Kompressionsmodul

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Verformung unter gleichmäßigem Druck

Der Kompressionsmodul (Formelzeichen K) ist eine intensive und stoffeigene physikalische Größe aus der Elastizitätslehre. Er beschreibt, welche allseitige Druckänderung nötig ist, um eine bestimmte Volumenänderung hervorzurufen (dabei darf kein Phasenübergang auftreten). Die SI-Einheit des Kompressionsmoduls ist daher Pascal bzw. Newton pro Quadratmeter.

Dass Stoffe einer Kompression (Verdichtung, Komprimierung) Widerstand entgegensetzen, beruht in erster Linie auf Wechselwirkungen der enthaltenen Elektronen.

Allgemeines[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Kompression ist ein (allseitiges) Zusammendrücken eines Körpers, welches sein Volumen verringert und seine Dichte (Massendichte) erhöht. Körper werden nur als kompressibel bezeichnet, wenn die auftretenden Druckveränderungen ausreichen, um merkliche Dichteänderungen zu verursachen, was meist (nur) bei Gasen der Fall ist. Wenn keine merklichen Dichteänderungen auftreten, nennt man die Körper inkompressibel (siehe auch inkompressibles Fluid).

In der Festigkeitslehre wird im Allgemeinen jeder Festkörper als verformbar angenommen (in Form (reiner Schub) als auch hydrostatische Volumenveränderungen (kompressibel)). Nach dem Vorgang ist der Körper verdichtet (komprimiert). In der Regel erfolgt nur eine elastische Verformung; d. h. beim Nachlassen des Drucks kehrt sich die Verdichtung wieder um, der Körper dehnt sich wieder aus (Expansion). Abhängig vom Material kann aber auch eine bleibende Änderung der Struktur eintreten (z. B. plastische Verformung, Zerbröseln von Beton, Kornumlagerungen im Grundbau).

Der Kompressionsmodul beschreibt nur den spontan elastischen Anteil (des hydrostatischen Anteiles) der Volumenänderung, weder plastische noch bruchmechanische noch viskoelastische Anteile gehen ein, auch eventuelle thermische Verformungen werden vorher abgezogen.

Die Beziehung zwischen dem Volumen eines Festkörpers und dem auf ihn wirkenden äußeren hydrostatischen Druck wird beschrieben durch die Gleichungen nach Murnaghan und Birch.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kompressionsmodul einiger Stoffe
Stoff Kompressionsmodul in GPa
Luft   (unter
Normalbedingung)
001,01·10−4 (isotherm)
001,42·10−4 (adiabatisch)
Helium   (fest) 000,05 (geschätzt)
Methanol 000,823
Ethanol 000,896
Aceton 000,92
Öl 001 … 1,6[1]
Caesium 001,6
Wasser 002,08 (0,1 MPa)
002,68 (100 MPa)
Rubidium 002,5
Glycerin 004,35
Natrium 006,3
Iod 007,7
Methanhydrat 009,1  (Mittelwert im Bereich 10...100 MPa)
Barium 009,6
Lithium 011
Quecksilber 028,5
Bismut 031
Glas 035 … 55
Blei 046
Aluminium 076
Stahl 160
Gold 180
Borcarbid 271
Magnesiumoxid 277
Bor 320
Rhodium 380
Diamant 442
Osmium 462
Aggregierte Diamant-
Nanostäbchen
(ADNR)
491 (härtestes 2008 bekanntes Material[2])

Der Kompressionsmodul ist definiert über die spontan elastische Veränderung des Volumens (und damit der Dichte) zufolge eines Drucks bzw. mechanischer Spannung:

Hierbei stehen die einzelnen Formelzeichen für folgende Größen:

        – Volumen
       – infinitesimale Druckänderung
      – infinitesimale Volumenänderung
– relative Volumenänderung.

Das negative Vorzeichen wurde gewählt, da Druckzuwachs das Volumen verringert ( ist negativ), praktischerweise aber positiv sein sollte. Der Kompressionsmodul hängt u. a. von der Temperatur und vom Druck ab.

