Darstellung (Lie-Algebra)

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Eine Darstellung einer Lie-Algebra ist ein mathematisches Konzept zur Untersuchung von Lie-Algebren. Eine solche Darstellung ist ein Homomorphismus einer vorgegebenen Lie-Algebra in die Lie-Algebra der Endomorphismen über einem Vektorraum. Abstrakt gegebene Lie-Algebren werden auf diese Weise zu konkreten linearen Lie-Algebren in Beziehung gesetzt.

Motivation und Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei eine Lie-Algebra, das heißt ist ein -Vektorraum zusammen mit einer bilinearen Multiplikation , genannt Lie-Produkt, so dass für alle und für alle (Jacobi-Identität).

Das Standardbeispiel einer solchen Lie-Algebra ist der Vektorraum der linearen Abbildungen auf einem Vektorraum , wobei das Lie-Produkt durch den Kommutator definiert sei. Leicht rechnet man nach, dass tatsächlich eine Lie-Algebra vorliegt, die sogenannte allgemeine lineare Lie-Algebra. Unter-Lie-Algebren von heißen lineare Lie-Algebren. Es liegt nun nahe, allgemeine Lie-Algebren in Beziehung zu linearen Lie-Algebren setzen zu wollen. Das motiviert folgende Definition.

Eine Darstellung einer Lie-Algebra auf einem Vektorraum ist ein Lie-Algebren-Homomorphismus , das heißt ist eine lineare Abbildung und es gilt

für alle .

Man nennt den Darstellungsraum, seine Dimension heißt Dimension der Darstellung.

Zwei Darstellungen und heißen äquivalent, falls es einen Vektorraum-Isomorphismus gibt, so dass

für alle .

Zwei äquivalente Darstellungen verhalten sich daher im Wesentlichen gleich, lediglich die Vektoren, auf denen die Bild-Endomorphismen der Darstellung operieren, sind mittels eines Vektorraum-Isomophismus ausgetauscht.

Moduln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wie auch in der Darstellungstheorie von Gruppen oder Algebren kann man eine Lie-Algebren-Darstellung in eine Modulstruktur übersetzen. Ist eine Lie-Algebra, so ist ein -Modul ein Vektorraum zusammen mit einer bilinearen Abbildung , so dass

für alle und .

Ist nun eine Lie-Algebren-Darstellung auf , so wird durch eine -Modul-Struktur auf definiert. Ist umgekehrt ein -Modul, so erhält man eine Darstellung , indem man durch definiert. Mittels dieser Beziehung kann man Aussagen über Darstellungen in Aussagen über Moduln übersetzen und umgekehrt, das heißt Darstellungen von und -Moduln sind äquivalente Begriffe.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nulldarstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein erstes sehr einfaches Beispiel einer Darstellung einer Lie-Algebra ist der Homomorphismus, der jedes Element auf den Endomorphismus 0 abbildet. Eine solche Darstellung heißt Nulldarstellung und es gibt eine solche Nulldarstellung auf jedem Vektorraum. Auf dem Nullvektorraum gibt es nur diese Darstellung.

Lineare Lie-Algebren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei eine lineare Lie-Algebra. Dann ist die Inklusionsabbildung

offenbar eine Darstellung von auf .

Von Lie-Gruppen-Darstellungen induzierte Darstellungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine Darstellung einer Lie-Gruppe, so induziert das Differential von am neutralen Element bekanntlich einen Lie-Algebren-Homomorphismus zwischen den zugehörigen Lie-Algebren, das heißt wir erhalten eine Lie-Algebren-Darstellung von auf . Dieses Zusammenspiel von Lie-Gruppen-Darstellungen und Lie-Algebren-Darstellungen ist ein wichtiges Instrument in der Untersuchung von Lie-Gruppen.

Die adjungierte Darstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine Lie-Algebra, so heißt eine lineare Abbildung eine Derivation auf , falls

für alle .

Die Menge aller Derivationen auf ist eine Unter-Lie-Algebra von . Mittels und der Jacobi-Identität rechnet man mühelos nach, dass

eine Derivation ist, und mit denselben Mitteln, dass

ein Lie-Algebren-Homomorphismus ist. Damit ist eine Darstellung von auf , die man die adjungierte Darstellung nennt, heißt die Adjungierte von . Die adjungierte Darstellung spielt eine wichtige Rolle in der Untersuchung der Lie-Algebren, unter anderem wegen ihres Auftretens in der Killing-Form.

