P-triviale σ-Algebra

Eine P-triviale σ-Algebra ist in der Stochastik ein spezielles Mengensystem, das sich dadurch auszeichnet, dass jede Teilmenge des Mengensystems (bzw. jedes Ereignis) die Wahrscheinlichkeit 0 oder 1 zugeordnet bekommt. Die Ereignisse sind also fast sicher oder fast unmöglich. P-triviale σ-Algebren treten in der Stochastik beispielsweise im Rahmen der 0-1-Gesetze auf. Auch in der Ergodentheorie finden sie Verwendung, beispielsweise bei der Frage, ob ein maßerhaltendes dynamisches System auch ergodisch ist.

Definition

Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$. Eine σ-Algebra ${\mathcal {O}}\subset {\mathcal {A}}$ heißt eine P-triviale σ-Algebra, wenn für alle $O\in {\mathcal {O}}$ gilt, dass entweder $P(O)=0$ oder $P(O)=1$ ist.

Elementare Beispiele

• Die triviale σ-Algebra $\{\Omega ,\emptyset \}$ ist immer auch P-trivial. Dies folgt aus der Definition des Wahrscheinlichkeitsmaßes, da dort immer $P(\Omega )=1$ und $P(\emptyset )=0$ gefordert wird.
• Sind zwei zueinander singuläre Wahrscheinlichkeitsmaße $P_{1},P_{2}$ gegeben, so existiert eine disjunkte Zerlegung der Grundmenge, es gilt also $\Omega =N_{1}\cup N_{2}$ und $N_{1}\cap N_{2}=\emptyset$, so dass $P_{1}(N_{1})=0$ und $P_{2}(N_{2})=0$. Dann ist die σ-Algebra $\{\Omega ,\emptyset ,N_{1},N_{2}\}$ sowohl $P_{1}$- als auch $P_{2}$-trivial. Aufgrund der elementaren Rechenregel für Wahrscheinlichkeiten gilt nämlich $P_{1}(N_{2})=1$ und $P_{2}(N_{1})=1$, die Wahrscheinlichkeiten der Grundmenge und der leeren Menge sind wieder durch die Definition eines Wahrscheinlichkeitsmaßes gegeben.

Anwendungsbeispiele

Meist ist der Beweis, dass ein Mengensystem P-trivial ist, nicht leicht zu führen, demnach tragen einige dieser Aussagen Eigennamen. Sie werden zu den 0-1-Gesetzen gezählt, da sie Aussagen darüber treffen, welche Ereignisse mit Wahrscheinlichkeit 0 oder 1 eintreten. Klassische Beispiele sind:

• Das Kolmogorowsche Null-Eins-Gesetz. Es besagt, dass die terminale σ-Algebra einer Folge von unabhängigen σ-Algebren P-trivial ist.
• Das Null-Eins-Gesetz von Hewitt-Savage. Es besagt, dass die austauschbare σ-Algebra einer Folge von unabhängig identisch verteilten Zufallsvariablen P-trivial ist.

Eigenschaften

Auf einem Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ ist eine P-triviale σ-Algebra ${\mathcal {O}}\subset {\mathcal {A}}$ von jedem anderen Mengensystem ${\mathcal {M}}\subset {\mathcal {A}}$ unabhängig. Dies lässt sich mittels elementarer Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten herleiten.

Eine wichtige Schlussfolgerung daraus ist, dass für den bedingten Erwartungswert gilt, dass wenn ${\mathcal {O}}$ P-trivial ist, $\operatorname {E} (X|{\mathcal {O}})=\operatorname {E} (X)$ gilt, da $\sigma (X)$ und ${\mathcal {O}}$ voneinander unabhängig sind. Diese Schlussfolgerung findet beispielsweise Verwendung bei dem individuellen Ergodensatz und dem L^p-Ergodensatz.

Literatur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.