Kranzprodukt

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Das Kranzprodukt (engl. wreath product) ist ein Begriff aus der Gruppentheorie und bezeichnet ein spezielles semidirektes Produkt von Gruppen.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind G und J Gruppen und operiert J auf einer Menge Y, so wird dadurch eine Operation von J auf (der Gruppe aller Abbildungen von Y nach G mit punktweiser Verknüpfung) induziert durch:

Jedes definiert auf diese Weise einen Automorphismus von .

Somit kann das Kranzprodukt als das semidirekte Produkt aus und J bezüglich ebendieser Operation definiert werden. Manchmal betrachtet man auch das eingeschränkte Kranzprodukt. Dieses erhält man, indem man statt der Gruppe aller Abbildungen von nach nur die Untergruppe der Abbildungen betrachtet, die fast überall verschwinden.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus der Definition lässt sich sofort die Kardinalität von Kranzprodukten ableiten:

Da jede Gruppe auf sich selbst durch Linksmultiplikation operiert, ist es auch oft so, dass nur das entsprechende Kranzprodukt definiert wird. Ebenso üblich ist es, Y als endliche Menge festzusetzen und für J nur Untergruppen von Sym(n) mit der kanonischen Operation auf Y zuzulassen.

Operationen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Operiert G auf einer Menge X, so wird dadurch und durch die Operation von J auf Y eine Operation von auf induziert:

Diese Operation ist genau dann treu/transitiv wenn die Operationen von G auf X und J auf Y treu/transitiv sind.

Gruppenerweiterungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist H eine Erweiterung von N durch Q, so lässt sich H als eine Untergruppe eines Kranzprodukts aus N und Q darstellen. Dies ist vielleicht eine der wichtigsten Eigenschaften von Kranzprodukten, da jede endliche Gruppe durch Erweiterungen einfacher endlicher Gruppen darstellbar ist.

Gegeben ist also eine exakte Sequenz

Außerdem sei eine Abbildung gegeben, die erfüllt und jedem Element einen festen Repräsentanten seiner jeweiligen Nebenklasse zuordnet. Weiterhin muss gelten . (Ist N unendlich, so ist eine solche Funktion möglicherweise nur mit dem Auswahlaxiom zu finden)

Die Einbettung (Q operiert auf sich selbst durch Linksmultiplikation) ist dann gegeben durch:

Hierbei ist wie folgt definiert:

Diese Einbettung geht zurück auf L. Kaloujnine und M. Krasner.[1]

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die p-Sylow-Gruppen der symmetrischen Gruppe lassen sich als iterierte Kranzprodukte zyklischer Gruppen darstellen.

Dazu definiert man rekursiv eine Folge von Gruppen durch und , wobei die Operation von auf durch Linksmultiplikation gegeben ist.

Stellt man n zur Basis p dar, d. h. als Summe mit , so sind die p-Sylow-Gruppen von dann isomorph zu

Zum Symbol[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die senkrechte Tilde, die für das Kranzprodukt verwendet wird, befindet sich im Unicode-Block Mathematische Operatoren auf Position U+2240[2], in TeX und LaTeX kann es mit \wreath bzw. \wr dargestellt werden.

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. "Produit complet des groupes de permutations et probleme d’extension de groupes", L. Kaloujnine, M. Krasner - I, Acta Sci. Math. Szeged, 1950
  2. Unicode Character 'WREATH PRODUCT' (U+2240), fileformat.info