Parametrischer Oszillator

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Ein parametrischer Oszillator ist ein harmonischer Oszillator mit zeitabhängigen Parametern (Eigenfrequenz und Dämpfung[Anm 1]). Einem Oszillator kann auf diese Weise Energie zugeführt werden, um die Amplitude der Schwingung zu vergrößern. Die Methode der Energiezufuhr wird parametrische Anregung genannt, die Bewegung parametererregte oder auch rheolineare[1] Schwingung. Ein Beispiel ist das Schwungholen bei einer Schaukel durch periodisches Heben und Senken des Schwerpunkts parallel zur Aufhängung.[Anm 2]

Ein Merkmal einer rein parametrisch erzeugten Schwingung ist, dass sie, im Unterschied zu einer erzwungenen Schwingung, ohne eine anfängliche Auslenkung aus der Ruhelage nicht entstehen kann.

Technische Systeme mit zeitabhängigen Parametern finden sich beispielsweise im Turbomaschinen- und Hubschrauberbau.[2][3] Parametrische Oszillatoren werden in einer Reihe von technischen Systemen eingesetzt, besonders in der Elektrotechnik, beispielsweise beim Bau von rauscharmen Verstärkern. Weiter können sie zur Frequenzwandlung eingesetzt werden. Ein optisch parametrischer Oszillator kann beispielsweise eine eingestrahlte Laserwelle in zwei Strahlungen geringerer Frequenz umwandeln.

Definition[Bearbeiten]

Ein Oszillator mit rein parametrischer Anregung lässt sich durch folgende homogene Differentialgleichung beschreiben[4]:

\ddot{x} + p_1(t) \dot{x} + p_2(t) x = 0

Die zeitabhängigen Funktionen p_1 und p_2 sind Parameter des Systems. Die Parameter haben die Eigenschaft, dass sie reell sind, nicht von dem Zustand des Oszillators abhängen und sich periodisch verändern. Es lässt sich zeigen, dass sich beide Parameter zu einer zeitabhängigen Anregungsfunktion zusammenfassen lassen. Eine solche Anregungsfunktion nennt man Pumpfunktion. Die Schaltung oder Mechanismus, der die Parameter verändert heißt Pumpe.

Merkmal einer solchen Anregung ist, dass bei einem Oszillator, der mit einer Anfangsamplitude von Null startet, die Amplitude Null bleibt, denn für die Anfangsbedingungen (x,\dot{x})=(0,0) erhält man immer \ddot{x}=0. Da die Verstärkung jedoch schon bei winzigsten, unbeabsichtigten Auslenkungen funktioniert, ist dieser Fall in der Realität nicht zu beobachten.[5]

Daher wird die parametrische Anregung vielfach durch eine Zwangserregung ergänzt, sodass die Differentialgleichung inhomogen wird. Man erhält also zusätzlich zu zeitabhängigen Parametern eine unabhängige externe Kraft und somit eine kombinierte Zwangs- und Parametererregung.

\ddot{x} + p_1(t) \dot{x} + p_2(t){x} = p_3(t)

Von praktischem Interesse ist insbesondere Resonanzfall, bei dem sich die Parameter mit doppelter Eigenfrequenz des Oszillators verändern. Dann schwingt der Oszillator phasenstarr mit der parametrischen Veränderung und absorbiert dabei Energie proportional zu der Energie, die er bereits besitzt. Ohne einen Mechanismus, der dieses Anwachsen kompensiert, wächst die Amplitude der Oszillation somit exponentiell an.

Bei Systemen mit mehreren Freiheitsgraden haben die Parameter Matrizenform und die abhängigen Variablen werden in einem Vektor zusammengefasst.

