Lamé-Konstanten

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Die Lamé-Konstanten (nach Gabriel Lamé) sind zwei Materialkonstanten und legen alle Komponenten des Elastizitätstensors eines isotropen Materials im Rahmen der Kontinuumsmechanik fest. Ihre Einheit entspricht einem Druck (Kraft pro Fläche, in SI-Einheiten ).

Elastizitätstheorie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der linearen Elastizitätstheorie wird die lineare Abhängigkeit des Spannungstensors vom Verzerrungstensor durch den Elastizitätstensor beschrieben. In Komponentenschreibweise und mit Hilfe der Einsteinschen Summenkonvention lautet der lineare Zusammenhang

Dabei sind die Spannungs- und Verzerrungstensoren Tensoren 2. Stufe und der Elastizitätstensor ein Tensor 4. Stufe. Im Falle des isotropen Hookeschen Gesetzes lässt sich dies zu

vereinfachen. Dabei wird die erste Lamé-Konstante und (der Schubmodul, Einheit ) die zweite Lamé-Konstante genannt und ist das Kronecker-Delta. Zu Querdehnzahl (Poissonzahl) und Elastizitätsmodul besteht der Zusammenhang:

und

Siehe im Abschnitt #Zusammenhang zwischen Lamé-Konstanten und elastischen Konstanten für weitere Formeln in Abhängigkeit von den Lamé-Konstanten.

Herleitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Falle eines isotropen, linear elastischen Materials, d.h. der Spannungstensor hängt linear von den Komponenten des Verzerrungstensors ab, kann man ein skalares Potenzial definieren, das die Energiedichte des Materials in Abhängigkeit von der Verzerrung angibt und durch die Beziehung

eine Spannungs-Verzerrungs-Relation definiert. Diese Funktion darf nur von Invarianten des Verzerrungstensors abhängen, da die Wahl des Koordinatensystems nicht die Energiedichte des Beschriebenen Verzerrungzustandes ändern darf. Der Verzerrungstensor ist symmetrisch, daher hat er folgende Invarianten (in der Schreibweise mit Einsteinscher Summenkonvention)

Um eine lineare Verzerrungs-Spannungs-Relation zu erhalten, darf das Potenzial nur quadratisch von den Komponenten des Verzerrungstensors abhängen. Daher und aufgrund der Koordinateninvarianz des Potenzials muss es die Form

haben, mit beliebigen Konstanten und . Setzt man diesen Potenzialansatz in die Spannungs-Verzerrungs-Relation ein und führt einige Umformungen durch[1], so ergibt sich die Beziehung

Mit den Definitionen

und

nennt man nun und erste und zweite Lamé-Konstante. Das Gesetz

wird generalisiertes Hookesches Gesetz genannt.

Strömungslehre[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In den Navier-Stokes-Gleichungen der Strömungslehre wird für die dynamische Scher-Viskosität (Einheit ) häufig auch das Symbol der zweiten Lamé-Konstante verwendet und für die Volumen-Viskosität unter Umständen das Symbol der ersten Lamé-Konstante .[2] Diese Viskositäten sind jedoch nicht mit den obigen Lamé-Konstanten zu verwechseln, welche Elastizitätsmaße eines Festkörpers repräsentieren.

Zusammenhang zwischen Lamé-Konstanten und elastischen Konstanten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Größe ist gleich / Abhängig von 1. Lamé-Konstante: Schubmodul (2. Lamé-Konstante): Youngs Elastizitätsmodul: Poissonzahl: Kompressionsmodul:

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Tribikram Kundu: Ultrasonic and Electromagnetic NDE for Structure and Material Characterization. CRC Press, 2012, ISBN 1-4398-3663-9, S. 27 ff. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  2. Emmanuil G. Sinaiski: Hydromechanics. John Wiley & Sons, 2011, ISBN 978-3-527-63378-4, S. 30 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).