Jacobi-Polynom

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Die Jacobi-Polynome (nach Carl Gustav Jacob Jacobi), auch hypergeometrische Polynome sind eine Menge polynomieller Lösungen des Sturm-Liouville-Problems, die einen Satz orthogonaler Polynome bilden, und zwar auf dem Intervall [-1,1] bezüglich der Gewichtungsfunktion (1-x)^\alpha(1+x)^\beta mit \alpha, \beta > -1. Sie haben die explizite Form[1]


P_n^{(\alpha,\beta)} (x) = 
\frac{\Gamma (\alpha+n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha+\beta+n+1)}
\sum_{m=0}^n {n\choose m}
\frac{\Gamma (\alpha + \beta + n + m + 1)}{\Gamma (\alpha + m + 1)} \left(\frac{x-1}{2}\right)^m,

oder mit Hilfe der hypergeometrische Funktion 2F1:


P_n^{(\alpha,\beta)} (x) = 
 {n+\alpha\choose n} \,_2F_1\left(-n,1+n+\alpha+\beta;\alpha+1;\frac{1-x}{2}\right).

Rodrigues-Formel[Bearbeiten]


P_n^{(\alpha,\beta)} (x) = \frac{(-1)^n}{2^n n!}(1-x)^{-\alpha}(1+x)^{-\beta}\frac{d^n}{dx^n}\left[(1-x)^{\alpha+n}(1+x)^{\beta+n}\right],~~~\alpha,\beta>-1

Rekursionsformeln[Bearbeiten]

Man kann die Jacobi-Polynome auch mit Hilfe einer Rekursionsformel bestimmen.


P_0^{(\alpha,\beta)} (x) =1

P_1^{(\alpha,\beta)} (x) =\frac{1}{2}\bigl(\alpha-\beta+(\alpha+\beta+2)x\bigr)

a^1_n P_{n+1}^{(\alpha,\beta)} (x) = (a_n^2+a_n^3x)P_n^{(\alpha,\beta)} (x) -a_n^4P_{n-1}^{(\alpha,\beta)} (x)

mit den Konstanten:


a^1_n=2(n+1)(n+\alpha+\beta+1)(2n+\alpha+\beta)

a^2_n=(2n+\alpha+\beta+1)(\alpha^2-\beta^2)

a^3_n=(2n+\alpha+\beta)(2n+\alpha+\beta+1)(2n+\alpha+\beta+2)

a_n^4=2(n+\alpha)(n+\beta)(2n+\alpha+\beta+2)

Eigenschaften[Bearbeiten]

Der Wert für x=1 ist

P_n^{(\alpha, \beta)} (1) = {n+\alpha\choose n}=\frac{\Gamma(n+\alpha+1)}{\Gamma(\alpha+1)n!}.

Es gilt die folgende Symmetriebeziehung

P_n^{(\alpha, \beta)} (-x) = (-1)^n P_n^{(\beta, \alpha)} (x)\,,

woraus sich der Wert für x = -1 ergibt:

P_n^{(\alpha, \beta)} (-1) = (-1)^n { n+\beta\choose n} .

Sie erfüllen die Orthogonalitätsbedingung


\int_{-1}^1 (1-x)^{\alpha} (1+x)^{\beta} 
P_m^{(\alpha,\beta)} (x)P_n^{(\alpha,\beta)} (x) \; dx=
\frac{2^{\alpha+\beta+1}}{2n+\alpha+\beta+1}
\frac{\Gamma(n+\alpha+1)\Gamma(n+\beta+1)}{\Gamma(n+\alpha+\beta+1)n!} \delta_{nm}.

Ableitungen[Bearbeiten]

Aus der expliziten Form können die k-ten Ableitungen abgelesen werden. Sie ergeben sich als:


\frac{\mathrm d^k}{\mathrm d x^k}
P_n^{(\alpha,\beta)} (x) = 
\frac{\Gamma (\alpha+\beta+n+1+k)}{2^k\; \Gamma (\alpha+\beta+n+1)}
P_{n-k}^{(\alpha+k, \beta+k)} (x) .