Geschichte[Bearbeiten]

Die ersten Beobachtungen stammen von Michael Faraday, der im Jahr 1831 Oberflächenwellen in einem Weinglas beschrieben hat, das zum „Singen“ angeregt wurde. Er stellte fest, dass die Schwingungen des Weinglases von Kräften mit doppelter Frequenz erregt wurden.[6] Im Jahr 1859 hat dann Franz Melde parametererregte Schwingungen in einer Saite erzeugt, indem er eine Stimmgabel verwendete, um die Spannung der Saite periodisch mit doppelter Resonanzfrequenz zu verändern.[7] Eine Beschreibung von parametrischer Anregung als generelles Phänomen wurde erstmals von Rayleigh in den Jahren 1883 und 1887 verfasst.[8][9][10]

George William Hill stieß 1886 auf eine spezielle DGL mit veränderlichen Parametern, als er Störungen ermittelte, die die Mondbahn durch den Einfluss der Sonne erfährt.[11]

Einer der Ersten, der das Konzept auf elektrische Schaltungen angewendete, war George Francis FitzGerald, der 1892 versuchte, Schwingungen in LC-Gliedern anzuregen, indem er mit einem Dynamo als Pumpe die Induktivität des Schwingkreises veränderte.[12]

Parametrische Verstärker wurden das erste Mal in den Jahren 1913 bis 1915 für eine radioübertragene Telefonverbindung von Berlin nach Wien und Moskau verwendet. Das Potential der Technologie für zukünftige Anwendungen wurde schon damals, beispielsweise von Ernst Alexanderson, erkannt.[13] Die ersten parametrischen Verstärker funktionierten durch Veränderung der Induktivität. Seitdem sind weitere Methoden, wie die Kapazitätsdiode, Klystronröhren, Josephson-Kontakte und optische Methoden entwickelt worden.

Mathematische Beschreibung[Bearbeiten]

Zusammenfassung der Parameter zu einer Anregungsfunktion[Bearbeiten]

Wir beginnen mit obenstehender Differentialgleichung:

\ddot{x}+\beta\dot{x}+\omega^{2}x=0

Um beide zeitabhängige Faktoren in der Differentialgleichung zu einer Pumpfunktion zusammenzufassen, lässt sich zunächst eine Variablentransformation durchführen, um den geschwindigkeitsabhängigen Term zu eliminieren. Wir setzen somit:

x=q\, e^{-0,5\int_0^t\beta dt}

Nach zweimaliger Ableitung und Einsetzen in die ursprüngliche Gleichung entsteht

\ddot{q}+\Omega^2 q=0

mit

\Omega^{2}=\omega^{2}-\frac{1}{2}\dot{\beta}-\frac{1}{4}\beta^{2}

Die obenstehende Differentialgleichung, bei der sich \Omega periodisch verändert, wird Hillsche Differentialgleichung genannt.

Die Anregung wird meist als Abweichung von einem zeitlichen Mittel aufgefasst

\Omega^{2} = \omega_{n}^{2}(1 + f)

wobei die Konstante \omega_{n} der gedämpften Schwingfrequenz des Oszillators entspricht, also

\omega_n^2=\omega_0^2-\beta_0^2

Die zeitabhängige Funktion f wird Pumpfunktion genannt. Jede Art von parametrische Anregung lässt sich also immer durch folgende Differentialgleichung beschreiben

\ddot q + \omega_n^2 (1 + f(t)) q = 0

Lösung für eine sinusförmige Anregung mit doppelter Frequenz[Bearbeiten]

Wir betrachten die obenstehende Differentialgleichung

\ddot q + \omega_n^2 (1 + f) q = 0

Wir nehmen an, dass sich die Pumpfunktion f schreiben lässt als

f(t)=f_0 \sin(2\omega_p t)

wobei die halbe Pumpfrequenz \omega_{p}\approx \omega_n ungefähr der Schwingfrequenz entspricht. Dieser Spezialfall der hillschen Differentialgleichung wird mathieusche Differentialgleichung genannt. Eine exakte Übereinstimmung der Frequenzen ist für die Lösung jedoch nicht notwendig, da sich die Schwingung dem Pumpsignal anpasst. Nach dem Satz von Floquet lässt sich die Lösung der Differentialgleichung schreiben als

q = A\cos(\omega_{p}t)+B\sin(\omega_{p}t)

Die Amplituden A und B sind dabei zeitabhängig. Für eine parametrische Anregung gilt jedoch üblicherweise, dass sich die Amplituden langsamer verändern als die Sinus beziehungsweise Cosinusterme der Lösung. Anders ausgedrückt geschieht die Veränderung der Schwingungsamplitude langsamer als die Schwingung selbst. Setzt man diese Lösung in die Differentialgleichung ein und behält nur Terme erster Ordnung in f_{0} \ll 1, so erhält man zwei gekoppelte Gleichungen

