Semidirektes Produkt

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In der Gruppentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, beschreibt das semidirekte Produkt (manchmal auch halbdirektes Produkt) eine spezielle Methode, mit der aus zwei gegebenen Gruppen eine neue Gruppe konstruiert werden kann. Diese Konstruktion verallgemeinert das Konzept des direkten Produkts von Gruppen und ist selbst ein Spezialfall des Konzepts der Gruppenerweiterung zweier Gruppen.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben seien zwei Gruppen und , sowie ein Homomorphismus der Gruppe in die Gruppe der Automorphismen von .

Das kartesische Produkt der Mengen und ist die Menge aller Paare mit und . Dieses Produkt bildet zusammen mit der Verknüpfung

eine Gruppe. Dieses semidirekte Produkt wird als notiert, da der Homomorphismus die Struktur dieser Gruppe wesentlich mitbestimmt.

Anders als beim direkten Produkt spielen in dieser Definition die beiden konstruierenden Faktoren unterschiedliche Rollen beim Aufbau des Produkts. Durch operiert die Gruppe auf , nicht umgekehrt. Während beim direkten Produkt beim Vertauschen der Namen der Faktoren zwar nicht dieselbe, aber eine isomorphe Struktur entsteht, führt formales Vertauschen der Gruppen beim semidirekten Produkt zu einer undefinierten Struktur. Aus ähnlichen Gründen ist eine Erweiterung auf mehr als zwei Faktoren kaum sinnvoll und in der Literatur nicht üblich. Pointiert, wenn auch ungenau formuliert: Das semidirekte Produkt ist assoziativ, aber nicht kommutativ.

Äußeres und Inneres Produkt [Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die durch die obige Definition konstruierte Produktgruppe muss genauer als äußeres semidirektes Produkt bezeichnet werden, da die Gruppe bei dieser Definition aus vorgegebenen, disjunkten Gruppen konstruiert wird. Innere Definitionen beziehen sich dagegen auf eine bereits gegebene Gruppe mit einem Normalteiler und einer Untergruppe . Wie beim direkten Produkt führen innere und äußere Definition dort, wo eine innere Definition formal möglich ist, zu isomorphen Gruppen, sofern für die äußere Konstruktion der Homomorphismus passend gewählt wird. Formale Voraussetzung ist, dass die Gruppen und , von denen ausgegangen wird, Normalteiler bzw. Untergruppe derselben Gruppe sind und ihre Schnittmenge die Einsgruppe ist.

Ist andererseits aus zwei Gruppen und das äußere semidirekte Produkt gebildet worden, dann enthält die Gruppe mit einen zu isomorphen Normalteiler und mit eine zu isomorphe Untergruppe und kann als inneres semidirektes Produkt dieser „Kopien“ von und aufgefasst werden.

Da das innere semidirekte Produkt auf dem Konzept des Normalteilers einer Gruppe basiert, wird es im Artikel über diese besonderen Untergruppen im Unterabschnitt über das innere semidirekte Produkt erläutert. Dort wird auch der Zusammenhang zur äußeren Variante, auf die sich der vorliegende Artikel konzentriert, näher erklärt.

Splitting-Lemma[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Gruppe ist genau dann isomorph zum semidirekten Produkt zweier Gruppen und , wenn es eine kurze exakte Sequenz gibt

sowie einen Homomorphismus , so dass die Identität auf ist. Der Homomorphismus kann in diesem Fall durch

konstruiert werden.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein konkretes Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Liste kleiner Gruppen ist als nicht-kommutative Gruppe der Ordnung 16 das semidirekte Produkt ohne Angabe eines Homomorphismus aufgeführt. In diesem Fall gibt es nur einen einzigen nicht-trivialen Homomorphismus , denn ist zweielementig mit als zweitem Automorphismus neben . Da als zyklische Gruppe von erzeugt wird, ist der einzig mögliche nicht-triviale Homomorphismus , und der ist für die Bildung von heranzuziehen. Es bestehen dann folgende Formeln, wobei alle Angaben modulo 4 zu verstehen sind:

  ist das neutrale Element.
.

Insbesondere ist , woran man erkennt, dass die Gruppe nicht kommutativ ist.

Theorie endlicher Gruppen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Diedergruppe , also die Symmetriegruppe eines ebenen regelmäßigen -Ecks, ist isomorph zum semidirekten Produkt der zyklischen Drehsymmetriegruppe (die durch eine zyklische Vertauschung der Ecken des Vielecks beschrieben werden kann) mit einer zweielementigen zyklischen Gruppe . Das Element operiert dabei durch
auf , d. h. die Konjugation mit σ entspricht der Inversenbildung in . Das Element kann als Spiegelung des Vielecks an einer seiner Symmetrieachsen aufgefasst werden.
  • Für ist die Symmetrische Gruppe isomorph zu einem semidirekten Produkt ihres Normalteilers (der alternierenden Gruppe) und einer zweielementigen zyklischen Gruppe . Das Element operiert auf , indem in der Permutationsdarstellung von die Zahlen und vertauscht werden (). Als inneres semidirektes Produkt aufgefasst: Für ist die Symmetrische Gruppe ein semidirektes Produkt ihres Normalteiler mit ihrer durch eine beliebige Transposition erzeugten Untergruppe .
  • Der Satz von Schur-Zassenhaus ist ein Kriterium, wann man eine endliche Gruppe als ein semidirektes Produkt schreiben kann.

Der Holomorph einer Gruppe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Verwendet man speziell den Homomorphismus , so erhält man das semidirekte Produkt , das man auch den Holomorph von G nennt.

Anwendungsbeispiele in Transformationsgruppen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wichtige Beispiele semidirekter Produkte sind

Euklidische Gruppe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Beispiel ist die euklidische Gruppe . Jede orthogonale Matrix beschreibt einen Automorphismus im Raum der Translationen durch

.

Eine Bewegung operiert auf Punkten durch und es gilt

.

Somit gilt für Produkte in :

.

Dieses Produkt ist nicht abelsch, denn es gilt für und :

Poincaré-Gruppe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Poincaré-Gruppe, die das semidirekte Produkt der Gruppe der Translationen und der Gruppe der Lorentztransformationen ist. Das Element aus bezeichne eine Verschiebung mit dem Vektor . Der Automorphismus ist dann durch für jede Lorentztransformation und jeden Vektor gegeben. Die Poincaré-Gruppe ist besonders wichtig für die spezielle Relativitätstheorie, wo sie als Invarianzgruppe auftaucht.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]