Der Kompressionsmodul stellt eine Spannung bzw. jenen fiktiven Druck dar, bei dem das Volumen zu Null werden würde, wenn lineare Elastizität, d. h. , und geometrische Linearität in den Ortskoordinaten (somit nicht in den Materialkoordinaten) gegeben wäre, also der Kompressionsmodul bei höheren Drücken nicht ansteigen würde.

Kompressibilität[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einflüsse der Zugabe ausgewählter Glasbestandteile auf den Kompressionsmodul eines speziellen Basisglases.[3]

Bei Gasen und Flüssigkeiten wird statt des Kompressionsmoduls oft sein Kehrwert verwendet. Dieser wird Kompressibilität (Formelzeichen: κ oder χ) oder auch Kompressibilitätskoeffizient genannt:

.

Man unterscheidet

  • isotherme Kompressibilität (bei konstanter Temperatur und konstanter Teilchenzahl ), wobei die Freie Energie ist:
  • adiabatische Kompressibilität (bei konstante Entropie und konstanter Teilchenzahl ), wobei die Innere Energie ist:

In der Näherung eines idealen Gases berechnet sich

wobei (oft auch als bezeichnet) der Isentropenexponent ist.

Die Kompressibilität von Flüssigkeiten wurde lange bezweifelt, bis sie John Canton 1761, Jacob Perkins 1820 und Hans Christian Oersted 1822 durch Messungen nachweisen konnten.

Kompressionsmodul von Festkörpern mit isotropem Materialverhalten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Unter Voraussetzung linear-elastischen Verhaltens und isotropen Materials kann man den Kompressionsmodul aus anderen Elastizitätskonstanten berechnen:

mit

Elastizitätsmodul
Schubmodul
  – Poissonzahl

Wasser[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wasserdruck mit und ohne Kompressibilität

Der Kompressionsmodul von Wasser beträgt bei einer Temperatur von 10 °C unter Normaldruck 2,08·109 Pa bei 0,1 MPa und 2,68·109 Pa bei 100 MPa.

Bezieht man die Kompressibilität des Wassers in die Berechnung des Drucks mit ein, ergibt sich mit der Kompressibilität

das rechte Diagramm.

Bei einer Dichte von 1000 kg/m³ an der Oberfläche erhöht sich durch die Kompressibilität des Wassers die Dichte in 12 km Tiefe auf dort 1051 kg/m³. Der zusätzliche Druck durch die höhere Dichte von Wasser in der Tiefe beläuft sich auf etwa 2,6 Prozent gegenüber dem Wert bei Vernachlässigung der Kompressibilität. Hierbei bleiben jedoch die im Meer weiterhin vorherrschenden Einflüsse von Temperatur, Gas- und Salzgehalten unberücksichtigt.

Neutronensterne[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei Neutronensternen sind unter dem Druck der Gravitation alle Atomhüllen zusammengebrochen und aus Elektronen der Hüllen und Protonen der Atomkerne sind Neutronen entstanden. Neutronen sind die inkompressibelste Form der Materie, die bekannt ist. Ihr Kompressionsmodul liegt 20 Größenordnungen über dem von Diamant unter Normalbedingung.

Umrechnung zwischen den elastischen Konstanten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

…ergibt sich aus:[4]
Der Modul…
Kompressionsmodul
Elastizitätsmodul
1. Lamé-Konstante
Schubmodul bzw.
(2. Lamé-Konstante)
Poissonzahl
Longitudinalmodul ()

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Dieter Will, Norbert Gebhardt: Hydraulik: Grundlagen, Komponenten, Schaltungen. Springer DE, 1 June 2011, ISBN 978-3-642-17242-7, S. 21–.
  2. Natalia Dubrovinskaia, Leonid Dubrovinsky, Wilson Crichton, Falko Langenhorst, Asta Richter. Aggregated diamond nanorods, the densest and least compressible form of carbon. Applied Physics Letters, 22. August 2005.
  3. Glassproperties.com Calculation of the Bulk Modulus for Glasses
  4. G. Mavko, T. Mukerji, J. Dvorkin: The Rock Physics Handbook. Cambridge University Press, 2003, ISBN 0-521-54344-4 (paperback).