Nabla-Operator

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Der Nabla-Operator ist ein Symbol, das in der Vektor- und Tensoranalysis benutzt wird, um kontextabhängig einen der drei Differentialoperatoren Gradient, Divergenz oder Rotation zu bezeichnen. Er wird durch das Nabla-Symbol \nabla bezeichnet (auch \vec{\nabla} oder \underline \nabla, um die formale Ähnlichkeit zu üblichen vektoriellen Größen zu betonen). Sein Name stammt von der Bezeichnung eines harfenähnlichen hebräischen Saiteninstruments, das in etwa die Form dieses Zeichens hatte.

Definition[Bearbeiten]

Formal ist der Nabla-Operator ein Vektor, dessen Komponenten die partiellen Ableitungsoperatoren \textstyle\frac\partial{\partial x_i} sind:

\vec\nabla = \left (\frac\partial{\partial x_1},\ldots, \frac\partial{\partial x_n}\right)

Er kann dabei sowohl als Spalten-Vektor (zum Beispiel grad) als auch als Zeilen-Vektor (zum Beispiel div) auftreten.[1] Im dreidimensionalen kartesischen Koordinatensystem schreibt man auch:

\vec\nabla = \left(\frac\partial {\partial x}, \frac\partial {\partial y}, \frac\partial {\partial z}\right) = \vec e_x \frac\partial {\partial x} + \vec e_y \frac\partial {\partial y} + \vec e_z \frac\partial {\partial z}

Dabei sind \vec e_x, \vec e_y und \vec e_z die Einheitsvektoren des Koordinatensystems.

Gerechnet wird mit dem Nabla-Operator wie mit einem Vektor, wobei das „Produkt“ von \textstyle\frac\partial{\partial x_i} mit einer rechts davon stehenden Funktion f als partielle Ableitung \textstyle\frac{\partial f}{\partial x_i} interpretiert wird.

Darstellung anderer Differentialoperatoren[Bearbeiten]

Im n-dimensionalen Raum[Bearbeiten]

Sei D \subset \mathbb R^n eine offene Teilmenge, f \colon D \to \R eine differenzierbare Funktion und \vec{V} = (V_1, \dots, V_n)^\top \colon D \to \R^n ein differenzierbares Vektorfeld.

Das (formale) Produkt von \vec\nabla mit der Funktion f ergibt deren Gradienten

\vec\nabla  f = \operatorname{grad} f = \left (\frac{\partial f}{\partial x_1},\ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}\right)^\top \,.

Das (formale) Skalarprodukt mit dem Vektorfeld \vec V ergibt dessen Divergenz

\vec\nabla \cdot \vec V = \operatorname{div} \vec{V} = \sum_{i=1}^n \frac{\partial V_i}{\partial x_i} \,.

Das (formale) Skalarprodukt \nabla^2 von \nabla mit sich selbst ergibt den Laplace-Operator \Delta, denn es gilt

\nabla^2 = \nabla \cdot \nabla = \sum_{i = 1}^n \frac{\partial^2}{\partial x_i^2} = \Delta\,.

Im dreidimensionalen Raum[Bearbeiten]

Sei D \subset \mathbb R^3 nun eine offene Teilmenge, f \colon D \to \R eine differenzierbare Funktion und \vec{V} = (V_1, V_2 , V_3)^\top \colon D \to \R^3 ein differenzierbares Vektorfeld. Im dreidimensionalen Raum \R^3 mit den kartesischen Koordinaten x, y, z stellen sich die obigen Formeln wie folgt dar:

Der Nabla-Operator angewandt auf das Skalarfeld f ergibt den Gradienten des Skalarfeldes


\operatorname{grad}f = \vec\nabla f =
\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)^\top =
\frac{\partial f}{\partial x} \vec e_x + \frac{\partial f}{\partial y} \vec  e_y + \frac{\partial f}{\partial z} \vec e_z\,.

Das Ergebnis ist ein Vektorfeld. Hierbei sind \vec e_x,\, \vec e_y,\, \vec e_z die Einheitsvektoren des \R^3.

