Die lemniskatische Konstante ist eine 1798 von Carl Friedrich Gauß eingeführte mathematische Konstante . Sie ist definiert als der Wert des elliptischen Integrals
ϖ
=
2
∫
0
1
d
t
1
−
t
4
{\displaystyle \varpi =2\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{4}}}}}
A062539 in OEIS )und tritt bei der Berechnung der Bogenlänge der gesamten Lemniskate von Bernoulli auf. Derzeit (Stand: 18. Juli 2022) sind 1.200.000.000.100 Nachkommastellen der lemniskatischen Konstante bekannt. Sie wurden von Seungmin Kim berechnet.[ 1]
Die Lemniskatische Konstante ist das Verhältnis des Umfangs zum maximalen Durchmesser bei der Lemniskate von Bernoulli! Gauß wählte für die lemniskatische Konstante bewusst die griechische Minuskel
ϖ
{\displaystyle \varpi }
π
{\displaystyle \pi }
Kreis mit seinem halben Umfang
π
=
2
∫
0
1
d
t
1
−
t
2
{\displaystyle \pi =2\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{2}}}}}
zu erinnern. Den Ursprung dieser Bezeichnung bei Gauß klärte vermutlich zuerst Ludwig Schlesinger auf: Zunächst verwendete Gauß zur Bezeichnung der lemniskatischen Periode das Zeichen
Π
{\displaystyle \Pi }
ϖ
2
{\displaystyle {\tfrac {\varpi }{2}}}
Im Englischen findet sich für die Minuskel
ϖ
{\displaystyle \varpi }
pomega, ein Kofferwort aus den Buchstabennamen für π und ω.
Im englischen Sprachraum wird
G
=
ϖ
/
π
{\displaystyle G=\varpi /\pi }
A014549 in OEIS )als Gaußkonstante bezeichnet.
Folgende kartesische Koordinatengleichung ist für die Lemniskate von Bernoulli mit der Brennweite f gültig:
(
x
2
+
y
2
)
2
=
2
f
2
(
x
2
−
y
2
)
{\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{2}=2f^{2}(x^{2}-y^{2})}
Daraus resultiert nachfolgende Parametergleichung für die Lemniskate mit dieser Brennweite:
x
(
t
)
=
2
f
sin
(
t
)
cos
(
t
)
2
+
1
∩
y
(
t
)
=
2
f
sin
(
t
)
cos
(
t
)
cos
(
t
)
2
+
1
mit
0
≤
t
<
2
π
{\displaystyle x(t)={\frac {{\sqrt {2}}f\sin(t)}{\cos(t)^{2}+1}}\quad \cap \quad y(t)={\frac {{\sqrt {2}}f\sin(t)\cos(t)}{\cos(t)^{2}+1}}\quad {\text{ mit }}\ 0\leq t<2\pi }
Für das gegebene Intervall von t wird die gesamte Kurve der Lemniskate genau einmal parametrisiert. Der Umfang wird durch Integration von denselben Grenzen für t von der Pythagoräischen Summe der ersten Ableitungen bezüglich t berechnet:
U
=
∫
0
2
π
(
d
d
t
x
(
t
)
)
2
+
(
d
d
t
y
(
t
)
)
2
d
t
=
∫
0
2
π
(
d
d
t
⋅
2
f
sin
(
t
)
cos
(
t
)
2
+
1
)
2
+
(
d
d
t
⋅
2
f
sin
(
t
)
cos
(
t
)
cos
(
t
)
2
+
1
)
2
d
t
=
∫
0
2
π
(
2
f
cos
(
t
)
[
3
−
cos
(
t
)
2
]
[
cos
(
t
)
2
+
1
]
2
)
2
+
(
2
f
[
3
cos
(
t
)
2
−
1
]
[
cos
(
t
)
2
+
1
]
2
)
2
d
t
=
∫
0
2
π
2
f
cos
(
t
)
2
+
1
d
t
=
4
∫
0
π
/
2
2
f
cos
(
t
)
2
+
1
d
t
=
4
∫
0
π
/
2
2
f
sin
(
t
)
2
+
1
d
t
=
4
∫
0
1
[
d
d
x
arcsin
(
x
)
]
2
f
1
+
x
2
d
x
=
4
∫
0
1
2
f
1
−
x
4
d
x
{\displaystyle {\begin{aligned}U&=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {{\biggl (}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t){\biggr )}^{2}+{\biggl (}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}y(t){\biggr )}^{2}}}\ \mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {{\biggl (}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\cdot {\frac {{\sqrt {2}}f\sin(t)}{\cos(t)^{2}+1}}{\biggr )}^{2}+{\biggl (}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\cdot {\frac {{\sqrt {2}}f\sin(t)\cos(t)}{\cos(t)^{2}+1}}{\biggr )}^{2}}}\ \mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {{\biggl (}{\frac {{\sqrt {2}}f\cos(t)[3-\cos(t)^{2}]}{[\cos(t)^{2}+1]^{2}}}{\biggr )}^{2}+{\biggl (}{\frac {{\sqrt {2}}f[3\cos(t)^{2}-1]}{[\cos(t)^{2}+1]^{2}}}{\biggr )}^{2}}}\ \mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{2\pi }{\frac {{\sqrt {2}}f}{\sqrt {\cos(t)^{2}+1}}}\ \mathrm {d} t=4\int _{0}^{\pi /2}{\frac {{\sqrt {2}}f}{\sqrt {\cos(t)^{2}+1}}}\ \mathrm {d} t=4\int _{0}^{\pi /2}{\frac {{\sqrt {2}}f}{\sqrt {\sin(t)^{2}+1}}}\ \mathrm {d} t\\&=4\int _{0}^{1}{\biggl [}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arcsin(x){\biggr ]}{\frac {{\sqrt {2}}f}{\sqrt {1+x^{2}}}}\ \mathrm {d} x=4\int _{0}^{1}{\frac {{\sqrt {2}}f}{\sqrt {1-x^{4}}}}\ \mathrm {d} x\end{aligned}}}
Der maximale Durchmesser der Lemniskate von Bernoulli beträgt
2
2
f
{\displaystyle 2{\sqrt {2}}f}
ϖ
=
U
2
2
f
=
2
∫
0
1
1
1
−
x
4
d
x
{\displaystyle \varpi ={\frac {U}{2{\sqrt {2}}f}}=2\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}\,\mathrm {d} x}
Mit der Eulerschen Betafunktion
B
{\displaystyle \mathrm {B} }
Gammafunktion
Γ
{\displaystyle \Gamma }
ϖ
=
1
4
2
B
(
1
4
,
1
4
)
=
1
2
B
(
1
4
,
1
2
)
=
Γ
(
1
4
)
2
/
(
2
2
π
)
.