2\omega_p \dot A = \frac{f_0}{2} \omega_n^2 A - \left( \omega_p^2 - \omega_n^2 \right) B
2\omega_p \dot B = -\frac{f_0}{2} \omega_n^2 B + \left( \omega_p^2 - \omega_n^2 \right) A

Um dieses Gleichungssystem zu entkoppeln, lässt sich eine weitere Variablentransformation durchführen

A=r \cos \theta
B=r \sin \theta

und erhält dadurch die Gleichungen

\dot r = r(\alpha_{\mathrm{max}}\cos 2\theta)
\dot{\theta} = -\alpha_{\mathrm{max}}(\sin 2\theta-\sin 2\theta_{\mathrm{eq}} )

mit den Konstanten

\alpha_{\mathrm{max}}=\frac{f_0 \omega_n^2}{4\omega_p}
\sin 2\theta_{\mathrm{eq}}=\frac{2\epsilon}{f_0}
\epsilon=\frac{\omega_p^2-\omega_n^2}{\omega_n^2}

Die Konstante \epsilon wird Verstimmung genannt. Die Differentialgleichung für \theta hängt dabei nicht von r ab. Mit einer linearen Näherung lässt sich zeigen, dass sich \theta exponentiell dem Gleichgewichtspunkt \theta_{\mathrm{eq}} annähert. Anders ausgedrückt, der parametrische Oszillator koppelt sich phasenstarr an das Pumpsignal. Setzt man \theta(t) = \theta_{\mathrm{eq}}, womit man annimmt, dass sich die Kopplung eingestellt hat, wird die Differentialgleichung für die Amplitude zu

\dot r = \alpha r
\alpha = \alpha_{\mathrm{max}}\cos( 2 \theta_{\mathrm{eq}}) = \alpha_{\mathrm{max}}\sqrt{1- (2\epsilon/f_0)^2}

Die Lösung dieser Gleichung ist eine exponentielle Funktion. Damit die Amplitude von q exponentiell anwächst muss demnach gelten

\omega_n \sqrt{1 - (f_0/2)} < \omega_p < \omega_n \sqrt{1 + (f_0/2)}

Das größte Wachstum der Amplitude erhält man für den Fall \omega_p = \omega_n. Die entsprechende Schwingung der untransformierten Variable x muss jedoch nicht anwachsen. Ihre Amplitude R ist durch folgende Gleichung gegeben:

R(t)=r_0 e^{\alpha t -  \frac{1}{2} \int^t d\tau \ \beta(\tau)}

Man sieht, das ihr Verhalten abhängig davon ist, ob \alpha t größer, kleiner beziehungsweise gleich dem Zeitintegral des geschwindigkeitsabhängigen Parameters ist.

Veranschaulichung mit Fourierkomponenten[Bearbeiten]

Da die obenstehende mathematische Herleitung kompliziert und trickreich wirken kann, ist es vielfach hilfreich eine anschaulichere Herleitung zu betrachten. Dazu schreiben wir die Differentialgleichung in der Form

\ddot q + \omega_n^2 q = -\omega_n^2 f(t) q,

Wir nehmen an, dass die Pumpfunktion eine sinusförmige Funktion doppelter Frequenz ist, sowie dass die Schwingung bereits eine entsprechende Form besitzt, also

f(t) = f_0 \sin 2\omega_p t
q(t) = A \cos \omega_p t

Für das Produkt der beiden sinusförmigen Funktionen lässt sich eine trigonometrische Identität benutzen, sodass man zwei Pumpsignale erhält.

f(t)q(t) = \frac{f_0}{2} A \left( \sin \omega_p t + \sin 3\omega_p t \right)

Im Fourierraum ist die Multiplikation eine Überlagerung der Fouriertransformierten \tilde{F}(\omega) und \tilde{Q}(\omega). Die positive Verstärkung kommt daher, dass die Komponente +2\omega_p von f und die Komponente -\omega_p von q zu einem Anregungssignal mit +\omega_p werden und analog mit entgegengesetztem Vorzeichen. Dies erklärt, warum die Pumpfrequenz in der Umgebung von 2\omega_n, der doppelten Resonanzfrequenz des Oszillators liegen muss. Eine Pumpfrequenz die sich stark unterscheidet, würde nicht koppeln, also nicht in einer eine positive Rückkopplung zwischen den Komponenten -\omega_p und +\omega_p resultieren.

