Pappos-Kette

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Die Pappos-Kette im Arbelos

Die Pappos-Kette (auch Pappus-Kette) ist in der Geometrie eine unendliche Folge einander berührender Kreise in einem Arbelos. Sie ist benannt nach dem griechischen Geometer Pappos von Alexandria, der sie im 3. Jahrhundert erstmals untersuchte.

Konstruktion[Bearbeiten]

Pappos-Kette im gespiegelten Arbelos

Ein Arbelos wird gebildet durch die drei Halbkreise über AB, AC und CB (sichelförmige Figur in der oberen Abbildung). Der Inkreis des Arbelos mit dem Mittelpunkt P_1 ist der erste Kreis der Pappos-Kette, die weiteren (mit den Mittelpunkten P_2, P_3 u. s. f.) ergeben sich durch Aneinanderreihung von Kreisen, die den jeweils vorangehenden Kreis der Kette, den großen Halbkreis über AB und einen der beiden kleineren Halbkreise berühren. In der Abbildung, auf die sich auch der weitere Text bezieht, ist das der linke Halbkreis über AC, die Kette hätte ebenso gut nach rechts (den Halbkreis über CB berührend) fortgesetzt werden können.

Man kann die Pappos-Kette auch in einem an AB gespiegelten Arbelos betrachten, dann wird der zum Kreis ergänzte Arbelos-Halbkreis, der nicht alle Kreise der Kette berührt (hier der über CB), zu einem Glied der Kette.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Abstand des Kreises 3 von der Arbelos-Grundlinie

Man nummeriere die Kreise der Pappos-Kette wie folgt: Der zum Kreis ergänzte Arbelos-Halbkreis über CB erhält die Nummer 0, der Arbelos-Inkreis die Nummer 1 u. s. f. (entsprechend der Indizierung der Kreismittelpunkte P_n in der oberen Abbildung), die Radien dieser Kreise bezeichne man mit r_n. Die Radien der beiden kleinen Arbelos-Halbkreise seien a = \overline{CB}/2 = r_0 und b = \overline{AC}/2.

  • Der Kreis mit der Nummer n hat den Radius
    r_n=\frac {ab(a+b)}{n^2a^2+b(a+b)}.
  • Der Mittelpunkt P_n des Kreises mit der Nummer n hat den Abstand 2nr_n von der Arbelos-Grundlinie AB. Die Abbildung rechts illustriert dies für den Kreis mit der Nummer 3.
  • Die Mittelpunkte der Kreise der Pappos-Kette liegen auf einer Ellipse (gestrichelt in der oberen Abbildung). Die Brennpunkte dieser Ellipse sind die Mittelpunkte der Strecken AB und AC.
  • Die Punkte, in denen die Kreise der Pappos-Kette einander berühren, liegen auf einem Kreis.

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]