{\displaystyle \varpi ={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2}}\,\mathrm {B} ({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{4}})={\tfrac {1}{2}}\,\mathrm {B} ({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}})=\Gamma ({\tfrac {1}{4}})^{2}/{\bigl (}2{\sqrt {2\pi }}{\bigr )}.}
Deswegen gilt auch das Folgende:
∫
0
∞
e
−
x
4
d
x
=
π
4
⋅
ϖ
2
⋅
2
4
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x^{4}}\mathrm {d} x={\frac {{\sqrt[{4}]{\pi }}\cdot {\sqrt {\varpi }}}{2\cdot {\sqrt[{4}]{2}}}}}
Ebenso kann die lemniskatische Konstante mit der Ableitung der Dirichletschen Betafunktion auf folgende zwei Weisen dargestellt werden:
ϖ
=
π
1
/
2
exp
[
β
′
(
0
)
]
{\displaystyle \varpi =\pi ^{1/2}\exp {\bigl [}\beta '(0){\bigr ]}}
ϖ
=
2
−
1
/
2
π
exp
[
1
2
γ
−
2
π
β
′
(
1
)
]
{\displaystyle \varpi =2^{-1/2}\pi \exp \left[{\frac {1}{2}}\,\gamma -{\frac {2}{\pi }}\beta '(1)\right]}
Das Kürzel
γ
{\displaystyle \gamma }
Euler-Mascheroni-Konstante aus.
Dabei gilt nach der Abel-Plana-Formeldefinition für die Dirichletsche Betafunktion:
β
(
x
)
=
1
2
+
∫
0
∞
sin
[
x
arctan
(
y
)
]
2
(
y
2
+
1
)
x
/
2
csch
(
π
2
y
)
d
y
{\displaystyle \beta (x)={\frac {1}{2}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin[x\arctan(y)]}{2\,(y^{2}+1)^{x/2}}}\operatorname {csch} {\bigl (}{\frac {\pi }{2}}\,y{\bigr )}\,\mathrm {d} y}
Und somit gilt für die Ableitung der Dirichletschen Betafunktion:
β
′
(
x
)
=
∫
0
∞
2
arctan
(
y
)
cos
[
x
arctan
(
y
)
]
−
ln
(
y
2
+
1
)
sin
[
x
arctan
(
y
)
]
4
(
y
2
+
1
)
x
/
2
csch
(
π
2
y
)
d
y
{\displaystyle \beta '(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan(y)\cos[x\arctan(y)]-\ln(y^{2}+1)\sin[x\arctan(y)]}{4\,(y^{2}+1)^{x/2}}}\operatorname {csch} {\bigl (}{\frac {\pi }{2}}\,y{\bigr )}\,\mathrm {d} y}
Gauß fand die Beziehung
ϖ
=
π
/
agm
(
1
;
2
)
{\displaystyle \varpi =\pi /\operatorname {agm} (1;{\sqrt {2}})}
mit dem arithmetisch-geometrischen Mittel agm und gab auch eine schnell konvergierende Reihe
ϖ
=
π
2
∑
k
=
0
∞
(
2
k
k
)
2
1
2
5
k
{\displaystyle \varpi ={\frac {\pi }{\sqrt {2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {2k}{k}}^{\!2}{\frac {1}{2^{5k}}}}
mit Summanden der Größenordnung
1
k
2
k
{\displaystyle {\frac {1}{k2^{k}}}}
Außerdem erkannte Carl Friedrich Gauß folgenden Zusammenhang:
ϖ
=
4
arcsl
(
1
2
)
+
2
arcsl
(
7
23
)
{\displaystyle \varpi =4\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{2}})+2\operatorname {arcsl} ({\tfrac {7}{23}})}
ϖ
=
∑
k
=
0
∞
(
2
k
k
)
1
4
k
(
4
k
+
1
)
[
4
(
1
2
)
4
k
+
1
+
2
(
7
23
)
4
k
+
1
]
{\displaystyle \varpi =\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {2k}{k}}{\frac {1}{4^{k}(4k+1)}}{\biggl [}4\left({\frac {1}{2}}\right)^{4k+1}+2\left({\frac {7}{23}}\right)^{4k+1}{\biggr ]}}
Dabei wird mit
arcsl
{\displaystyle \operatorname {arcsl} }
Lemniskatische Arkussinus ausgedrückt.
