Lie-Algebren-Kohomologie

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In der Mathematik ist die Lie-Algebren-Kohomologie ein technisches Hilfsmittel, welches insbesondere in Differentialgeometrie, Mathematischer Physik und der Theorie der Lie-Gruppen Anwendung findet. Sie wird definiert als Kohomologie des Koszul-Komplexes. Für kompakte Lie-Gruppen ist die algebraisch definierte Lie-Algebren-Kohomologie der Lie-Algebra isomorph zur de-Rham-Kohomologie der Lie-Gruppe.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine Lie-Algebra. Auf der äußeren Algebra des dualen -Vektorraumes definieren wir für alle einen Operator

wie folgt.

Sei

,

dann definieren wir

durch

.

Der Komplex heißt Koszul-Komplex. Für alle gilt

.

Die Lie-Algebren-Kohomologie von ist definiert als Kohomologie des Koszul-Komplexes, also als

.

Lie-Gruppen und Lie-Algebren-Kohomologie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für eine Lie-Gruppe mit Lie-Algebra ist der Koszul-Komplex kanonisch isomorph zum Komplex der -invarianten Differentialformen auf :

,

die Lie-Algebren-Komologie von ist also isomorph zur Kohomologie des Komplexes .

Élie Cartan hat bewiesen, dass für kompakte Lie-Gruppen die Inklusion

einen Isomorphismus der de-Rham-Kohomologie-Gruppen induziert. Für kompakte Lie-Gruppen gilt also

.

Lie-Algebren-Kohomologie bzgl. einer Darstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

C. Chevalley und S. Eilenberg haben zu einer Lie-Algebren-Darstellung die folgende Kohomologie-Konstruktion durchgeführt.[1]

Für sei der Raum der -linearen, alternierenden Abbildungen , für k=0 sei . Ferner sei durch

.

In der angegebenen Arbeit von C. Chevalley und S. Eilenberg wird noch durch dividiert, was im unten angegebenen Lehrbuch von Hilgert und Neeb nicht der Fall ist. Man zeigt , das heißt, es liegt ein Kokettenkomplex vor, den man auch den Chevalley-Eilenberg-Komplex nennt. Die Elemente aus

nennt man wie üblich k-Kozykel, diejenigen aus

heißen k-Koränder. Damit sind die Kohomologiegruppen

definiert, wobei im Falle der Korandoperator als 0 definiert ist. Man spricht genauer von der Chevalley-Kohomologie von mit Werten in bzgl. .[2]

Elemente aus dem Chevalley-Eilenberg-Komplex treten in natürlicher Weise auf. So ist zum Beispiel durch die Formel

eine Darstellung definiert, die für weitere Untersuchungen der Lie-Algebra herangezogen werden kann. Man kann weitere Folgerungen ziehen, wenn ist, das heißt, wenn die 1-te Chevalley-Kohomologie verschwindet. Daher sind die folgenden beiden sogenannten Lemmata von Whitehead von besonderem Interesse[3]:

1. Lemma von Whitehead: Ist eine halbeinfache, endlichdimensionale, reelle oder komplexe Lie-Algebra und ist eine endlich-dimensionale Darstellung, so ist .

2. Lemma von Whitehead: Ist eine halbeinfache, endlichdimensionale, reelle oder komplexe Lie-Algebra und ist eine endlich-dimensionale Darstellung, so ist .

Folgender Satz ist eine Konsequenz aus dem 1. Lemma von Whitehead und der obigen Konstruktion von Darstellungen auf :

  • Ist eine halbeinfache, endlichdimensionale, reelle oder komplexe Lie-Algebra und ist eine kurze exakte Sequenz von endlichdimensionalen -Moduln, so zerfällt diese, das heißt, es gibt einen -Modul-Morphismus mit .

Dieser Satz kann als wesentlicher Schritt im Beweis des Satzes von Weyl angesehen werden.[4]

Das 2. Lemma von Whitehead ist ein wichtiger Baustein zum Satz von Levi. [5]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. C. Chevalley, S. Eilenberg: Cohomology theory of Lie groups and Lie algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 63 (1948), Kapitel IV: Cohomology Groups associated with a representation
  2. Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb: Lie-Gruppen und Lie-Algebren, Vieweg, 1999, ISBN 3-528-06432-3, Definition II.5.3
  3. Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb: Lie-Gruppen und Lie-Algebren, Vieweg, 1999, ISBN 3-528-06432-3, II.5.12, II.5.14
  4. Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb: Lie-Gruppen und Lie-Algebren, Vieweg, 1999, ISBN 3-528-06432-3, II.4.16, II.5.5, II.5.12
  5. Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb: Lie-Gruppen und Lie-Algebren, Vieweg, 1999, ISBN 3-528-06432-3, II.4.8, II.5.7, II.5.14

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • C. Chevalley, S. Eilenberg: Cohomology theory of Lie groups and Lie algebras. Trans. Amer. Math. Soc. 63 (1948), 85-124.
  • J. L. Koszul: Homologie et cohomologie des algèbres de Lie. Bull. Soc. Math. France, 78 (1950) pp. 65–127
  • Gerhard Hochschild, Jean-Pierre Serre: Cohomology of Lie algebras. Ann. of Math. (2) 57, (1953). 591–603. online
  • J. C. Jantzen, Representations of Algebraic groups, Pure and Applied Mathematics, vol. 131, Boston, etc., 1987 (Academic).
  • J. C. Jantzen: Restricted Lie algebra cohomology. Lecture Notes in Math. 1271 (1986), 91-108.
  • Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb: Lie-Gruppen und Lie-Algebren, Vieweg, 1999, ISBN 3-528-06432-3, Kapitel II.5: Lie-Algebra-Kohomologie
  • A. W. Knapp, Lie groups, Lie algebras and cohomology, Mathematical Notes, Princeton University Press, 1988, 509 pp.