Stabilität und Resonanz[Bearbeiten]

Beispielhafte Stabilitätskarte eines Rüttelpendels (numerische Lösung)

Den Fall bei dem die Änderung der Parameter die Amplitude der Schwingung vergrößert bezeichnet man als parametrische Resonanz. Für Anwendungen ist es häufig interessant, ob eine Schwingung stabil ist. In dem betrachteten Fall eines harmonischen Oszillators bedeutet stabil, dass die Energie und damit die Schwingungsamplitude nicht gegen unendlich divergiert. Stabile Schwingungen sind demnach gebunden, instabile ungebunden. Die Stabilität eines Systems lässt sich in einer Stabilitätskarte veranschaulichen (siehe beispielhafte Darstellung rechts). Im Folgenden werden zwei Methoden zur Stabilitätsuntersuchung erläutert.

Stabilitätsuntersuchung nach Hill[Bearbeiten]

Ausgangspunkt ist eine Ansatzfunktion der Form

 {\psi} = e^{{\lambda}t}z(t)

wobei der erste Faktor einen Eigenwert beinhaltet der die Stabilität kennzeichnet (s. u.) und der zweite Faktor periodisch mit der Parameterfrequenz ist. Als komplexe Fourierreihe hat er die folgende Gestalt


z(t) = \sum_{-\infty}^{\infty}c_n e^{in\Omega t};

n = ... -2, -1, 0, 1, 2, ...

Die (periodischen) Systemmatrizen werden ebenfalls in einer Fourierreihe entwickelt. Das Prinzip der harmonischen Balance [14] führt auf ein Eigenwertproblem mit Matrizen der Größe [K(2N+1) × K(2N+1)] (K = Freiheitsgrade, N = Zahl der Fourierglieder) mit den für die Stabilitätsbetrachtung interessierenden Eigenwerten  {\lambda} = \alpha + i\omega (die Anzahl der Eigenwerte entsprechend den Matrizengrößen).


det[\lambda^2 + \lambda \cdot \overline{p_1} + \overline{p_2} ] = 0

Die Größe des Realteils des Eigenwerts entscheidet dabei über die Stabilität.

Stabilitätsuntersuchung nach Floquet[Bearbeiten]

Eine weitere Möglichkeit zur Bestimmung der Stabilitätsgrenzen ist die Stabilitätsuntersuchung nach Floquet. Dabei wird die DGL bei 2K gegebenen linear unabhängigen reellen Anfangsbedingungen (K = Freiheitsgrade) numerisch, in einfachen Fällen auch analytisch über eine Parameterperiode integriert und aus den gewonnen Werten eine 2K×2K-Übertragungsmatrix  \Phi generiert, deren im Normalfall konjugiert komplexe Eigenwerte Stabilität oder Instabilität kennzeichnen (sog. floquetsches Eigenwertproblem). In der dargestellten Stabilitätskarte rechts wird das Floquet-Verfahren auf die DGL des ungedämpften Rüttelpendels bzw. die mathieusche DGL angewandt. Auf den Grenzlinien zwischen stabilem und instabilem Bereich (hier gelb dargestellt) liegen periodische Lösungen vor. Im Stabilitätsbereich geht die Lösung nach einer gewissen Zeit gegen Null. Man erkennt für diese DGL ferner, dass bei fehlender Dämpfung für die Stabilitätsbetrachtung neben der Erregung mit doppelter und einfacher Eigenfrequenz auch die Erregung mit 2/3 (hier nicht mehr zu erkennen 2/4, 2/5 usw.) der Eigenfrequenz noch eine gewisse mathematische Bedeutung hat.

Siehe auch: Satz von Floquet

Parametrische Verstärker[Bearbeiten]

Anwendungen[Bearbeiten]

Parametrische Oszillatoren als rauscharme Verstärker (englisch Low Noise Amplifier), kommen besonders im Radio- und Mikrowellenbereich vor. Ein Schwingkreis mit Kapazitätsdiode wird angeregt, indem ihre Kapazität periodisch verändert wird. YAG-Wellenleiter in der Mikrowellentechnik arbeiten nach dem gleichen Prinzip.