Weitere Arcussinus-Lemniscatus-Summen von diesem Schema können so erzeugt werden:
ϖ
=
4
arcsl
(
a
)
+
2
arcsl
{
tan
[
1
4
π
−
2
arctan
(
a
2
)
]
}
{\displaystyle \varpi =4\operatorname {arcsl} (a)+2\operatorname {arcsl} \{\tan[{\tfrac {1}{4}}\pi -2\arctan(a^{2})]\}}
0
≤
a
≤
1
{\displaystyle 0\leq a\leq 1}
Die Auswertung
ϖ
=
2
∑
k
=
0
∞
(
2
k
k
)
1
(
4
k
+
1
)
2
2
k
{\displaystyle \varpi =2\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {2k}{k}}{\frac {1}{(4k+1)2^{2k}}}}
des elliptischen Integrals ergibt eine ähnliche Reihe, die jedoch sehr viel langsamer konvergiert, da die Glieder von der Größenordnung
1
k
3
/
2
{\displaystyle {\frac {1}{k^{3/2}}}}
ϖ
=
π
[
∑
k
=
−
∞
∞
(
−
1
)
k
e
−
π
k
2
]
2
=
π
2
[
∑
k
=
−
∞
∞
e
−
π
k
2
]
2
{\displaystyle \varpi =\pi {\biggl [}\sum _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k}\,e^{-\pi k^{2}}{\biggr ]}^{2}={\frac {\pi }{\sqrt {2}}}{\biggl [}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\,e^{-\pi k^{2}}{\biggr ]}^{2}}
mit Summanden der Größenordnung
e
−
π
k
2
{\displaystyle e^{-\pi k^{2}}}
Auch sehr schnell konvergiert folgende Reihe:
ϖ
=
π
2
∑
k
=
−
∞
∞
sech
(
π
k
)
{\displaystyle \varpi ={\frac {\pi }{\sqrt {2}}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} (\pi k)}
Niels Nielsen stellte 1906 mit Hilfe der Kummerschen Reihe der Gammafunktion einen Zusammenhang mit der Eulerschen Konstante
γ
{\displaystyle \gamma }
[ 2]
log
ϖ
=
1
2
γ
−
1
2
log
2
+
log
π
+
2
π
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
log
(
2
k
+
1
)
2
k
+
1
{\displaystyle \log \varpi ={\tfrac {1}{2}}\gamma -{\tfrac {1}{2}}\log 2+\log \pi +{\frac {2}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\log(2k+1)}{2k+1}}}
Theodor Schneider bewies 1937 die Transzendenz von
ϖ
{\displaystyle \varpi }
[ 3] Gregory Chudnovsky zeigte 1975, dass
Γ
(
1
/
4
)
{\displaystyle \Gamma (1/4)}
ϖ
{\displaystyle \varpi }
algebraisch unabhängig von
π
{\displaystyle \pi }
[ 4] [ 5]
Analog zum Wallisschen Produkt lassen sich für die lemniskatische Konstante folgende Produktreihen entwickeln:
ϖ
=
2
∏
k
=
0
∞
(
4
k
+
3
)
(
4
k
+
4
)
(
4
k
+
2
)
(
4
k
+
5
)
=
2
∏
k
=
0
∞
(
4
k
+
2
)
(
4
k
+
4
)
(
4
k
+
1
)
(
4
k
+
5
)
{\displaystyle \varpi =2\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k+3)(4k+4)}{(4k+2)(4k+5)}}={\sqrt {2}}\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k+2)(4k+4)}{(4k+1)(4k+5)}}}
Folgende Produktreihen konvergieren sehr schnell:
ϖ
=
π
∏
k
=
1
∞
tanh
(
π
k
/
2
)
2
=
π
2
4
∏
k
=
1
∞
tanh
(
π
k
)
2
{\displaystyle \varpi =\pi \prod _{k=1}^{\infty }\tanh(\pi k/2)^{2}={\frac {\pi }{\sqrt[{4}]{2}}}\prod _{k=1}^{\infty }\tanh(\pi k)^{2}}
Lemniskatisch elliptische Integrale Mit dem vollständigen elliptischen Integral erster Art lässt sich die lemniskatische Konstante auf verschiedene Weise darstellen:
ϖ
=
2
K
(
1
2
)
=
4
(
2
−
1
)
K
[
(
2
−
1
)
2
]
=
27
4
(
3
−
1
)
K
[
1
2
(
3
−
1
)
(
2
−
3
4
)
]
=
{\displaystyle \varpi ={\sqrt {2}}K\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)=4({\sqrt {2}}-1)K[({\sqrt {2}}-1)^{2}]={\sqrt[{4}]{27}}({\sqrt {3}}-1)K\left[{\frac {1}{2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {2}}-{\sqrt[{4}]{3}})\right]=}
=
8
(
2
+
1
)
2
(
2
4
−
1
)
2
K
[
(
2
+
1
)
2
(
2
4
−
1
)
4
]
=
5
2
(
5
−
2
)
K
[
1
2
(
5
−
2
)
(
3
−
2
5
4
)
]
{\displaystyle =8({\sqrt {2}}+1)^{2}({\sqrt[{4}]{2}}-1)^{2}K[({\sqrt {2}}+1)^{2}({\sqrt[{4}]{2}}-1)^{4}]=5{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-2)K\left[{\frac {1}{\sqrt {2}}}({\sqrt {5}}-2)(3-2{\sqrt[{4}]{5}})\right]}
Die lemniskatische Konstante kann auch ausschließlich mit Ellipsenumfängen und somit mit elliptischen Integralen zweiter Art dargestellt werden:
ϖ
=
(
2
+
2
)
E
[
(
2
−
1
)
2
]
−
2
E
(
1
2
)
=
{\displaystyle \varpi =(2+{\sqrt {2}})E[({\sqrt {2}}-1)^{2}]-2E\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)=}
=
3
2
(
2
2
+
6
−
27
4
−
3
4
)
E
[
1
2
(
3
−
1
)
(
2
−
3
4
)
]
−
1
2
(
3
3
4
+
27
4
−
3
2
)
E
(
1
2
)
{\displaystyle ={\frac {3}{2}}(2{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}-{\sqrt[{4}]{27}}-{\sqrt[{4}]{3}})E\left[{\frac {1}{2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {2}}-{\sqrt[{4}]{3}})\right]-{\frac {1}{2}}(3{\sqrt[{4}]{3}}+{\sqrt[{4}]{27}}-3{\sqrt {2}})E\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}
Dabei ist E(k) das Verhältnis des Viertelumfangs zur längeren Halbachse bei derjenigen Ellipse, bei welcher die numerische Exzentrizität den Wert k annimmt.