Konstruktionen von Darstellungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hier werden Methoden beschrieben, wie man aus gegebenen Darstellungen von Lie-Algebren neue Darstellungen konstruieren kann. Die Konstruktionen können leicht in entsprechende Konstruktionen für Moduln übersetzt werden.

Teildarstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine Darstellung der Lie-Algebra , so heißt ein Untervektorraum invariant, genauer -invariant, falls jedes den Untervektorraum in sich abbildet, das heißt falls

für alle .

Dann ist die Abbildung

offenbar eine Darstellung auf , wobei mit die Einschränkung auf bezeichnet sei. Diese Darstellung wird in naheliegender Weise mit bezeichnet, auch wenn das nicht ganz korrekt ist, denn die Abbildung selbst wird ja nicht auf eingeschränkt.

Die invarianten Unterräume entsprechen offenbar genau den Untermoduln des zugehörigen -Moduls . Man hat stets und selbst als invariante Unterräume bzw. Untermoduln, diese heißen trivial, da sie nur zu einer Nulldarstellung oder zur gegebenen Darstellung führen. Neue, von 0 verschiedene Darstellungen erhält man also nur für nicht-triviale invariante Unterräume.

Die invarianten Unterräume der adjungierten Darstellung sind genau die Ideale der Lie-Algebra.

Direkte Summe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind und Darstellungen der Lie-Algebra auf bzw. , so definiert

eine Lie-Algebren-Darstellung auf der direkten Summe . Diese Darstellung wird in naheliegender Weise mit bezeichnet und heißt direkte Summe der Darstellungen, auch wenn das nicht ganz korrekt ist, denn sie ist ja nicht auf definiert.

Tensorprodukte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind und Darstellungen der Lie-Algebra auf bzw. , so kann man auf dem Tensorprodukt wie folgt eine Darstellung erklären.

Damit ist die Wirkung von zunächst nur auf elementaren Tensoren erklärt, diese lässt sich aber mittels der universellen Eigenschaft des Tensorproduktes linear auf ausdehnen. Die so definierte Darstellung heißt, ebenfalls nicht ganz korrekt, das Tensorprodukt der Darstellungen und wird mit bezeichnet.

Duale Darstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine Darstellung der Lie-Algebra , so erhält man durch folgende Definition eine mit bezeichnete Darstellung auf dem Dualraum :

für .

Zur Definition muss man erklären, welches lineare Funktional sein soll, das heißt wie auf Vektoren aus wirkt. Genau das geschieht durch die angegebene Formel. Das Minuszeichen ist für die Gültigkeit von erforderlich. Man nennt die duale oder kontragrediente Darstellung. Auch diese Bezeichnung ist nicht ganz korrekt, denn es handelt sich nicht um die zu duale Abbildung.

Besondere Darstellungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Treue Darstellungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein -Modul heißt treu, wenn aus für alle auf geschlossen werden kann. Das ist äquivalent dazu, dass die zugehörige Darstellung injektiv ist. Daher nennt man injektive Darstellungen ebenfalls treu. Das Vorliegen einer treuen Darstellung von auf bedeutet demnach, dass isomorph zu einer Unter-Lie-Algebra von und damit zu einer linearen Lie-Algebra ist.

Irreduzible Darstellungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei der Untersuchung von Darstellungen einer Lie-Algebra versucht man, diese in einfachere Darstellungen zu zerlegen. Daher wird man sich für solche Darstellungen interessieren, die keine invarianten Teilräume haben, denn diese können als kleinste Bausteine einer solchen Zerlegung angesehen werden. Man nennt eine mindestens eindimensionale Darstellung irreduzibel, wenn sie keine nicht-trivialen, invarianten Teilräume besitzt. Der Nullvektorraum, der nur die Nulldarstellung zulässt, ist damit explizit als Darstellungsraum einer irreduziblen Darstellung ausgenommen. Die Klassifikation sämtlicher irreduzibler Darstellungen einer Lie-Algebra bis auf Äquivalenz ist ein wichtiges Ziel in der Darstellungstheorie.

Vollständig reduzible Darstellungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Darstellung heißt vollständig reduzibel, wenn sie äquivalent zu einer direkten Summe irreduzibler Darstellungen ist. So sind nach einem Satz von Weyl alle endlichdimensionen Darstellungen einer halbeinfachen Lie-Algebra vollständig reduzibel. Mit Kenntnis aller irreduziblen Darstellungen einer halbeinfachen Lie-Algebra kennt man dann bis auf Äquivalenz alle endlichdimensionalen Darstellungen.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • James E. Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, 2. überarbeitete Auflage, Graduate Texts in Mathematics, 9. Springer-Verlag, New York (1978), ISBN 0-387-90053-5