Hilbertwürfel

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Der Hilbertwürfel ist ein nach dem Mathematiker David Hilbert benannter topologischer Raum, der den aus dem Anschauungsraum bekannten Würfel [0,1]^3 auf unendlich viele Dimensionen verallgemeinert.

Definition[Bearbeiten]

Der Hilbertwürfel W ist der Produktraum [0,1]^\infty versehen mit der Produkttopologie, das heißt genauer:

  • W ist die Menge aller Folgen x=(\xi_n)_n mit 0\le \xi_n \le 1 für alle n.
  • Eine Folge (x_m)_m in W, wobei x_m=(\xi_n^{(m)})_n, konvergiert genau dann gegen ein x=(\xi_n)_n\in W, wenn \lim_{m\to \infty}\xi_n^{(m)} = \xi_n für alle Indizes n\in \N.

Eigenschaften[Bearbeiten]

d((\xi_n)_n,(\eta_n)_n) := \sum_{n=1}^\infty \frac{|\xi_n-\eta_n|}{2^n}
gegeben.
D=\{(\xi_n)_n\in W;\, \xi_n\in \Q \mbox{ und } \xi_n=0 \mbox{ für fast alle } n\}
ist abzählbar und liegt dicht in W. Die Menge aller \tfrac{1}{m}-Kugeln (bzgl. obiger Metrik) um die Punkte aus D ist dann eine abzählbare Basis.

Universelle Eigenschaft[Bearbeiten]

Kompakte Räume mit abzählbarer Basis[Bearbeiten]

Der Hilbertwürfel W ist nach obigen Eigenschaften ein kompakter Hausdorffraum mit abzählbarer Basis. W ist universell bzgl. dieser Eigenschaften in dem Sinne, dass er von jedem solchen Raum eine Kopie enthält. Es gilt[1]:

Polnische Räume[Bearbeiten]

Auch polnische Räume lassen sich in den Hilbertwürfel einbetten. Es gilt[2]:

  • Die polnischen Räume sind bis auf Homöomorphie genau die G_\delta-Mengen im Hilbertwürfel.
  • Die kompakten, polnischen Räume sind bis auf Homöomorphie genau die abgeschlossenen Mengen im Hilbertwürfel.

Der Hilbertwürfel im l2[Bearbeiten]

Eine homöomorphe Kopie des Hilbertwürfels findet sich im Hilbertraum \ell^2 der quadratsummierbaren Folgen. Definiere

\tilde{W} := \{(\xi_n)_n\in \ell^2;\, |\xi_n| \le \tfrac{1}{n} \mbox{ für alle }n\}.

Dann ist \textstyle \varphi \colon W\rightarrow \tilde{W}, (\xi_n)_n \mapsto (\frac{2\xi_n-1}{n})_n ein Homöomorphismus, wenn man \tilde{W} mit der Teilraumtopologie der Normtopologie des Hilbertraums \ell^2 versieht. Beachte, dass \tilde{W} keine Nullumgebung in \ell^2 ist, denn \tilde{W} enthält keine Normkugel. Ferner fallen auf \tilde{W} die relative Normtopologie und die relative schwache Topologie zusammen.

Alternative Definitionen des Hilbertwürfels wären \textstyle W:=\prod_{n=1}^\infty [0,\frac{1}{2^n}] oder \textstyle W:=\prod_{n=1}^\infty [-\frac{1}{n},\frac{1}{n}] oder \textstyle W:=\prod_{n=1}^\infty [0,\frac{1}{n}], versehen mit der Produkttopologie. Bei einer solchen Definition wäre W selbst eine Teilmenge des Hilbertraums \ell^2. Die erste Variante wird in [3] verwendet, dort spricht der Autor wegen der unterschiedlichen Seitenlängen auch nicht vom Hilbertwürfel sondern vom Hilbertquader, ebenso in [4], wo die dritte Variante zur Definition herangezogen wird.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Johann Cigler, Hans-Christian Reichel: Topologie. Eine Grundvorlesung. Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1978, ISBN 3-411-00121-6 (BI-Hochschultaschenbücher 121), Kapitel 5.2, Satz 8
  2. Oliver Deiser: Reelle Zahlen. Das klassische Kontinuum und die natürlichen Folgen. Springer, 2008, ISBN 3-540-79375-5, Korollar auf S. 335
  3. Wolfgang Franz: Topologie. Band 1: Allgemeine Topologie. 4. Auflage. de Gruyter, Berlin u. a. 1973, ISBN 3-11-004117-0 (Sammlung Göschen 6181), S. 14
  4. Klaus Jänich: Topologie. Springer, 2004, ISBN 3-540-21393-7, S. 199