Folgende weitere Integrale involvieren die lemniskatische Konstante:
∫
0
1
1
x
4
+
1
d
x
=
ϖ
2
2
{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {x^{4}+1}}}\,\mathrm {d} x={\frac {\varpi }{2{\sqrt {2}}}}}
∫
0
1
1
(
1
−
x
4
)
3
/
4
d
x
=
ϖ
2
{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {1}{(1-x^{4})^{3/4}}}\,\mathrm {d} x={\frac {\varpi }{\sqrt {2}}}}
∫
0
1
1
(
1
−
x
2
)
3
/
4
d
x
=
ϖ
{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {1}{(1-x^{2})^{3/4}}}\,\mathrm {d} x=\varpi }
∫
0
∞
sech
(
x
)
d
x
=
ϖ
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\sqrt {\operatorname {sech} (x)}}\,\mathrm {d} x=\varpi }
∫
0
π
/
2
sec
(
x
)
d
x
=
ϖ
{\displaystyle \int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {\operatorname {sec} (x)}}\,\mathrm {d} x=\varpi }
Nach der Kettenregel gelten folgende vier Ableitungen:
d
d
x
(
∫
0
1
x
1
−
x
4
y
4
d
y
)
=
1
1
−
x
4
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\biggl (}\int _{0}^{1}{\frac {x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\,\mathrm {d} y{\biggr )}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}}
d
d
x
(
∫
0
1
x
3
y
2
1
−
x
4
y
4
d
y
)
=
x
2
1
−
x
4
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\biggl (}\int _{0}^{1}{\frac {x^{3}y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\mathrm {d} y{\biggr )}={\frac {x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}}
d
d
x
{
y
2
+
1
2
y
2
[
artanh
(
y
2
)
−
artanh
(
1
−
x
4
y
2
1
−
x
4
y
4
)
]
}
=
x
3
(
y
2
+
1
)
(
1
−
x
4
)
(
1
−
x
4
y
4
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\biggl \{}{\frac {y^{2}+1}{2y^{2}}}{\biggl [}{\text{artanh}}{\bigl (}y^{2}{\bigr )}-{\text{artanh}}{\biggl (}{\frac {{\sqrt {1-x^{4}}}\,y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}{\biggr )}{\biggr ]}{\biggr \}}={\frac {x^{3}(y^{2}+1)}{\sqrt {(1-x^{4})(1-x^{4}y^{4})}}}}
d
d
y
[
arctan
(
y
)
−
1
−
y
2
2
y
artanh
(
y
2
)
]
=
y
2
+
1
2
y
2
artanh
(
y
2
)
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}{\biggl [}\arctan(y)-{\frac {1-y^{2}}{2y}}{\text{artanh}}(y^{2}){\biggr ]}={\frac {y^{2}+1}{2y^{2}}}\operatorname {artanh} (y^{2})}
Im Folgenden werden zwei Gleichungsketten synthetisiert und danach gleichgesetzt:
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung wird auf folgende Weise angewendet:
∫
0
1
d
d
x
(
∫
0
1
x
1
−
x
4
y
4
d
y
∫
0
1
x
3
y
2
1
−
x
4
y
4
d
y
)
d
x
=
{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\biggl (}\int _{0}^{1}{\frac {x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\mathrm {d} y\int _{0}^{1}{\frac {x^{3}y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\mathrm {d} y{\biggr )}\mathrm {d} x=}
=
[
∫
0
1
x
1
−
x
4
y
4
d
y
∫
0
1
x
3
y
2
1
−
x
4
y
4
d
y
]
x
=
0
x
=
1
=
{\displaystyle ={\biggl [}\int _{0}^{1}{\frac {x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\mathrm {d} y\int _{0}^{1}{\frac {x^{3}y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\mathrm {d} y{\biggr ]}_{x=0}^{x=1}=}
=
∫
0
1
1
1
−
y
4
d
y
∫
0
1
y
2
1
−
y
4
d
y
=
ϖ
2
∫
0
1
x
2
1
−
x
4
d
x
{\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-y^{4}}}}\mathrm {d} y\int _{0}^{1}{\frac {y^{2}}{\sqrt {1-y^{4}}}}\mathrm {d} y={\frac {\varpi }{2}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\mathrm {d} x}
Das Produkt folgender zwei Integrale lässt sich dann mit der Produktregel und dem Satz von Fubini auf folgende Weise umformen:
∫
0
1
d
d
x
(
∫
0
1
x
1
−
x
4
y
4
d
y
∫
0
1
x
3
y
2
1
−
x
4
y
4
d
y
)
d
x
=
{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\biggl (}\int _{0}^{1}{\frac {x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\mathrm {d} y\int _{0}^{1}{\frac {x^{3}y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\mathrm {d} y{\biggr )}\mathrm {d} x=}
=
∫
0
1
(
1
1
−
x
4
∫
0
1
x
3
y
2
1
−
x
4
y
4
d
y
+
x
2
1
−
x
4
∫
0
1
x
1
−
x
4
y
4
d
y
)
d
x
=
{\displaystyle =\int _{0}^{1}{\biggl (}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{3}y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\mathrm {d} y+{\frac {x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\int _{0}^{1}{\frac {x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\mathrm {d} y{\biggr )}\mathrm {d} x=}
