Hilbertwürfel

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Der Hilbertwürfel ist ein nach dem Mathematiker David Hilbert benannter topologischer Raum, der den aus dem Anschauungsraum bekannten Würfel auf unendlich viele Dimensionen verallgemeinert.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Hilbertwürfel ist der Produktraum versehen mit der Produkttopologie, das heißt genauer:

  • ist die Menge aller Folgen mit für alle .
  • Eine Folge in , wobei , konvergiert genau dann gegen ein , wenn für alle Indizes .

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

gegeben.
ist abzählbar und liegt dicht in . Die Menge aller -Kugeln (bzgl. obiger Metrik) um die Punkte aus ist dann eine abzählbare Basis.
  • Die lebesgue'sche Überdeckungsdimension des Hilbertwürfels ist unendlich, denn für jedes enthält der Hilbertwürfel den zu homöomorphen Unterraum , muss daher eine Dimension haben für alle und das heißt .

Universelle Eigenschaft[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kompakte Räume mit abzählbarer Basis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Hilbertwürfel ist nach obigen Eigenschaften ein kompakter Hausdorffraum mit abzählbarer Basis. ist universell bzgl. dieser Eigenschaften in dem Sinne, dass er von jedem solchen Raum eine Kopie enthält. Es gilt[1]:

Polnische Räume[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Auch polnische Räume lassen sich in den Hilbertwürfel einbetten. Es gilt[2]:

  • Die polnischen Räume sind bis auf Homöomorphie genau die -Mengen im Hilbertwürfel.
  • Die kompakten, polnischen Räume sind bis auf Homöomorphie genau die abgeschlossenen Mengen im Hilbertwürfel.

Der Hilbertwürfel im l2[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine homöomorphe Kopie des Hilbertwürfels findet sich im Hilbertraum der quadratsummierbaren Folgen. Definiere

.

Dann ist ein Homöomorphismus, wenn man mit der Teilraumtopologie der Normtopologie des Hilbertraums versieht. Beachte, dass keine Nullumgebung in ist, denn enthält keine Normkugel. Ferner fallen auf die relative Normtopologie und die relative schwache Topologie zusammen.

Alternative Definitionen des Hilbertwürfels wären oder oder , versehen mit der Produkttopologie. Bei einer solchen Definition wäre selbst eine Teilmenge des Hilbertraums . Die erste Variante wird in [3] verwendet, dort spricht der Autor wegen der unterschiedlichen Seitenlängen auch nicht vom Hilbertwürfel sondern vom Hilbertquader, ebenso in [4], wo die dritte Variante zur Definition herangezogen wird.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Johann Cigler, Hans-Christian Reichel: Topologie. Eine Grundvorlesung (= BI-Hochschultaschenbücher. 121). Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1978, ISBN 3-411-00121-6 Kapitel 5.2, Satz 8.
  2. Oliver Deiser: Reelle Zahlen. Das klassische Kontinuum und die natürlichen Folgen. 2., korrigierte und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2008, ISBN 978-3-540-79375-5, Korollar auf S. 335.
  3. Wolfgang Franz: Topologie. Band 1: Allgemeine Topologie (= Sammlung Göschen. Bd. 6181). 4., verbesserte und erweiterte Auflage. de Gruyter, Berlin u. a. 1973, ISBN 3-11-004117-0, S. 14.
  4. Klaus Jänich: Topologie. 8. Auflage. Springer, Berlin u. a. 2005, ISBN 3-540-21393-7, S. 199.