Würfel (Geometrie)

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Würfel
120px-Hexahedron-slowturn.gif
Art der Seitenflächen Quadrate
Anzahl der Flächen 6
Anzahl der Ecken 8
Anzahl der Kanten 12
Schläfli-Symbol {4,3}
dual zu Oktaeder
Netz Hexahedron flat color.svg
Anzahl verschiedener Netze 11
Anzahl Kanten in einer Ecke 3
Anzahl Ecken einer Fläche 4

Der Würfel (von deutsch werfen, weil er in Würfelspielen geworfen wird; auch regelmäßiges Hexaeder [hɛksaˈeːdər], von griech. hexáedron ‚Sechsflächner‘, oder Kubus, von altgriechisch κύβος kybos bzw. lat. cubus ‚Würfel‘) ist einer der fünf platonischen Körper, genauer ein (dreidimensionales) Polyeder (Vielflächner) mit

  • sechs (kongruenten) Quadraten als Begrenzungsflächen
  • zwölf (gleich langen) Kanten und
  • acht Ecken, in denen jeweils drei Begrenzungsflächen zusammentreffen

Der Würfel ist ein spezielles (dreidimensionales) Parallelepiped, ein spezieller (nämlich gleichseitiger) Quader sowie ein spezielles gerades quadratisches Prisma. Die Größe eines Würfels wird bereits durch die Angabe der Kantenlänge festgelegt.

Symmetrie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wegen seiner hohen Symmetrie – alle Ecken, Kanten und Seiten sind untereinander gleichartig – ist der Würfel ein reguläres Polytop. Er hat

  • drei vierzählige Drehachsen (durch die Mittelpunkte zweier gegenüberliegender Flächen),
  • vier dreizählige Drehachsen (durch zwei diagonal gegenüberliegende Ecken),
  • sechs zweizählige Drehachsen (durch die Mittelpunkte zweier diagonal gegenüberliegender Kanten) und
  • neun Spiegelebenen (sechs Ebenen durch jeweils vier Ecken, drei Ebenen durch je vier Kantenmittelpunkte)
  • 14 Drehspiegelungen (sechs um 90° mit den Ebenen durch je vier Kantenmittelpunkte und 8 um 60° mit Ebenen durch je sechs Kantenmitten)

und ist

Für eine vierzählige Drehachse gibt es 3 Symmetrieoperationen (Drehung um 90°, 180° und 270°), für eine dreizählige Drehachse dementsprechend 2 Symmetrieoperationen. Insgesamt hat die Symmetriegruppe des Würfels 48 Elemente. Man bezeichnet sie in der Notation von Schoenflies als , in der Notation von Hermann / Mauguin als oder allgemein aber etwas ungenau als Oktaeder- bzw. Würfelgruppe.

Beziehungen zu anderen Polyedern[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Würfel ist das zum Oktaeder duale Polyeder (und umgekehrt). Außerdem beschreiben die Eckpunkte des Würfels zwei punktsymmetrische reguläre Tetraeder, welche zusammen das Sterntetraeder als weiteren regulären Körper bilden.

Mithilfe von Würfel und Oktaeder können zahlreiche Körper konstruiert werden, die ebenfalls die Würfelgruppe als Symmetriegruppe haben. So erhält man zum Beispiel

  • den Hexaederstumpf bzw. den abgestumpften Würfel mit 6 Achtecken und 8 Dreiecken
  • das Kuboktaeder mit 6 Quadraten und 8 Dreiecken, also 14 Seiten, und 12 Ecken
  • den Oktaederstumpf bzw. das abgestumpfte Oktaeder mit 6 Quadraten und 8 Sechsecken

als Durchschnitte eines Würfels mit einem Oktaeder (siehe archimedische Körper) und

als konvexe Hülle einer Vereinigung eines Würfels mit einem Oktaeder.

Der Würfel ist Baustein der regulären Würfelparkettierung.

Formeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Größen eines Würfels mit Kantenlänge a
Volumen
Oberflächeninhalt
Umkugelradius
Kantenkugelradius
Inkugelradius
Raumdiagonale
Flächendiagonale
Verhältnis von Volumen
 zu Umkugelvolumen
Flächenwinkel
 = 90°
Flächen-Kanten-Winkel
 = 90°
Eckenraumwinkel
 = 0,5 π

Verallgemeinerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Auch die Analoga des Würfels in beliebiger Dimension werden als -dimensionale Würfel (oder Hyperwürfel) bezeichnet und sind ebenfalls reguläre Polytope. Der -dimensionale Würfel hat begrenzende Seiten der Dimension k. Spezialfälle:

  • Der nulldimensionale Würfel (Punkt) hat 1 Ecke.
  • Der eindimensionale Würfel (Strecke) hat 2 Ecken und 1 Kante.
  • Der zweidimensionale Würfel (Quadrat) hat 4 Ecken, 4 Kanten und 1 Fläche
  • Der vierdimensionale Hyperwürfel (Tesserakt) hat 16 Ecken, 32 Kanten, 24 Seitenquadrate und 8 Seitenwürfel.
  • Der n-dimensionale Würfel hat Ecken (k=0), Kanten (k=1), Flächen (k=2), Volumen (k=3) und (n–1)-dimensionale Würfel als (k=n–1)-dimensionale Seiten (Facetten).

Ein Modell für den -dimensionalen Würfel ist der Einheitswürfel im Vektorraum . Und zwar ist der abgeschlossene Einheitswürfel

  • , das -fache kartesische Produkt des Einheitsintervalls
  • die konvexe Hülle der Eckpunkte mit den Koordinaten und
  • der Durchschnitt der Halbräume und

Der Einheitswürfel ist ein achsenparalleler Würfel mit der Kantenlänge und einer Ecke im Koordinatenursprung. Eine Verallgemeinerung dieses Konzepts sind Quader im , die in der mehrdimensionalen Analysis eine Rolle spielen.

Handwerkliches[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gesteckter Würfel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Streichholzwürfel

Aus über hundert Zündhölzern lassen sich rein durch Klemmen und Reibung zusammenhaltende Würfel fertigen.

Drehmaschine[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Auf einer Drehbank zur spanabhebenden Metallbearbeitung lässt sich mittels 4-Backen-Futter oder einer schonenden rohrförmigen Halterung auch im 3-Backen-Futter ein Würfel herstellen. Das Drehen einer Kombination von bis zu 4 lose doch unverlierbar innereinander liegenden Würfel ist eine Geschicklichkeitsaufgabe. Dieses Werkstück wird im Englischen als "turners cube" also "Würfel des Drehers" bezeichnet. Die 3 äußeren Würfel haben dabei in jeder Seitenfläche eine große Bohrung, die als Fenster die Sicht auf die oder den innen nächst folgenden erlaubt. Die Größen der 3 inneren Würfel sind abgestuft genau so gestaltet, dass schon die Flächendiagonale nicht durch diese Bohrung des jeweils nächstgrößeren passt. Nötig ist das Hinterschneiden bei der Bearbeitung von jeder Seite der innenliegenden Würfel und das temporäre Fixieren mit Klebstoff oder Wachs, wenn zuletzt die 6. Seiten bearbeitet werden.[1]

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Würfel – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. themetalcutter: Cube in a cube / Turners cube youtube.com, Video (43:07),19. August 2015, abgerufen 17. März 2017.