=
∫
0
1
∫
0
1
x
3
(
y
2
+
1
)
(
1
−
x
4
)
(
1
−
x
4
y
4
)
d
y
d
x
=
∫
0
1
∫
0
1
x
3
(
y
2
+
1
)
(
1
−
x
4
)
(
1
−
x
4
y
4
)
d
x
d
y
=
{\displaystyle =\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x^{3}(y^{2}+1)}{\sqrt {(1-x^{4})(1-x^{4}y^{4})}}}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x^{3}(y^{2}+1)}{\sqrt {(1-x^{4})(1-x^{4}y^{4})}}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=}
=
∫
0
1
∫
0
1
d
d
x
{
y
2
+
1
2
y
2
[
artanh
(
y
2
)
−
artanh
(
1
−
x
4
y
2
1
−
x
4
y
4
)
]
}
d
x
d
y
=
{\displaystyle =\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\biggl \{}{\frac {y^{2}+1}{2y^{2}}}{\biggl [}{\text{artanh}}{\bigl (}y^{2}{\bigr )}-{\text{artanh}}{\biggl (}{\frac {{\sqrt {1-x^{4}}}\,y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}{\biggr )}{\biggr ]}{\biggr \}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=}
=
∫
0
1
y
2
+
1
2
y
2
artanh
(
y
2
)
d
y
=
∫
0
1
d
d
y
[
arctan
(
y
)
−
1
−
y
2
2
y
artanh
(
y
2
)
]
d
y
=
{\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {y^{2}+1}{2y^{2}}}\operatorname {artanh} (y^{2})\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}{\biggl [}\arctan(y)-{\frac {1-y^{2}}{2y}}{\text{artanh}}(y^{2}){\biggr ]}\mathrm {d} y=}
=
[
arctan
(
y
)
−
1
−
y
2
2
y
artanh
(
y
2
)
]
y
=
0
y
=
1
=
arctan
(
1
)
=
π
4
{\displaystyle ={\biggl [}\arctan(y)-{\frac {1-y^{2}}{2y}}{\text{artanh}}(y^{2}){\biggr ]}_{y=0}^{y=1}=\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}}
Denn nach der Regel von de L’Hospital gilt:
lim
y
→
0
1
−
y
2
2
y
artanh
(
y
2
)
=
0
{\displaystyle \lim _{y\rightarrow 0}{\frac {1-y^{2}}{2y}}{\text{artanh}}(y^{2})=0}
lim
y
→
1
1
−
y
2
2
y
artanh
(
y
2
)
=
0
{\displaystyle \lim _{y\rightarrow 1}{\frac {1-y^{2}}{2y}}{\text{artanh}}(y^{2})=0}
Durch Gleichsetzung der beiden aufgestellten Gleichungsketten folgt:
ϖ
2
∫
0
1
x
2
1
−
x
4
d
x
=
π
4
{\displaystyle {\frac {\varpi }{2}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\mathrm {d} x={\frac {\pi }{4}}}
∫
0
1
x
2
1
−
x
4
d
x
=
π
2
ϖ
{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\mathrm {d} x={\frac {\pi }{2\varpi }}}
Aus dem soeben gezeigten Endresultat lassen sich folgende Integrale herleiten:
∫
0
1
x
4
+
1
(
x
2
+
1
)
2
d
x
=
1
4
2
(
ϖ
+
π
ϖ
)
{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {x^{4}+1}}{(x^{2}+1)^{2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{4{\sqrt {2}}}}\left(\varpi +{\frac {\pi }{\varpi }}\right)}
∫
0
1
x
2
(
x
4
+
1
)
3
/
2
d
x
=
π
4
2
ϖ
{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x^{2}}{(x^{4}+1)^{3/2}}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{4{\sqrt {2}}\,\varpi }}}
∫
0
1
1
(
1
−
x
2
)
1
/
4
d
x
=
π
ϖ
{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {1}{(1-x^{2})^{1/4}}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{\varpi }}}
∫
0
∞
sech
(
x
)
3
d
x
=
π
ϖ
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\sqrt {\operatorname {sech} (x)^{3}}}\,\mathrm {d} x={\frac {\pi }{\varpi }}}
Diese beiden elliptischen Integrale dritter Art sind zueinander identisch:
∫
0
∞
x
2
(
x
2
+
1
)
x
4
+
1
d
x
=
∫
0
∞
1
(
x
2
+
1
)
x
4
+
1
d
x
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}}{(x^{2}+1){\sqrt {x^{4}+1}}}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{(x^{2}+1){\sqrt {x^{4}+1}}}}\,\mathrm {d} x}
In der Stammfunktion von der ersten Funktion bewirkt die Substitution von x durch die Kehrwertfunktion 1/x und die anschließende Negativsetzung die Bildung der Stammfunktion von der zweiten Funktion. Außerdem gilt folgende Aufsummierung:
∫
0
∞
x
2
(
x
2
+
1
)
x
4
+
1
d
x
+
∫
0
∞
1
(
x
2
+
1
)
x
4
+
1
d
x
=
∫
0
∞
1
x
4
+
1
d
x
=
ϖ
2
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}}{(x^{2}+1){\sqrt {x^{4}+1}}}}\,\mathrm {d} x+\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{(x^{2}+1){\sqrt {x^{4}+1}}}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {x^{4}+1}}}\,\mathrm {d} x={\frac {\varpi }{\sqrt {2}}}}
Daraus folgt:
∫
0
∞
x
2
(
x
2
+
1
)
x
4
+
1
d
x
=
ϖ
2
2
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}}{(x^{2}+1){\sqrt {x^{4}+1}}}}\,\mathrm {d} x={\frac {\varpi }{2{\sqrt {2}}}}}
∫
0
∞
1
(
x
2
+
1
)
x
4
+
1
d
x
=
ϖ
2
2