Nullstellen[Bearbeiten]

Die Eigenwerte der symmetrischen Tridiagonalmatrix


\begin{pmatrix}
a_0 & b_1 & 0 & \dots & 0 \\
b_1 & a_1 & b_2 & \ddots  & \vdots \\
0 & b_2 & \ddots & \ddots & 0 \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & b_{n-1}\\
0 & \dots & 0 &  b_{n-1} & a_{n-1}
\end{pmatrix}

mit


a_0 = \frac{\beta-\alpha}{2+\alpha+\beta}

a_j = \frac{(\beta-\alpha)(\alpha+\beta)}{(2j+\alpha+\beta)(2j+2+\alpha+\beta)},~~~j=1,\dots,n-1

b_j = \sqrt{\frac{4j(j+\alpha)(j+\beta)(j+\alpha+\beta)}{(2j-1+\alpha+\beta)(2j+\alpha+\beta)^2(2j+1+\alpha+\beta)}}

stimmen mit den Nullstellen von P_n^{(\alpha,\beta)} überein. Somit bietet der QR-Algorithmus die Möglichkeit, die Nullstellen näherungsweise zu berechnen. Weiterhin kann man beweisen, dass sie einfach und im Intervall (-1,1) liegen.

Asymptotische Darstellung[Bearbeiten]

Mit Hilfe der Landau-Symbole lässt sich folgende Formel aufstellen:


P_n^{(\alpha,\beta)}(\cos\theta) =
\frac{\cos\left(\left[ n+(\alpha+\beta+1)/2 \right] \theta - \left[ 2\alpha+1 \right] \pi/4 \right)}
{\sqrt{\pi n}\left[\sin(\theta/2)\right]^{\alpha+1/2}\left[\cos(\theta/2)\right]^{\beta+1/2}}
+\mathcal{O}\left(n^{-3/2}\right),~~~0<\theta<\pi.

Erzeugende Funktion[Bearbeiten]

Für alle x \in \mathbb{R}, z \in \mathbb{C}, |z|<1 gilt


\sum_{n=0}^\infty P_n^{(\alpha,\beta)}(x) z^n = 2^{\alpha+\beta}[f(x,z)]^{-1}[1-z+f(x,z)]^{-\alpha}[1+z+f(x,z)]^{-\beta},~~~
f(x,z)=\sqrt{1-2xz+z^2}.

Die Funktion


z \mapsto 2^{\alpha+\beta}[f(x,z)]^{-1}[1-z+f(x,z)]^{-\alpha}[1+z+f(x,z)]^{-\beta}

wird daher als erzeugende Funktion der Jacobi-Polynome bezeichnet.

Spezialfälle[Bearbeiten]

Einige wichtige Polynome können als Spezialfälle der Jacobi-Polynome betrachtet werden:

Referenzen[Bearbeiten]

  1. Abramowitz, Stegun (1965): Formel 22.3.2 - enthält darüber hinaus umfangreiche Zusatzinformationen und Belege für die weiteren hier genannten Formeln

weiterführende Literatur:

  • Eric W. Weisstein: Jacobi Polynomial. In: MathWorld (englisch).
  •  Sherwin Karniadakis: Spectral/hp Element Methods for CFD. 1. Auflage. Oxford University Press, New York 1999, ISBN 0-19-510226-6.
  •  I. S. Gradshteyn, I. M. Ryzhik: Table of Integrals, Series, and Products. 5. Auflage. Academic Press Inc., Boston, San Diego, New York, London, Sydney, Tokyo, Toronto 1994, ISBN 0-12-294755-X.
  •  Peter Junghanns: EAGLE-GUIDE Orthogonale Polynome. 1. Auflage. Books on Demand, Leipzig 2009, ISBN 3-93-721928-5.