Der Nabla-Operator angewandt auf das Vektorfeld \vec{V} ergibt die Divergenz des Vektorfeldes als formales Skalarprodukt mit dem Vektorfeld zu


\operatorname{div}\vec{V} =
\vec{\nabla} \cdot \vec{V} =
\frac{\partial V_1}{\partial x} + \frac{\partial V_2}{\partial y} + \frac{\partial V_3}{\partial z},

also ein Skalarfeld.

Eine Besonderheit des dreidimensionalen Raums ist die Rotation eines Vektorfelds. Sie ergibt sich durch (rechtsseitige) Verknüpfung über das formale Kreuzprodukt als


\operatorname{rot}\vec{V} =
\vec{\nabla} \times \vec{V} =
\begin{pmatrix}
\frac{\partial V_3}{\partial y} - \frac{\partial V_2}{\partial z} \\
\frac{\partial V_1}{\partial z} - \frac{\partial V_3}{\partial x} \\
\frac{\partial V_2}{\partial x} - \frac{\partial V_1}{\partial y}
\end{pmatrix}\,,

also wieder ein Vektorfeld.

Notation mit Subskript[Bearbeiten]

Wirkt der Nablaoperator nur auf bestimmte Komponenten einer Funktion mit einem mehrdimensionalen Argument, so wird dies durch ein Subskript angedeutet. Für eine Funktion f(\vec{r},t) mit \vec{r}=(x_1, x_2, \dotsc, x_n) beispielsweise ist

\vec\nabla_{\vec{r}} f = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n}\right)

im Gegensatz zu

\vec\nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \dots, \frac{\partial f}{\partial x_n}, \frac{\partial{f}}{\partial t}\right).

Diese Bezeichnung ist üblich, wenn mit dem Nabla-Symbol das einfache Differential (d. h. die einzeilige Jacobi-Matrix) bzw. ein Teil davon bezeichnet wird.

Gelegentlich tritt alternativ für die Schreibweise mit dem Nabla-Symbol \nabla_{\vec{r}} die Schreibweise \frac{\partial}{\partial \vec{r}} auf.[2]

Rechenregeln[Bearbeiten]

Rechenregeln für den Nabla-Operator lassen sich formal aus den Rechenregeln für Skalar- und Kreuzprodukt zusammen mit den Ableitungsregeln herleiten. Dabei muss man die Produktregel anwenden, wenn der Nabla-Operator links von einem Produkt steht.

Sind \psi,~\varphi und f Skalarfelder (Funktionen) und \vec A und \vec B Vektorfelder, so gilt:

\vec\nabla f(r)=\frac{\mathrm d f}{\mathrm d r}\frac{\vec r}{r} =\frac{\mathrm d f}{\mathrm d r}\vec e_r (Kugelsymmetrisches Feld)
\vec\nabla(\psi\varphi)=\psi\vec\nabla\varphi+\varphi\vec\nabla\psi \ (Produktregel für Gradient)
\vec\nabla(\vec A\cdot\vec B)=(\vec A\cdot\vec\nabla)\vec B+(\vec B\cdot\vec\nabla)\vec A+\vec A\times(\vec\nabla\times\vec B)+\vec B\times(\vec\nabla\times\vec A)
\vec\nabla\cdot(\varphi\vec A)=\varphi\vec\nabla\cdot\vec A+\vec A\cdot\vec\nabla\varphi
\vec\nabla\cdot(\vec A\times\vec B)=\vec B\cdot(\vec\nabla\times\vec A)-\vec A\cdot(\vec\nabla\times\vec B)
\vec\nabla\cdot(\vec\nabla\varphi)=\operatorname{div}(\operatorname{grad}\varphi)=\Delta\varphi (siehe auch Laplace-Operator)
\vec\nabla\cdot(\vec\nabla\times\vec A)=\operatorname{div}(\operatorname{rot}\vec A)=0
\vec\nabla\times(\vec\nabla\varphi)=\operatorname{rot}(\operatorname{grad}\varphi)=0
\vec\nabla\times\varphi\vec A=\varphi\vec\nabla\times \vec A-\vec A\times\vec\nabla\varphi
\vec\nabla\times (\vec A\times\vec B)=(\vec B\cdot\vec\nabla)\vec A-\vec B(\vec\nabla\cdot\vec A)+\vec A(\vec\nabla\cdot\vec B)-(\vec A\cdot\vec\nabla)\vec B
\vec\nabla\times (\vec\nabla\times \vec A)=\operatorname{rot}(\operatorname{rot}\vec A)=\operatorname{grad}(\operatorname{div}\vec A) -\Delta\vec A (siehe auch vektorieller Laplace-Operator)