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{(x^{2}+1){\sqrt {x^{4}+1}}}}\,\mathrm {d} x={\frac {\varpi }{2{\sqrt {2}}}}}
Wie bereits oben erwähnt ist diese Integralformel gültig:
Γ
(
5
4
)
=
∫
0
∞
exp
(
−
x
4
)
d
x
=
2
−
5
/
4
π
1
/
4
ϖ
1
/
2
{\displaystyle \Gamma ({\frac {5}{4}})=\int _{0}^{\infty }\exp(-x^{4})\,\mathrm {d} x=2^{-5/4}\pi ^{1/4}\varpi ^{1/2}}
Basierend auf dem Eulerschen Ergänzungssatz über die Gammafunktion hat folgendes Integralprodukt den nachfolgenden Wert:
[
∫
0
∞
exp
(
−
x
4
)
d
x
]
[
∫
0
∞
x
2
exp
(
−
x
4
)
d
x
]
=
π
8
2
{\displaystyle {\biggl [}\int _{0}^{\infty }\exp(-x^{4})\,\mathrm {d} x{\biggr ]}{\biggl [}\int _{0}^{\infty }x^{2}\exp(-x^{4})\,\mathrm {d} x{\biggr ]}={\frac {\pi }{8{\sqrt {2}}}}}
Im Zusammenhang mit der Gammafunktion gilt somit jenes Integral:
1
4
Γ
(
3
4
)
=
∫
0
∞
x
2
exp
(
−
x
4
)
d
x
=
2
−
9
/
4
π
3
/
4
ϖ
−
1
/
2
{\displaystyle {\frac {1}{4}}\Gamma ({\frac {3}{4}})=\int _{0}^{\infty }x^{2}\exp(-x^{4})\,\mathrm {d} x=2^{-9/4}\pi ^{3/4}\varpi ^{-1/2}}
Ellipse mit den Werten: a = √2b und U = (2ϖ + 2π/ϖ)b Bei einer Ellipse, in welcher sich die größere Halbachse zur kleineren Halbachse in der Quadratwurzel aus Zwei verhält, nimmt das Verhältnis des Ellipsenumfangs zur kleineren Halbachse den Wert 2ϖ + 2π/ϖ an. Diese Tatsache wird im nun Folgenden bewiesen:
U
/
b
=
4
2
E
(
1
2
)
=
4
∫
0
1
(
d
d
x
2
−
2
x
2
)
2
+
1
d
x
=
4
∫
0
1
2
x
2
1
−
x
2
+
1
d
x
=
4
∫
0
1
1
+
x
2
1
−
x
4
d
x
=
{\displaystyle U/b=4{\sqrt {2}}E{\bigl (}{\frac {1}{\sqrt {2}}}{\bigr )}=4\int _{0}^{1}{\sqrt {{\bigl (}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\sqrt {2-2x^{2}}}{\bigr )}^{2}+1}}\,\mathrm {d} x=4\int _{0}^{1}{\sqrt {{\frac {2x^{2}}{1-x^{2}}}+1}}\,\mathrm {d} x=4\int _{0}^{1}{\frac {1+x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\mathrm {d} x=}
=
4
∫
0
1
1
1
−
x
4
d
x
+
4
∫
0
1
x
2
1
−
x
4
d
x
=
2
ϖ
+
2
π
ϖ
{\displaystyle =4\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}\mathrm {d} x+4\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\mathrm {d} x=2\varpi +{\frac {2\pi }{\varpi }}}
Somit gilt für diese Ellipse:
U
=
(
2
ϖ
+
2
π
ϖ
−
1
)
a
=
(
2
ϖ
+
2
π
ϖ
−
1
)
b
{\displaystyle U=({\sqrt {2}}\varpi +{\sqrt {2}}\pi \varpi ^{-1})a=(2\varpi +2\pi \varpi ^{-1})b}
In dieser Tabelle werden mehrere Ellipsen mit ihren Umfangsverhältnissen aufgelistet:
Kleinere Halbachse/Größere Halbachse
Umfang/Größere Halbachse
1
2
2
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}}
2
ϖ
+
2
π
ϖ
−
1
{\displaystyle {\sqrt {2}}\varpi +{\sqrt {2}}\pi \varpi ^{-1}}
2
2
4
(
2
−
1
)
{\displaystyle 2{\sqrt[{4}]{2}}({\sqrt {2}}-1)}
2
ϖ
+
2
(
2
−
1
)
π
ϖ
−
1
{\displaystyle 2\varpi +2({\sqrt {2}}-1)\pi \varpi ^{-1}}
2
13
/
8
(
2
+
1
)
5
/
2
(
2
4
−
1
)
2
{\displaystyle 2^{13/8}({\sqrt {2}}+1)^{5/2}({\sqrt[{4}]{2}}-1)^{2}}
2
(
2
+
1
)
2
(
2
4
−
1
)
ϖ
+
2
(
2
+
1
)
2
(
2
4
−
1
)
2
π
ϖ
−
1
{\displaystyle 2({\sqrt {2}}+1)^{2}({\sqrt[{4}]{2}}-1)\varpi +2({\sqrt {2}}+1)^{2}({\sqrt[{4}]{2}}-1)^{2}\pi \varpi ^{-1}}
Theodor Schneider : Einführung in die transzendenten Zahlen . Springer-Verlag, Berlin 1957, S. 64.Carl Ludwig Siegel : Transzendente Zahlen . Bibliographisches Institut, Mannheim 1967, S. 81–84.John Todd: The Lemniscate Constants . Institute of Technology, Kalifornien 1975
A. I. Markuschewitsch : Analytic Functions . Kapitel 2 in: A. N. Kolmogorov , A. P. Juschkewitsch (Hrsg.): Mathematics of the 19th Century. Geometry, analytic function theory . Birkhäuser, Basel 1996, ISBN 3-7643-5048-2 , S. 133–136.Jörg Arndt, Christoph Haenel: π. Algorithmen, Computer, Arithmetik . 2. Auflage, Springer, 2000, S. 94–96 (hier ist die griechische Minuskel ϖ typographisch korrekt wiedergegeben)
Steven R. Finch: Gauss’ Lemniscate constant , Kapitel 6.1 in Mathematical constants , Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-81805-2 , S. 420–423 (englisch)
Hans Wußing , Olaf Neumann: Mathematisches Tagebuch 1796–1814 von Carl Friedrich Gauß . Mit einer historischen Einführung von Kurt-R. Biermann . Ins Deutsche übertragen von Elisabeth Schuhmann. Durchgesehen und mit Anmerkungen versehen von Hans Wußing und Olaf Neumann. 5. Auflage, 2005, Eintrag [91a].
