Jacobi-Polynom

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Die Jacobi-Polynome (nach Carl Gustav Jacob Jacobi), auch hypergeometrische Polynome sind eine Menge polynomieller Lösungen des Sturm-Liouville-Problems, die einen Satz orthogonaler Polynome bilden, und zwar auf dem Intervall bezüglich der Gewichtungsfunktion mit . Sie haben die explizite Form[1]

oder mit Hilfe der hypergeometrische Funktion 2F1:

Rodrigues-Formel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Rekursionsformeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man kann die Jacobi-Polynome auch mit Hilfe einer Rekursionsformel bestimmen.

mit den Konstanten:

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Wert für ist

.

Es gilt die folgende Symmetriebeziehung

woraus sich der Wert für ergibt:

Sie erfüllen die Orthogonalitätsbedingung

Ableitungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus der expliziten Form können die -ten Ableitungen abgelesen werden. Sie ergeben sich als:

Nullstellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Eigenwerte der symmetrischen Tridiagonalmatrix

mit

stimmen mit den Nullstellen von überein. Somit bietet der QR-Algorithmus die Möglichkeit, die Nullstellen näherungsweise zu berechnen. Weiterhin kann man beweisen, dass sie einfach sind und im Intervall liegen.

Asymptotische Darstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit Hilfe der Landau-Symbole lässt sich folgende Formel aufstellen:

Erzeugende Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für alle gilt

Die Funktion

wird daher als erzeugende Funktion der Jacobi-Polynome bezeichnet.

Spezialfälle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einige wichtige Polynome können als Spezialfälle der Jacobi-Polynome betrachtet werden:

Referenzen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Abramowitz, Stegun (1965): Formel 22.3.2 - enthält darüber hinaus umfangreiche Zusatzinformationen und Belege für die weiteren hier genannten Formeln

weiterführende Literatur:

  • Eric W. Weisstein: Jacobi Polynomial. In: MathWorld (englisch).
  • Sherwin Karniadakis: Spectral/hp Element Methods for CFD. 1. Auflage. Oxford University Press, New York 1999, ISBN 0-19-510226-6.
  • I. S. Gradshteyn, I. M. Ryzhik: Table of Integrals, Series, and Products. 5. Auflage. Academic Press Inc., Boston, San Diego, New York, London, Sydney, Tokyo, Toronto 1994, ISBN 0-12-294755-X.
  • Peter Junghanns: EAGLE-GUIDE Orthogonale Polynome. 1. Auflage. Books on Demand, Leipzig 2009, ISBN 3-937219-28-5.