Integrallogarithmus

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Der Integrallogarithmus ist eine analytische Funktion auf den reellen Zahlen x ≥ 0, x ≠ 1 (oder x > 1) in die reellen Zahlen.

Definition[Bearbeiten]

Es sind zwei Definitionen üblich, die sich um eine Konstante unterscheiden. Für eine der wichtigsten Anwendungen – als asymptotische Vergleichsgröße für die Primzahlfunktion im Primzahlsatz – spielt der Unterschied zwischen den beiden Definitionen keine Rolle.

Funktionsgraph von li

Eine Definition im Bereich x \ge 0 lautet

{\rm li}(x) = \int_0^x \frac{\mathrm dt}{\ln t}\ ,

dabei muss \rm li wegen der Singularität bei x = 1 für x > 1 über einen Grenzwert definiert werden (Cauchyscher Hauptwert):

{\rm li}(x) = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \left(\int_0^{1-\varepsilon} \frac{\mathrm dt}{\ln t} + \int_{1+\varepsilon}^x \frac{\mathrm dt}{\ln t}\right)\ .

Eine andere Definition für x > 1 ist

{\rm Li}(x) = {\rm li}(x) - {\rm li}(2) = \int_2^x \frac{\mathrm dt}{\ln t}\ .

Bei x=1 liegt keine Polstelle, sondern eine logarithmische Singularität vor.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Einige Werte:

{\rm li}(0) = 0
{\rm li}(1) = -\infty
{\rm li}(\mu) = 0
{\rm li}(2) = 1,04516\text{ }37801\text{ }17492\text{ }78484\text{ }... (Folge A069284 in OEIS)

Dabei ist \mu = 1,45136\text{ }92348\text{ }83381\text{ }05028\text{ }... (Folge A070769 in OEIS) die Ramanujan-Soldner-Konstante.

Es gilt {\rm li}(x) = {\rm Ei}(\ln x) mit der Integralexponentialfunktion {\rm Ei}, daraus erhält man die Reihendarstellung

{\rm li}(x) = \gamma + \ln\left|\ln x\right| + \sum_{k=1}^\infty \frac{(\ln x)^k}{k\cdot k!}\ ,

wobei \gamma = 0,57721\text{ }56649\text{ }01532\text{ }86060\text{ }... (Folge A001620 in OEIS) die Euler-Mascheroni-Konstante ist.

Aus der Definition von {\rm li} erhält man durch lineare Substitution

{\rm li}(x) = x \int_0^1 \frac{\mathrm dt}{\ln(x\,t)}\ ,

wobei für x > 1 wegen der Singularität bei t = 1/x der Cauchysche Hauptwert eingesetzt werden muss. Ferner haben wir für x \geq 0, x \neq 1

\int_0^x {\rm li}(t)\,{\mathrm dt} = x\,{\rm li}(x) - {\rm li}(x^2).

Außerdem gilt für p > -1, p \not= 0

\int_0^1 {\rm li}(t)\,t^{p-1}\,\mathrm dt = -\tfrac1{p} \ln(p+1),

für p = 1 erhält man \textstyle\int_0^1 {\rm li}(t)\,\mathrm dt = -\ln 2. Im Grenzfall p = 0 ist \textstyle\int_0^1 {\rm li}(t)\,t^{-1}\,\mathrm dt = -1.

Eine weitere Formel ist \textstyle\int_0^1 {\rm li}(t^{-1})\,t\,\mathrm dt = \textstyle\int_1^\infty {\rm li}(t)\,t^{-3}\,\mathrm dt = 0.

Die Golomb-Dickman-Konstante \lambda = \textstyle\int_0^1 e^{{\rm li}(x)}\mathrm dx = 0,62432\text{ }99885\text{ }43550\text{ }87099\text{ }... (Folge A084945 in OEIS) tritt in der Theorie zufälliger Permutationen bei der Abschätzung der Länge des längsten Zykels einer Permutation und in der Zahlentheorie bei der Abschätzung der Größe des größten Primfaktors einer Zahl auf.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]