↑ Alexander Jih-Hing Yee: Records set by y-cruncher. abgerufen am 18. Juli 2022 (englisch). ↑ Niels Nielsen : Handbuch der Theorie der Gammafunktion . Teubner, Leipzig 1906, S. 201 (der korrekte Faktor vor der Summe ist 2/π statt 2)↑ Theodor Schneider : Arithmetische Untersuchungen elliptischer Integrale ↑ G. V. Choodnovsky : Algebraic independence of constants connected with the functions of analysis , Notices of the AMS 22, 1975, S. A-486 (englisch; vorläufiger Bericht)↑ Gregory V. Chudnovsky : Contributions to the theory of transcendental numbers , American Mathematical Society, 1984, ISBN 0-8218-1500-8 , S. 8 (englisch) 
![{\displaystyle {\begin{aligned}U&=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {{\biggl (}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}x(t){\biggr )}^{2}+{\biggl (}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}y(t){\biggr )}^{2}}}\ \mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {{\biggl (}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\cdot {\frac {{\sqrt {2}}f\sin(t)}{\cos(t)^{2}+1}}{\biggr )}^{2}+{\biggl (}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\cdot {\frac {{\sqrt {2}}f\sin(t)\cos(t)}{\cos(t)^{2}+1}}{\biggr )}^{2}}}\ \mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {{\biggl (}{\frac {{\sqrt {2}}f\cos(t)[3-\cos(t)^{2}]}{[\cos(t)^{2}+1]^{2}}}{\biggr )}^{2}+{\biggl (}{\frac {{\sqrt {2}}f[3\cos(t)^{2}-1]}{[\cos(t)^{2}+1]^{2}}}{\biggr )}^{2}}}\ \mathrm {d} t\\&=\int _{0}^{2\pi }{\frac {{\sqrt {2}}f}{\sqrt {\cos(t)^{2}+1}}}\ \mathrm {d} t=4\int _{0}^{\pi /2}{\frac {{\sqrt {2}}f}{\sqrt {\cos(t)^{2}+1}}}\ \mathrm {d} t=4\int _{0}^{\pi /2}{\frac {{\sqrt {2}}f}{\sqrt {\sin(t)^{2}+1}}}\ \mathrm {d} t\\&=4\int _{0}^{1}{\biggl [}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arcsin(x){\biggr ]}{\frac {{\sqrt {2}}f}{\sqrt {1+x^{2}}}}\ \mathrm {d} x=4\int _{0}^{1}{\frac {{\sqrt {2}}f}{\sqrt {1-x^{4}}}}\ \mathrm {d} x\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/212408b31ce04f332a1c68e6eca6f3620747e3be)
![{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x^{4}}\mathrm {d} x={\frac {{\sqrt[{4}]{\pi }}\cdot {\sqrt {\varpi }}}{2\cdot {\sqrt[{4}]{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4822facd90e7b8b004b64900551abe3f7b152e73)
![{\displaystyle \varpi =\pi ^{1/2}\exp {\bigl [}\beta '(0){\bigr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08cf6b6dce8a145403e400bc50a6c5426aa25ecf)
![{\displaystyle \varpi =2^{-1/2}\pi \exp \left[{\frac {1}{2}}\,\gamma -{\frac {2}{\pi }}\beta '(1)\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc539a7f5cf5e931e11b26984c2e23a5dfa23a5c)
![{\displaystyle \beta (x)={\frac {1}{2}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin[x\arctan(y)]}{2\,(y^{2}+1)^{x/2}}}\operatorname {csch} {\bigl (}{\frac {\pi }{2}}\,y{\bigr )}\,\mathrm {d} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55470e3929debc66e267b9a6223996b9fb565588)
![{\displaystyle \beta '(x)=\int _{0}^{\infty }{\frac {2\arctan(y)\cos[x\arctan(y)]-\ln(y^{2}+1)\sin[x\arctan(y)]}{4\,(y^{2}+1)^{x/2}}}\operatorname {csch} {\bigl (}{\frac {\pi }{2}}\,y{\bigr )}\,\mathrm {d} y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f48fb55ea513a0a677d39f10f05bf277e3586bfc)
![{\displaystyle \varpi =\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {2k}{k}}{\frac {1}{4^{k}(4k+1)}}{\biggl [}4\left({\frac {1}{2}}\right)^{4k+1}+2\left({\frac {7}{23}}\right)^{4k+1}{\biggr ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24e4e714cb0f07f82c64ced41a3216ec87c55f49)
![{\displaystyle \varpi =4\operatorname {arcsl} (a)+2\operatorname {arcsl} \{\tan[{\tfrac {1}{4}}\pi -2\arctan(a^{2})]\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bcdaa41d10450285440820898a21d7205bf1a42)
![{\displaystyle \varpi =\pi {\biggl [}\sum _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k}\,e^{-\pi k^{2}}{\biggr ]}^{2}={\frac {\pi }{\sqrt {2}}}{\biggl [}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\,e^{-\pi k^{2}}{\biggr ]}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/614a275c2399c087585307c1bf97e531b68e0592)
