Potenz (Geometrie)

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Potenz: geometrische Bedeutung

Der Begriff Potenz bezeichnet in der Geometrie ein spezielles, von Jakob Steiner 1826 eingeführtes Maß dafür, wie weit außerhalb oder innerhalb eines Kreises sich ein Punkt befindet. Die Potenz eines Punktes bezüglich eines Kreises mit Mittelpunkt und Radius ist gegeben durch den Rechenausdruck

Drei Fälle sind zu unterscheiden:

  • Liegt der Punkt außerhalb des Kreises, so ist seine Potenz positiv. Sind und die Schnittpunkte einer beliebigen Geraden durch mit dem Kreis, so ist die Potenz von nach dem Sekantensatz gleich . Diese Aussage ist auch dann richtig, wenn und zusammenfallen (Sekanten-Tangenten-Satz). Aus dem Satz des Pythagoras folgt, dass für einen Punkt P außerhalb des Kreises die Potenz mit dem Quadrat der Länge eines Tangentenabschnitts übereinstimmt (siehe Bild).
  • Punkte, die auf dem Kreis liegen, haben die Potenz 0.
  • Für Punkte im Kreisinneren ist die Potenz negativ. Sind und die Schnittpunkte einer beliebigen Geraden durch mit dem Kreis, so ist die Potenz von nach dem Sehnensatz gleich .

Sekanten-Satz, Sehnen-Satz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei den Sätzen Sekantensatz, Sekanten-Tangenten-Satz und Sehnensatz spielt die Potenz eines Punktes als Invariante eine wesentliche Rolle. Diese Sätze lassen sich mit Hilfe von ähnlichen Dreiecken und dem Kreiswinkelsatz koordinatenfrei beweisen.

Potenz: Sekanten-Satz, Sehnen-Satz

Für einen einfachen rechnerischen und einheitlichen Nachweis kann man das Koordinatensystem so einführen, dass der Punkt , durch den die Sekanten/Sehnen/Tangenten gehen der Nullpunkt ist und die jeweilige Sekante bzw. Sehne auf der x-Achse liegt. Der Kreis hat den Mittelpunkt und Radius :

Die Potenz des Punktes bezgl. des Kreises ist .

Die Schnittpunkte der x-Achse (Gerade ) mit dem Kreis ergeben sich aus der quadratischen Gleichung

Nach dem Satz von Vieta gilt für die möglichen Lösungen:

.

( ist die Potenz von .)

Also gilt (siehe Bild)

, falls außerhalb des Kreises liegt,
, falls innerhalb des Kreises liegt ( haben dann verschiedene Vorzeichen und ist negativ !).

Ist im ersten Fall die x-Achse eine Tangente (d. h. ), so ist das Quadrat der tangentialen Distanz des Punktes zum Kreis .

Verwandte Begriffe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Jakob Steiner: Einige geometrische Betrachtungen. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 1, 1826, S. 161–184
  • Jacob Steiner, C.F. Geiser, H. Schröter: Jacob Steiner’s Vorlesungen über synthetische Geometrie. Erster Theil: Die Theorie der Kegelschnitte in elementarer Darstellung. Teubner, 1867, S. 1–3 (books.google.com).
  • Roger A. Johnson: Advanced Euclidean Geometry. Dover 2007, ISBN 978-0-486-46237-0, S. 28–34

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Commons: Power of a point – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien