Integrallogarithmus

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Funktionsgraph von li(x) im Bereich zwischen 0 und 10.

Der Integrallogarithmus ist eine analytische Funktion auf den reellen Zahlen x ≥ 0, x ≠ 1 (oder x > 1) in die reellen Zahlen. Sie hat praktische Relevanz in einigen Gebieten der Physik wie der Quantenfeldtheorie und bei der Lösung der Laplace-Gleichung in Halbleitern sowie in der Zahlentheorie, da sie eng mit der Dichte der Primzahlen verknüpft ist.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sind zwei Definitionen üblich, die sich um eine Konstante unterscheiden. Für eine der wichtigsten Anwendungen – als asymptotische Vergleichsgröße für die Primzahlfunktion im Primzahlsatz – spielt der Unterschied zwischen den beiden Definitionen keine Rolle.

Eine Definition im Bereich lautet

dabei muss wegen der Singularität bei für über einen Grenzwert definiert werden (cauchyscher Hauptwert):

Eine andere Definition für ist

Bei liegt keine Polstelle, sondern eine logarithmische Singularität vor.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Funktionsgraph von li(x) im Bereich zwischen 0 und 2 (umfasst 0, 1, µ und 2).

Einige Werte:

(Folge A069284 in OEIS)

Dabei ist (Folge A070769 in OEIS) die Ramanujan-Soldner-Konstante.

Es gilt mit der Integralexponentialfunktion , daraus erhält man die Reihendarstellung

wobei (Folge A001620 in OEIS) die Euler-Mascheroni-Konstante ist.

Aus der Definition von erhält man durch lineare Substitution

wobei für wegen der Singularität bei der cauchysche Hauptwert eingesetzt werden muss.
Ferner haben wir für

Außerdem gilt für

für erhält man
Im Grenzfall ist

Eine weitere Formel ist

Die Golomb-Dickman-Konstante (Folge A084945 in OEIS) tritt in der Theorie zufälliger Permutationen bei der Abschätzung der Länge des längsten Zykels einer Permutation und in der Zahlentheorie bei der Abschätzung der Größe des größten Primfaktors einer Zahl auf.

Asymptotisches Verhalten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Funktionsgraph von li(x) im Bereich zwischen 1 und 1013.

Für große lässt sich durch

approximieren. Die Reihe ist eine asymptotische Entwicklung; sie konvergiert nicht, sondern nähert sich dem wahren Wert an, um sich dann wieder zu entfernen. Die beste Approximation wird nach etwa Gliedern erreicht, dann werden die Summanden größer durch die stärker werdende Wirkung der Fakultät.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]