![{\displaystyle \varpi =\pi \prod _{k=1}^{\infty }\tanh(\pi k/2)^{2}={\frac {\pi }{\sqrt[{4}]{2}}}\prod _{k=1}^{\infty }\tanh(\pi k)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a64f1780f5684e2b24e2ff6e4a7bec529e6200be)
![{\displaystyle \varpi ={\sqrt {2}}K\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)=4({\sqrt {2}}-1)K[({\sqrt {2}}-1)^{2}]={\sqrt[{4}]{27}}({\sqrt {3}}-1)K\left[{\frac {1}{2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {2}}-{\sqrt[{4}]{3}})\right]=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e12253c8348751427c908b39c6713efe418c7678)
![{\displaystyle =8({\sqrt {2}}+1)^{2}({\sqrt[{4}]{2}}-1)^{2}K[({\sqrt {2}}+1)^{2}({\sqrt[{4}]{2}}-1)^{4}]=5{\sqrt {2}}({\sqrt {5}}-2)K\left[{\frac {1}{\sqrt {2}}}({\sqrt {5}}-2)(3-2{\sqrt[{4}]{5}})\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45dac57602231cc944392b8f927ae13002ccb818)
![{\displaystyle \varpi =(2+{\sqrt {2}})E[({\sqrt {2}}-1)^{2}]-2E\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd47c05f33974996b86fb25f803be4396985408e)
![{\displaystyle ={\frac {3}{2}}(2{\sqrt {2}}+{\sqrt {6}}-{\sqrt[{4}]{27}}-{\sqrt[{4}]{3}})E\left[{\frac {1}{2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {2}}-{\sqrt[{4}]{3}})\right]-{\frac {1}{2}}(3{\sqrt[{4}]{3}}+{\sqrt[{4}]{27}}-3{\sqrt {2}})E\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6763d1b56494e4fd15a15e53550cb2c2e90c7ad0)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\biggl \{}{\frac {y^{2}+1}{2y^{2}}}{\biggl [}{\text{artanh}}{\bigl (}y^{2}{\bigr )}-{\text{artanh}}{\biggl (}{\frac {{\sqrt {1-x^{4}}}\,y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}{\biggr )}{\biggr ]}{\biggr \}}={\frac {x^{3}(y^{2}+1)}{\sqrt {(1-x^{4})(1-x^{4}y^{4})}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2566cfc1afd3577b2d42b9fe4f1f12e0fbaae6d5)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}{\biggl [}\arctan(y)-{\frac {1-y^{2}}{2y}}{\text{artanh}}(y^{2}){\biggr ]}={\frac {y^{2}+1}{2y^{2}}}\operatorname {artanh} (y^{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3ce81626e5bfab55850d55e081108a3a9741364)
![{\displaystyle ={\biggl [}\int _{0}^{1}{\frac {x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\mathrm {d} y\int _{0}^{1}{\frac {x^{3}y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\mathrm {d} y{\biggr ]}_{x=0}^{x=1}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00083d176992990ec5168098b18c7a902f97505f)
![{\displaystyle =\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\biggl \{}{\frac {y^{2}+1}{2y^{2}}}{\biggl [}{\text{artanh}}{\bigl (}y^{2}{\bigr )}-{\text{artanh}}{\biggl (}{\frac {{\sqrt {1-x^{4}}}\,y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}{\biggr )}{\biggr ]}{\biggr \}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67071a86ff47e4e29934ee97c624936310c27491)
![{\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {y^{2}+1}{2y^{2}}}\operatorname {artanh} (y^{2})\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}{\biggl [}\arctan(y)-{\frac {1-y^{2}}{2y}}{\text{artanh}}(y^{2}){\biggr ]}\mathrm {d} y=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c3ea4bfd13209a8ffc42c7364a5b44ce6a94b8d)
![{\displaystyle ={\biggl [}\arctan(y)-{\frac {1-y^{2}}{2y}}{\text{artanh}}(y^{2}){\biggr ]}_{y=0}^{y=1}=\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/743bf9759307064d840c13ee58b191c00d35514b)
![{\displaystyle {\biggl [}\int _{0}^{\infty }\exp(-x^{4})\,\mathrm {d} x{\biggr ]}{\biggl [}\int _{0}^{\infty }x^{2}\exp(-x^{4})\,\mathrm {d} x{\biggr ]}={\frac {\pi }{8{\sqrt {2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68d33a6200af4cc871e1a7104cdea2c714aa660f)
.svg)
![{\displaystyle 2{\sqrt[{4}]{2}}({\sqrt {2}}-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dab29b1f0cfb65d457d5f29999b930e7827b0fa)
![{\displaystyle 2^{13/8}({\sqrt {2}}+1)^{5/2}({\sqrt[{4}]{2}}-1)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3765f6cc6d48532d7e4c323ba6852924ccef83f4)
![{\displaystyle 2({\sqrt {2}}+1)^{2}({\sqrt[{4}]{2}}-1)\varpi +2({\sqrt {2}}+1)^{2}({\sqrt[{4}]{2}}-1)^{2}\pi \varpi ^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/686f727c67bfad39db1b4860c4379d301beb996d)