Vorteile des Einsatzes parametrischer Verstärker sind

  • ihre hohe Sensitivität
  • ihr geringes thermisches Rauschen, weil eine Reaktanz (und kein Widerstand) verändert wird

Funktionsprinzip[Bearbeiten]

Ein parametrischer Verstärker wird als Frequenzmischer betrieben. Die Verstärkung dieser Signalmischung zeigt sich im Verstärkungsfaktor des Ausgangs. Das schwache Eingangssignal wird mit dem starken Oszillatorsignal gemischt und das resultierende Signal wird in den nachfolgenden Empfängerstufen verwendet.

Parametrische Verstärker funktionieren ebenfalls durch Veränderung der Schwingungsparameter. Es lässt sich intuitiv für einen Verstärker mit variabler Kapazität wie mittels folgenden Relationen verstehen. Die Ladung des Kondensators ist

Q=C\cdot V

und daher die am Kondensator anliegende Spannung

V=Q/C

Wenn ein Kondensator aufgeladen wird, bis die Spannung jener des schwachen Eingangssignals entspricht, und dann die Kapazität des Kondensators reduziert wird, beispielsweise indem die Platten eines Plattenkondensators weiter voneinander entfernt werden, so erhöht sich die anliegende Spannung und somit das schwache Signal verstärkt. Wenn der Kondensator eine Kapazitätsdiode ist, so kann das Bewegen der Platten, also eine Änderung der Kapazität durch einfaches Anlegen einer zeitabhängigen Spannung geschehen. Diese antreibende Spannung wird auch Pumpspannung genannt.

Das resultierende Ausgangssignal enthält unterschiedliche Frequenzen, die der Summe und Differenz von Eingangssignal f_1 und Ausgangssignal f_2 entsprechen, also f_1+f_2 und f_1-f_2.

Praktisch braucht ein parametrischer Oszillator also die folgenden Anschlüsse:

  • Masseanschluss
  • Pumpspannung
  • Ausgang
  • teilweise einen Vierten zur Einstellung der Parameter

Ein parametrischer Verstärker braucht zusätzlich einen Eingang für das zu verstärkende Signal. Da eine Kapazitätsdiode nur zwei Anschlüsse besitzt, kann sie nur im Zusammenspiel mit einem LC-Netzwerk verwendet werden. Dies kann als Transimpedanzverstärker, als Wanderfeldröhrenverstärker oder mit Hilfe eines Zirkulators realisiert werden.

„Aufschaukeln“: Der schwingende Weihrauchkessel[Bearbeiten]

Ein elementares Beispiel: Der von der Kirchendecke herabhängende „schwingende Weihrauchkessel“ der Kathedrale von Santiago de Compostela wird von einem Team von sog. „Botafumeiros“ zu parametrischer Resonanz „aufgeschaukelt“, wobei das Prinzip der „doppelten Frequenz“ ausgenutzt wird: Immer beim Nulldurchgang wird die Pendellänge des Kessels „durch Hochziehen“ systematisch verkürzt.[15]

Literatur[Bearbeiten]

  •  Ludwig Kühn: Über ein neues radiotelephonisches System. In: Elektrotechnische Zeitschrift. 35, 1914, S. 816–819.
  •  W.W. Mumford: Some Notes on the History of Parametric Transducers. In: Proceedings of the IRE. 48, Nr. 5, 1960, S. 848–853, doi:10.1109/JRPROC.1960.287620.
  •  L. Pungs: Die Steuerung von Hochfrequenzströmen durch Eisendrosseln mit überlagerter Magnetisierung. In: ETZ. 44, 1923, S. 78–81.
  •  L. Pungs: Comments on the History of Parametric Transducers. In: Proceedings of the IRE. 49, Nr. 1, 1961, S. 378, doi:10.1109/JRPROC.1961.287827. Siehe  Correspondence. In: Proceedings of the IRE. 49, Nr. 1, 1961, S. 349–381, doi:10.1109/JRPROC.1961.287827.
  •  Jeffery Cooper: Parametric Resonance in Wave Equations with a Time-Periodic Potential. In: SIAM Journal on Mathematical Analysis. 31, Nr. 4, 2000, S. 821–835, doi:10.1137/S0036141098340703.

