämlich statt .

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Gegeben sei die Funktion . Dann gilt , also
.
Als Legendre-Transformierte von ergibt sich damit
.
  • Für die Exponentialfunktion gilt , also
.
Als Legendre-Transformierte von ergibt sich damit
für .
  • Gegeben sei eine symmetrische und positiv definite Matrix . Dann ist die durch definierte quadratische Form mit eine konvexe Funktion. Die durch mit definierte Funktion hat den Gradienten und die negativ definite Hesse-Matrix . Die Funktion nimmt daher an der Stelle ihr eindeutig bestimmtes globales Maximum an, d. h. für die Legendre-Transformierte von gilt
.

Bei Abhängigkeit von mehreren Variablen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Änderung der Abhängigkeit einer Funktion von einer unabhängigen Variablen zu einer anderen mittels einer partiellen Ableitung von nach ist:

.

Hierbei stellt geometrisch die Steigung in x-Richtung der Tangentenebene an die Funktion dar. Daher spricht man von Berührungstransformation. Die Funktion wird als Legendre-Transformierte bezüglich der Variablen bezeichnet.

Die Legendre-Transformierte lässt sich wie folgt herleiten. Der Wert von kann alternativ als

geschrieben werden. Definiert man nun , erhält man für die Legendre-Transformierte

.

Meistens wird gewählt, und somit folgt

.

Für letztere Definition ist die Legendre-Transformierte die -Komponente des Schnittpunkts der Tangentenebene an mit der Ebene . Für Funktionen in der Ebene spricht man vom Achsenabschnitt (siehe auch Geradengleichung).

Praktisch erfolgt also der Austausch der unabhängigen Variablen durch Subtraktion des Produkts aus alter und neuer Variable von der Ausgangsfunktion:

.

Dies wird auch bei Betrachtung des totalen Differentials der Legendre-Transformierten deutlich:

.

Anwendungsgebiete[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Verwendung in der Physik findet die Legendre-Transformation vor allem in der (statistischen) Thermodynamik (z. B. Umwandlung der Fundamentalgleichung bzw. beim Übergang zwischen thermodynamischen Potentialen unter verschiedenen Randbedingungen) und beim Übergang von der Lagrangeschen zur Hamiltonschen Mechanik (Lagrange-Funktion zu Hamilton-Funktion). In der Thermodynamik verwendet man die untere Vorzeichenkonvention ().

Die Legendre-Transformation spielt – wie die Berührungstransformationen insgesamt – des Weiteren eine Rolle in der Mechanik, der Variationsrechnung und in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen 1. Ordnung. In der Mechanik verwendet man die obere Vorzeichenkonvention ().

Beispiele von Anwendungen in der Physik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der analytischen Mechanik gewinnt man durch Legendre-Transformation aus der Lagrangefunktion die Hamiltonfunktion und umgekehrt:

In der Thermodynamik kann man durch Legendre-Transformation aus der Fundamentalgleichung der Thermodynamik die thermodynamischen Potentiale ableiten. Dabei findet beispielsweise ein Übergang von der inneren Energie (abhängig von der Entropie ) zur Helmholtz-Energie (abhängig von der Temperatur ) statt. Im Fall eines idealen Gases gilt also:

.

Die hier verwendete Ableitungsnotation bedeutet Ableitung der Funktion nach , wobei und konstant gehalten werden.

Analog dazu ist auch ein Übergang von einem thermodynamischen Potential zu einem anderen möglich, beispielsweise von der Enthalpie zur Gibbs-Energie :

.

Auf die gleiche Weise erhält man auch die anderen thermodynamischen Potentiale, wobei durch eine Legendre-Transformation immer eine generalisierte Koordinate durch die konjugierte thermodynamische Kraft ersetzt wird.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]