Schubmodul

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Material Typische Werte für
den Schubmodul in GPa
(bei Raumtemperatur)[1]
Stahl 79,3
Kupfer 47
Titan 41,4
Glas 26,2
Aluminium 25,5
Magnesium 17
Polyethylen 0,117
Gummi 0,0003
Schubmodul eines speziellen Basisglases:
Einflüsse der Zugabe ausgewählter Glasbestandteile [2]

Der Schubmodul G (auch Gleitmodul, G-Modul, Schermodul oder Torsionsmodul) ist eine Materialkonstante, die Auskunft gibt über die linear-elastische Verformung eines Bauteils infolge einer Scherkraft oder Schubspannung. Die SI-Einheit ist Newton pro Quadratmeter (1 N/m² = 1 Pa), also die Einheit einer mechanischen Spannung. In Materialdatenbanken wird der Schubmodul üblicherweise in N/mm²(=MPa) oder kN/mm²(=GPa) angegeben.

Im Rahmen der Elastizitätstheorie entspricht der Schubmodul der zweiten Lamé-Konstanten und trägt dort das Symbol \mu.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Schubmodul beschreibt das Verhältnis zwischen der Schubspannung  \tau und dem Tangens des Schubwinkels \gamma (Gleitung):

\tau = G \cdot \tan \gamma

Für kleine Winkel \gamma kann in erster Näherung \tan \gamma \approx \gamma gesetzt werden (Kleinwinkelnäherung).

Diese Formel ist analog zum Hooke’schen Gesetz für den 1-achsigen Spannungszustand:

\sigma = E \cdot \varepsilon

Bei Torsionsbelastung eines Bauteils berechnet sich seine Torsionssteifigkeit aus dem Schubmodul und dem Torsionsträgheitsmoment I_{\mathrm{T}}, das auf die Achse bezogen ist, um die der Körper tordiert wird:

\mathrm{Steifigkeit_T} = G \cdot I_{\mathrm{T}},

analog zur Ermittlung der Dehnsteifigkeit (aus dem Produkt von Elastizitätsmodul und Querschnittsfläche).

Zusammenhang mit anderen Materialkonstanten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei einem isotropen Material steht der Schubmodul mit dem Elastizitätsmodul E, der Querkontraktionszahl ν (Poissonzahl) und dem Kompressionsmodul K in folgender Beziehung:

G = \frac{1}{2(1 + \nu)} \cdot E = \frac{3KE}{9K - E} = \frac{3(1 - 2 \nu)}{2(1 + \nu)} \cdot K

Für linear-elastisches, nicht-auxetisches Materialien ist die Poissonzahl größergleich Null. Aufgrund Energieerhaltung folgt die positiven Definiertheit von Kompressionsmodul und E-Modul. Daraus folgt, dass die Poissonzahl unter 0,5 liegt. \left(0 \leq \nu < 0{,}5\right) Somit ergibt sich für den Schubmodul der meisten Materialien im linear-elastischen Bereich:

 \frac {1} {3}  E < G \le  \frac {1} {2} E

Auxetische Materialien sind so definiert, dass sie eine negative Poissonzahl haben, was nur bei wenigen Materialien der Fall ist. Da der Schubmodul aufgrund der Energieerhaltung eine positiv definierte Größe hat, gilt für auxetische Materialien im linear-elastischen Bereich:

 \frac {1} {2}  E < G_\mathrm{aux} < + \infty

Da auch der E-Modul positiv definiert ist, ergibt sich für die Poissonzahl der Gültigkeitsbereich -1 < \nu_\mathrm{aux} < 0.

Umrechnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Umrechnungsformeln
(K,\,E) (K,\,\lambda) (K,\,G) (K,\, \nu) (E,\,G) (E,\,\nu) (\lambda,\,G) (G,\,\nu) (G,\,M)
Kompressionsmodul K=\, K K K K \tfrac{EG}{3(3G-E)} \tfrac{E}{3(1-2\nu)} \lambda+ \tfrac{2G}{3} \tfrac{2G(1+\nu)}{3(1-2\nu)} M - \tfrac{4G}{3}
Elastizitätsmodul E=\, E \tfrac{9K(K-\lambda)}{3K-\lambda} \tfrac{9KG}{3K+G} 3K(1-2\nu)\, E E \tfrac{G(3\lambda + 2G)}{\lambda + G} 2G(1+\nu)\, \tfrac{G(3M-4G)}{M-G}
Lamé-Konstanten \lambda=\, \tfrac{3K(3K-E)}{9K-E} \lambda K-\tfrac{2G}{3} \tfrac{3K\nu}{1+\nu} \tfrac{G(E-2G)}{3G-E} \tfrac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)} \lambda \tfrac{2 G \nu}{1-2\nu} M - 2G\,
Schubmodul G=\, \tfrac{3KE}{9K-E} \tfrac{3(K-\lambda)}{2} G \tfrac{3K(1-2\nu)}{2(1+\nu)} G \tfrac{E}{2(1+\nu)} G G G
Poissonzahl \nu=\, \tfrac{3K-E}{6K} \tfrac{\lambda}{3K-\lambda} \tfrac{3K-2G}{2(3K+G)} \nu \tfrac{E}{2G}-1 \nu \tfrac{\lambda}{2(\lambda + G)} \nu \tfrac{M - 2G}{2M - 2G}
Longitudinalmodul M=\, \tfrac{3K(3K+E)}{9K-E} 3K-2\lambda\, K+\tfrac{4G}{3} \tfrac{3K(1-\nu)}{1+\nu} \tfrac{G(4G-E)}{3G-E} \tfrac{E(1-\nu)}{(1+\nu)(1-2\nu)} \lambda+2G\, \tfrac{2G(1-\nu)}{1-2\nu} M
Durch zwei beliebige verschiedene Moduln sind die elastischen Eigenschaften von linear-elastischen, homogenen, isotropen Materialien eindeutig bestimmt.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Crandall, Dahl, Lardner: An Introduction to the Mechanics of Solids. McGraw-Hill, 1959.
  2. Berechnung des Schubmoduls von Gläsern (in englischer Sprache).