Weblinks[Bearbeiten]

Anmerkungen[Bearbeiten]

  1. Der Parameter der ersten Ableitung ist dabei, auch wenn er vielfach als Dämpfung bezeichnet wird, nicht gleichbedeutend mit dem Vorhandensein von Dissipation
  2. Beachte: In Realität werden Schaukeln vielfach nicht ausschließlich parametrisch angeregt, siehe dazu:
    William B. Case: Two ways of driving a child's swing. Abgerufen am 3. Februar 2013.
    William B. Case: The pumping of a swing from the standing position. In: American Journal of Physics. 64, 1996, S. 215–220.
    P. Roura, J. A. Gonzalez: Towards a more realistic description of swing pumping due to the exchange of angular momentum. In: European Journal of Physics. 31, 2010, S. 1195–1207.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Kurt Magnus: Schwingungen: Eine Einführung in die physikalischen Grundlagen und die theoretische Behandlung von Schwingungsproblemen. 8., überarb. Auflage, Vieweg+Teubner, 2008, Kapitel 4, ISBN 3-8351-0193-5.
  2. Klaus Knothe, Robert Gasch: Strukturdynamik: Band 2: Kontinua und ihre Diskretisierung. Springer, 1989, Kapitel 12, ISBN 3-540-50771-X.
  3. Archive of Applied Mechanics - March 1995, Volume 65, Issue 3, pp 178-193; Modale Behandlung linearer periodisch zeitvarianter Bewegungsgleichungen; doi:10.1007/BF00799297
  4. Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik 1: Mechanik und Wärme Springer, 2008, Kapitel 11.7, ISBN 3-540-79294-5.
  5.  Ludwig Bergman, Clemens Schäfer: Mechanik, Relativität, Wärme. Walter de Gruyter, 1998, ISBN 3-11-012870-5, S. 618 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  6.  M. Faraday: On a Peculiar Class of Acoustical Figures; and on Certain Forms Assumed by Groups of Particles upon Vibrating Elastic Surfaces. In: Philosophical Transactions of the Royal Society of London. 121, 1831, S. 299–340, doi:10.1098/rstl.1831.0018.
  7.  F. Melde: Ueber die Erregung stehender Wellen eines fadenförmigen Körpers. In: Annalen der Physik. 187, Nr. 12, 1860, S. 513–537, doi:10.1002/andp.18601871202.
  8.  Lord Rayleigh: On maintained vibrations. In: Philosophical Magazine Series 5. 15, Nr. 94, 1883, S. 229–235, doi:10.1080/14786448308627342.
  9.  Lord Rayleigh: On the maintenance of vibrations by forces of double frequency, and on the propagation of waves through a medium endowed with a periodic structure. In: Philosophical Magazine Series 5. 24, Nr. 147, 1887, S. 145–159, doi:10.1080/14786448708628074.
  10. J. W. S. Rayleigh: The Theory of Sound. Vol. 1, 2nd. ed., Dover, New York 1945, S. 81–85.
  11. Klaus Knothe, Robert Gasch: Strukturdynamik: Band 2: Kontinua und ihre Diskretisierung. Springer, 1989, Kapitel 12.4, ISBN 3-540-50771-X.
  12.  Sungook Hong: Wireless: From Marconi’s Black-Box to the Audion. MIT Press, 2001, ISBN 0-262-08298-5, S. 165 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  13.  E. F. W. Alexanderson, S. P. Nixdorff: A Magnetic Amplifier for Radio Telephony. In: Proceedings of the Institute of Radio Engineers. 4, Nr. 2, 1916, S. 101 – 120, doi:10.1109/JRPROC.1916.217224.
  14.  F. M. Arscott: Periodic Differential Equations; An Introduction to Mathieu, Lamé, and Allied Functions. The Macmillan Company, 1964, Chapter VII: Hill’s Equation, S. 141 ff.
  15. H. Schlichting: Der schwingende Weihrauchkessel, in: Spektrum der Wissenschaft (Spezial Physik.Mathematik.Technik 3/14), „Naturgesetze in der Kaffeetasse“, September 2014, S. 80