Liouville-Funktion

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Die Liouville-Funktion, benannt nach Joseph Liouville, ist eine multiplikative zahlentheoretische Funktion. Sie wird mit dem griechischen Buchstaben \lambda bezeichnet und ist wie folgt definiert:

\lambda(n)=(-1)^{\Omega(n)},\,

dabei bezeichnet \Omega(n) die Ordnung von n, also die Anzahl seiner (nicht notwendigerweise verschiedenen) Primfaktoren.

Man definiert außerdem \lambda(0)=0 und \lambda(1)=1.

Die ersten Werte (beginnend bei n=1) sind

1, -1, -1, 1, -1, 1, -1, -1, 1, 1, -1, -1, -1, 1, 1, 1, -1, -1, -1, -1, ... (OEIS, A008836)[1]

Eigenschaften[Bearbeiten]

Es gilt[2]

\sum_{d|n}\lambda(d)=\begin{cases} 1, \qquad \mathrm{wenn}\; n\; \mathrm{eine\; Quadratzahl\; ist} \\ 0,\qquad\mathrm{sonst.}\end{cases}

Die Liouville-Funktion ist verwandt mit der Möbius-Funktion \mu durch[3]

\lambda(n)=\sum_{d^2|n} \mu\left(\frac{n}{d^2}\right).

Reihen[Bearbeiten]

Die Dirichlet-Reihe der Liouville-Funktion lässt sich durch die riemannschen Zeta-Funktion \zeta ausdrücken:[4]

\sum_{n=1}^\infty \frac{\lambda(n)}{n^s}=\frac{\zeta(2s)}{\zeta(s)}.

Ihre Lambert-Reihe ist gegeben durch

\sum_{n=1}^\infty \frac{\lambda(n)q^n}{1-q^n}=\sum_{n=1}^\infty q^{n^2}=\frac12(\vartheta_3(q)-1),

wobei \vartheta_3 die Jacobische Theta-Funktion bezeichnet.

Summen[Bearbeiten]

Graph von L_n bis n=10.000
Graph von L_n bis 10^7

Es sei

L(n)=\sum_{k=1}^n \lambda(k).

Die Pólya-Vermutung besagt, es sei – wie die Grafiken rechts vermuten lassen – stets[5]

L(n)\le 0.

Diese Vermutung wurde mittlerweile widerlegt; das kleinste Gegenbeispiel ist n=906150257. Es ist bisher allerdings nicht bekannt, ob L sein Vorzeichen unendlich oft wechselt.

Eine verwandte Summe ist

M(n)=\sum_{k=1}^n \frac{\lambda(k)}k.

Für diese wurde vermutet, sie sei für hinreichend große n stets positiv; dies wurde 1958 von dem englischen Mathematiker Colin Brian Haselgrove widerlegt, wobei er zeigte, dass M unendlich oft negative Werte annimmt.[6] Ein Beweis der Vermutung hätte die Richtigkeit der riemannschen Vermutung zur Folge gehabt.[7]

Weblinks[Bearbeiten]

Referenzen[Bearbeiten]

  1. Vgl. Folgen A026424 und A028260.
  2. Kimberly Lloyd: Liouville function. Auf: PlanetMath.org. (englisch)
  3. A. F. Lavrik: Liouville function. In: Online Encyclopedia of Mathematics. (englisch)
  4. Russell Sherman Lehman: On Liouville's Function. (PDF; 824 kB) In: Mathematics of Compution ⟨American Mathematical Society⟩ 14 (1960), Nr. 72, S. 311-320.
  5. Eric W. Weisstein: Polya Conjecture. In: MathWorld (englisch).
  6. Colin Brian Haselgrove: A disproof of a conjecture of Polya. In: Mathematika ⟨London Mathematical Society⟩ 5 (1958), Nr. 2, S. 141–145.
  7. Hisanobu Shinya: On an arithmetical approach to the Riemann hypothesis. In: arXiv:0906.4155 (23. Juni 2009).