Homothetie

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In der Geometrie versteht man unter einer Homothetie eine Affinität, also eine bijektive affine Abbildung \vartheta\colon A \rightarrow A eines affinen Raumes A in sich, derart, dass für jede Gerade g \subseteq A die Bildgerade \vartheta(g) parallel zu g verläuft: g \parallel \vartheta(g).

Zu den Homothetien zählen genau die folgenden Abbildungen

Während bei der Identität naturgemäß alle Punkte fix bleiben, besitzt eine echte Translation (v \neq 0) keinen Fixpunkt, und eine echte zentrische Streckung (s \neq 1) genau einen Fixpunkt, nämlich das Streckungszentrum Z.

Im Fall einer zentrischen Streckung, ist die zugehörige lineare Abbildung T(\vartheta)\colon\, T(A) \rightarrow T(A) auf dem Vektorraum T(A) der Translationen von A stets von der Form T(\vartheta)(v) = s \cdot v. Daher bezeichnet man gelegentlich lineare Abbildungen, die jeden Vektor um einen festen Skalar ungleich Null strecken, als (lineare) Homothetien. Diese linearen Bijektionen des Vektorraumes sind mit allen linearen Selbstabbildungen des Vektorraumes vertauschbar.

Bemerkung[Bearbeiten]

Mit der hier beschriebenen Bedeutung wird der Begriff einer „affinen Homothetie“ auch etwas allgemeiner für eine Affinität auf einem affinen Raum über einem Schiefkörper definiert. Diese und weitere Verallgemeinerungen und geometrische Eigenschaften des Begriffes werden ausführlicher im Artikel „Dilatation“ beschrieben.

Literatur[Bearbeiten]

  •  Günter Scheja, Uwe Storch: Lehrbuch der Algebra: unter Einschluß der linearen Algebra. 2., überarb. und erw. Auflage. Teubner, Stuttgart 1994, ISBN 3-519-12203-0 (Inhaltsverzeichnis, abgerufen am 14. Januar 2012). Eingeschränkt Online: S. 492 in der Google-Buchsuche