Liouville-Funktion

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Die Liouville-Funktion, benannt nach Joseph Liouville, ist eine multiplikative zahlentheoretische Funktion. Sie wird mit dem griechischen Buchstaben bezeichnet und ist wie folgt definiert:

dabei bezeichnet die Ordnung von , also die Anzahl seiner (nicht notwendigerweise verschiedenen) Primfaktoren.

Man definiert außerdem und .

Die ersten Werte (beginnend bei ) sind

1, -1, -1, 1, -1, 1, -1, -1, 1, 1, -1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, -1, ... (OEIS, A008836)[1]

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gilt[2]

Die Liouville-Funktion ist verwandt mit der Möbius-Funktion durch[3]

Reihen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Dirichlet-Reihe der Liouville-Funktion lässt sich durch die riemannschen Zeta-Funktion ausdrücken:[4]

Ihre Lambert-Reihe ist gegeben durch

wobei die Jacobische Theta-Funktion bezeichnet.

Summen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Graph von bis n=10.000
Graph von bis

Es sei

Die Pólya-Vermutung besagt, es sei – wie die Grafiken rechts vermuten lassen – stets[5]

Diese Vermutung wurde mittlerweile widerlegt; das kleinste Gegenbeispiel ist . Es ist bisher allerdings nicht bekannt, ob sein Vorzeichen unendlich oft wechselt.

Eine verwandte Summe ist

Für diese wurde vermutet, sie sei für hinreichend große stets positiv; dies wurde 1958 von dem englischen Mathematiker Colin Brian Haselgrove widerlegt, wobei er zeigte, dass unendlich oft negative Werte annimmt.[6] Ein Beweis der Vermutung hätte die Richtigkeit der riemannschen Vermutung zur Folge gehabt.[7]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Vgl. Folgen A026424 und A028260.
  2. Kimberly Lloyd: Liouville function. Auf: PlanetMath.org. (englisch)
  3. A. F. Lavrik: Liouville function. In: Online Encyclopedia of Mathematics. (englisch)
  4. Russell Sherman Lehman: On Liouville's Function. (PDF; 824 kB) In: Mathematics of Compution ⟨American Mathematical Society⟩ 14 (1960), Nr. 72, S. 311–320.
  5. Eric W. Weisstein: Polya Conjecture. In: MathWorld (englisch).
  6. Colin Brian Haselgrove: A disproof of a conjecture of Polya. In: Mathematika ⟨London Mathematical Society⟩ 5 (1958), Nr. 2, S. 141–145.
  7. Hisanobu Shinya: On an arithmetical approach to the Riemann hypothesis. In: arxiv:0906.4155 (23. Juni 2009).