Oszillierendes Integral

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Ein oszillierendes Integral ist ein Objekt aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis beziehungsweise aus der mikrolokalen Analysis. Es ist ein verallgemeinerter Integralbegriff, welcher insbesondere im Bereich der Distributionentheorie Anwendung findet. Da die Phasenfunktion den Integranden oszillieren lässt, wurde das Integral entsprechend oszillierendes Integral genannt. Eingeführt wurde dieser Begriff von Lars Hörmander.

Phasenfunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Funktion heißt Phasenfunktion, falls für alle

  • der Imaginärteil nichtnegativ ist, das heißt
.
  • die Funktion homogen ist, das heißt
für alle .
  • das Differential ungleich null ist, das heißt
.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Abbildungen , wobei das Standardskalarprodukt meint, sind Phasenfunktionen, welche bei der Fourier-Transformation und ihrer Rücktransformation auftreten.

Motivation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine Phasenfunktion wie zum Beispiel und sei ein Symbol mit . Dann gilt

und die Abbildung

ist stetig. Diese Typen von Parameterintegralen sind im Bereich der Funktionalanalysis verbreitet. So haben zum Beispiel die Fourier-Transformation und die Zweiseitige Laplacetransformation diese Gestalt. Oder auch die Lösung der Bessel'schen Differentialgleichung

kann so notiert werden.

Fortsetzungssätze[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Fourier-Transformation auf L2[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Fourier-Transformation kann auf dem Schwartz-Raum durch den Integraloperator

definiert werden. Mittels eines Dichtheitsargument kann man diesen Operator auf fortsetzen, jedoch konvergiert das Fourier-Integral nicht für jede -Funktion. Der Operator muss also anders dargestellt werden.

Raum der Symbolklassen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit wird der Raum der Distributionen bezeichnet. Sei eine Phasenfunktion und sei , . Dann gibt es genau eine Möglichkeit eine Abbildung

zu definieren, so dass für das Integral

existiert und die Abbildung stetig ist.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die beiden oben erwähnten Fortsetzungssätze zeigen, dass es wünschenswert ist, einen Integralbegriff zu haben, so dass man auch die Fortsetzungen in der Integralschreibweise ausdrücken kann. Dafür kann das im Folgenden definierte oszillierende Integral verwendet werden.

Oszillierendes Integral[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine Abschneidefunktion mit für und für . Außerdem sei eine Phasenfunktion und eine Symbolklasse. Nun setzt man

wobei der Grenzwert im Sinne von Distributionen zu verstehen ist. Das heißt, der Grenzwert ist durch

für alle Testfunktionen erklärt. Der Integralausdruck heißt oszillierendes Integral.

Oszillierender Integraloperator[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei wieder eine Phasenfunktion und eine Symbolklasse. Die Abbildung

ist ein oszillierender Integraloperator.

Beschränktheit auf L2[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lars Hörmander zeigte, dass oszillierende Integraloperatoren unter gewissen Voraussetzungen beschränkte Operatoren auf dem Raum der quadratintegrierbaren Funktionen sind.[1]

Sei eine Phasenfunktion und die Symbolklasse sei eine glatte Funktion mit kompaktem Träger. Dann existiert eine Konstante , so dass

gilt,[2] was bedeutet, dass der lineare Operator auf beschränkt, also stetig, ist. Außerdem folgt aus dem Satz von Banach-Steinhaus, dass die Familie von Operatoren gleichmäßig beschränkt ist.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Fourier-Transformation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Fourier-Transformation

Sei eine glatte Funktion mit kompaktem Träger und mit und sei die Phasenfunktion. Durch Reskalieren kann man den oszillierenden Integraloperator

in

transformieren. Diese Familie von Operatoren ist gleichmäßig beschränkt auf und für erhält man die Fourier-Transformation

Pseudodifferentialoperator[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Pseudodifferentialoperator

Mit Hilfe des oszillierenden Integrals definiert man einen speziellen stetigen und linearen Operator

auf den Schwartz-Raum, welcher durch

gegeben ist. Die Funktion ist eine Symbolfunktion und der Operator heißt Pseudodifferentialoperator. Es ist eine Verallgemeinerung eines Differentialoperators. Der Integralkern dieses Operators lautet

und ist ein typischer Schwartz-Kern.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Lars Hörmander: The Analysis of Linear Partial Differential Operators. Band 1: Distribution Theory and Fourier Analysis. Second Edition. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1990, ISBN 3-540-52345-6 (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 256).
  • Elias M. Stein: Harmonic Analysis. Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals. Princeton University Press, Princeton NJ 1993, ISBN 0-691-03216-5 (Princeton mathematical Series 43 = Monographs in harmonic Analysis 3).
  • Alain Grigis, Johannes Sjöstrand: Microlocal analysis for differential operators. An introduction. Cambridge University Press, Cambridge u. a. 1994, ISBN 0-521-44986-3 (London Mathematical Society lecture note series 196).

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. L. Hörmander Fourier integral operators, Acta Math. 127 (1971), 79–183. doi:10.1007/BF02392052
  2. Elias Stein, Harmonic Analysis: Real-variable Methods, Orthogonality and Oscillatory Integrals. Princeton University Press, 1993. ISBN 0-691-03216-5, S. 377.