Weitere Rechenregeln, sowie die Darstellung in anderen Koordinaten siehe unter Gradient, Divergenz und Rotation.

Anwendung in der Kontinuumsmechanik[Bearbeiten]

Hauptartikel: Kontinuumsmechanik

In der Kontinuumsmechanik wird der Nabla-Operator dazu verwendet, zusätzlich zu den oben genannten Operatoren den Gradient eines Vektorfeldes und die Divergenz sowie Rotation eines Tensorfeldes zu definieren.

Die Darstellung erfolgt wegen der Wichtigkeit der Rotation für die Kontinuumsmechanik in drei Dimensionen. Sei also D \subset \mathbb R^3 eine offene Teilmenge, \vec{V} = (V_1, V_2, V_3)^\top \colon D \to \R^3 ein differenzierbares Vektorfeld und \mathbf{T} \colon D \to \R^{3\times 3} ein differenzierbares Tensorfeld vom Rang 2 mit Komponenten T_{ij}\,,\;i,j=1,2,3.

Das transponierte dyadische Produkt des Nabla-Operators mit einem Vektorfeld \vec{V} ergibt dessen Gradienten


(\vec{\nabla}\otimes\vec{V})^\top
= \operatorname{grad}(\vec{V})
:=\sum_{j=1}^3 \frac{\partial \vec{V}}{\partial x_j}\otimes\vec{e}_j
=\sum_{i,j=1}^3 \frac{\partial V_i}{\partial x_j}\vec{e}_i\otimes\vec{e}_j
=\begin{pmatrix}
\frac{\partial V_1}{\partial x} & \frac{\partial V_1}{\partial y} & \frac{\partial V_1}{\partial z}\\
\frac{\partial V_2}{\partial x} & \frac{\partial V_2}{\partial y} & \frac{\partial V_2}{\partial z}\\
\frac{\partial V_3}{\partial x} & \frac{\partial V_3}{\partial y} & \frac{\partial V_3}{\partial z}
\end{pmatrix}

also ein Tensorfeld vom Grad 2. Der so definierte Gradient stimmt mit der Fréchet-Ableitung überein:

\operatorname{grad}(\vec{V})\colon\quad
\operatorname{grad}(\vec{V})\cdot\vec{h}
= \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}\vec{V}(\vec{x}+s\vec{h})\right|_{s=0}
= \lim_{s \rightarrow 0}\frac{\vec{V}(\vec{x}+s\vec{h})-\vec{V}(\vec{x})}{s}\quad\forall\;\vec{x},\vec{h}\in D\,.

Insbesondere in der Strömungslehre kommt auch die Notation

\operatorname{grad}(\vec{V})=\vec{V}\cdot\vec{\nabla} = (\vec{V}\,\operatorname{grad})

vor, siehe Eulersche Gleichungen (Strömungsmechanik). Hier liefert also das rechtsseitige Produkt mit dem Nabla-Operator den Gradienten. Auch in dieser Notation ergibt das linksseitige Skalarprodukt des Nabla-Operators mit einem Tensorfeld vom Grad 2 formal dessen Divergenz

