Liouville-Funktion

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Die Liouville-Funktion, benannt nach Joseph Liouville, ist eine multiplikative zahlentheoretische Funktion. Sie wird mit dem griechischen Buchstaben bezeichnet und ist wie folgt definiert:

dabei bezeichnet die Ordnung von , also die Anzahl seiner (nicht notwendigerweise verschiedenen) Primfaktoren.

Man definiert außerdem und .

Die ersten Werte (beginnend bei ) sind

1, -1, -1, 1, -1, 1, -1, -1, 1, 1, -1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, -1, ... (OEIS, A008836)[1]

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gilt[2]

Die Liouville-Funktion ist verwandt mit der Möbius-Funktion durch[3]

Reihen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Dirichlet-Reihe der Liouville-Funktion lässt sich durch die riemannschen Zeta-Funktion ausdrücken:[4]

Ihre Lambert-Reihe ist gegeben durch

wobei die Jacobische Theta-Funktion bezeichnet.

Summen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Graph von bis n=10.000
Graph von bis

Es sei

Die Pólya-Vermutung besagt, es sei – wie die Grafiken rechts vermuten lassen – stets[5]

Diese Vermutung wurde mittlerweile widerlegt; das kleinste Gegenbeispiel ist . Es ist bisher allerdings nicht bekannt, ob sein Vorzeichen unendlich oft wechselt.

Eine verwandte Summe ist

Für diese wurde vermutet, sie sei für hinreichend große stets positiv; dies wurde 1958 von dem englischen Mathematiker Colin Brian Haselgrove widerlegt, wobei er zeigte, dass unendlich oft negative Werte annimmt.[6] Ein Beweis der Vermutung hätte die Richtigkeit der riemannschen Vermutung zur Folge gehabt.[7]

Chowla-Vermutung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Vermutung von Sarvadaman Chowla [8] besagt, dass für verschiedene natürliche Zahlen gilt:

(das heißt die Summe verschwindet asymptotisch mit , siehe Landau-Symbole). Die Vermutung ist offen für . Fortschritte erzielten 2015 Kaisa Matomäki, Maksym Radziwill und Terence Tao in Bezug auf eine gemittelte Version der Vermutung.[9] Die Vermutung lässt sich auch für die Möbiusfunktion statt der Liouvillefunktion formulieren.

Eine andere Formulierung der Vermutung ist, dass das Muster der Werte von für eine zufällig gewählte natürliche Zahl und beliebige asymptotisch für gleichverteilt ist.[10]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Vgl. Folgen A026424 und A028260.
  2. Kimberly Lloyd: Liouville function. Auf: PlanetMath.org. (englisch)
  3. A. F. Lavrik: Liouville function. In: Online Encyclopedia of Mathematics. (englisch)
  4. Russell Sherman Lehman: On Liouville's Function. (PDF; 824 kB) In: Mathematics of Compution ⟨American Mathematical Society⟩ 14 (1960), Nr. 72, S. 311–320.
  5. Eric W. Weisstein: Polya Conjecture. In: MathWorld (englisch).
  6. Colin Brian Haselgrove: A disproof of a conjecture of Polya. In: Mathematika ⟨London Mathematical Society⟩ 5 (1958), Nr. 2, S. 141–145.
  7. Hisanobu Shinya: On an arithmetical approach to the Riemann hypothesis. In: arxiv:0906.4155 (23. Juni 2009).
  8. Sarvadaman Chowla: The Riemann Hypothesis and Hilbert´s tenth problem, Gordon and Breach 1965
  9. K. Matomäki, M. Radziwill, Terence Tao: An averaged form of Chowla´s conjecture, Algebra & Number Theory, Band 9, 2015, S. 2167-2196, Arxiv
  10. Sign patterns of Liouville and Mobius functions, Blog Terry Tao