\vec\nabla\cdot\mathbf{T} = \operatorname{div}(\mathbf{T})
:= \sum_{k=1}^3 \vec{e}_k\cdot\frac{\partial\mathbf{T}}{\partial x_k}
= \sum_{i,j,k}^3 \vec{e}_k\cdot\frac{\partial T_{ij}}{\partial x_k}(\hat{e}_i\otimes\hat{e}_j)
= \sum_{i,j}^3 \frac{\partial T_{ij}}{\partial x_i}\hat{e}_j
= \begin{pmatrix}
\frac{\partial T_{11}}{\partial x} + \frac{\partial T_{21}}{\partial y} + \frac{\partial T_{31}}{\partial z}\\
\frac{\partial T_{12}}{\partial x} + \frac{\partial T_{22}}{\partial y} + \frac{\partial T_{32}}{\partial z}\\
\frac{\partial T_{13}}{\partial x} + \frac{\partial T_{23}}{\partial y} + \frac{\partial T_{33}}{\partial z}
\end{pmatrix}

also ein Vektorfeld.

Das Kreuzprodukt des Nabla-Operators mit einem Tensor zweiter Stufe liefert dessen Rotation:

\vec{\nabla}\times\mathbf{T}
= \operatorname{rot}(\mathbf{T}) 
:= \sum_{i=1}^3 \vec{e}_i\times\frac{\partial\mathbf{T}}{\partial x_i}
= \sum_{i,j,l=1}^3 \vec{e}_i\times\frac{\partial T_{jl}}{\partial x_i}(\vec{e}_j\otimes\vec{e}_l)
= \sum_{i,j,k,l=1}^3
\varepsilon_{ijk}\frac{\partial T_{jl}}{\partial x_i}(\vec{e}_k\otimes\vec{e}_l)

also ein Tensorfeld vom Grad 2. Darin ist \varepsilon_{ijk} = (\vec{e}_i \times \vec{e}_j) \cdot \vec{e}_k das Permutationssymbol. Weitere Formeln und Definitionen beinhaltet die Formelsammlung Tensoranalysis.

Diese Operatoren sind in der Literatur nicht einheitlich definiert. Gelegentlich kommen transponierte Versionen vor:

Gradient \tilde{\operatorname{grad}}(\vec{V}):=\vec{\nabla}\otimes\vec{V}
=\operatorname{grad}(\vec{V})^\top
Divergenz \tilde{\operatorname{div}}(\mathbf{T}):=\vec{\nabla}\cdot(\mathbf{T}^\top)
=\operatorname{div}(\mathbf{T}^\top)
Rotation \tilde{\operatorname{rot}}(\mathbf{T}):=\vec{\nabla}\times(\mathbf{T}^\top)
=\operatorname{rot}(\mathbf{T}^\top)

In den Formeln der Wikipedia sind dann die transponierten Tensoren einzusetzen, um sie mit den Formeln der Literatur zu vergleichen.

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

 Wikibooks: Formelsammlung Physik: Nabla-Operator – Lern- und Lehrmaterialien

Literatur[Bearbeiten]

  •  Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 5. Auflage. Harri Deutsch, 2001, ISBN 3817120052 (Enthält alle hier genannten Eigenschaften, jedoch ohne Beweis.).
  •  Jänich: Vektoranalysis. Springer, 1992, ISBN 3540555307 (Enthält nur die grundlegende Definition.).
  •  Großmann: Mathematischer Einführungskurs für die Physik. Teubner, Stuttgart 1991 (siehe insbesondere Abschnitt 3.6).
  •  H. Altenbach: Kontinuumsmechanik. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-24118-5 (siehe Abschnitt 2.3 Tensoranalysis).

Einzelnachweise und Fußnoten[Bearbeiten]

  1. Zeilen- und Spaltenvektoren werden in der Differentialgeometrie und im mathematischen Formalismus der Relativitätstheorie auch als kovariant beziehungsweise kontravariant bezeichnet. Der Ableitungsoperator nach den kovarianten Koordinaten bildet dabei einen kontravarianten Vektor und umgekehrt.
  2. Jürgen Schnakenberg: Elektrodynamik. John Wiley & Sons, 2003, ISBN 3527403698, S. 31 ff., Google Books.