Exponentielles Wachstum

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Exponentielles Wachstum (auch unbegrenztes bzw. freies Wachstum genannt) beschreibt ein mathematisches Modell für einen Wachstumsprozess, bei dem sich die Bestandsgröße in jeweils gleichen Zeitschritten immer um denselben Faktor verändert. Der Wert der Bestandsgröße kann im zeitlichen Verlauf entweder steigen (exponentielle Zunahme) oder abnehmen (exponentieller Zerfall).

Eigenschaften[Bearbeiten]

Modellbeschreibung[Bearbeiten]

Verschiedene Arten von Wachstum
  • exponentielles Wachstum
  • lineares Wachstum
  • kubisches Wachstum

Beim Modell des exponentiellen Wachstums ist die Änderung der Bestandsgröße B_{n+1} - B_n (diskreter Fall) bzw. B'(t) (kontinuierlicher Fall) nicht konstant, sondern proportional zum Bestand. Der neue Bestandswert ergibt sich für positives Wachstum, indem dem alten Wert ein festes Vielfaches des alten Wertes hinzuaddiert bzw. bei negativem Wachstum abgezogen wird.

Nebenstehendes Bild zeigt, dass auf lange Sicht die Wachstumsgeschwindigkeit des positiven Prozesses bei diesem exponentiellen Modell größer ist als bei Wachstumsprozessen, die sich durch ganzrationale Funktionen beschreiben lassen, wie das lineare und das kubische Wachstum.

Bei der exponentiellen Abnahme bildet die x-Achse die Asymptote der Wachstumsfunktion. Die Bestandsgröße nähert sich der Null an, verschwindet mathematisch gesehen aber nicht vollständig. In Anwendungsbezügen wie z.B. der Biologie sind die Bestandsgrößen meist ganzzahlig, so dass sehr kleine Werte schließlich keine Bedeutung mehr haben und die Bestandsgröße praktisch gesehen ausstirbt.

Wesentliche Begriffe und Notation[Bearbeiten]

  • t bezeichnet die Zeit.
  • B\left( t \right) sei die betrachtete Bestandsgröße.
  • B\left( 0 \right)={{B}_{0}} kennzeichnet den Anfangsbestand (Anfangsbedingung) zum Zeitpunkt t=0.
  • p steht für die Wachstumsrate und wird häufig in Prozent angegeben.
  • b sei der bestandspezifische Wachstumsfaktor (auch Vervielfältigungsfaktor genannt). Er ergibt sich als Quotient von Bestandswerten zweier aufeinander folgender Zeitpunkte t+1 und t.
  • \lambda sei die Wachstumskonstante bzw. Zerfallskonstante. Sie stellt ein Maß für die Stärke des positiven bzw. negativen Wachstums da. Anhand ihres Vorzeichens lässt sich ableiten, ob eine exponentielle Zu- oder Abnahme vorliegt. Diese Konstante hat die Dimension [1:Zeit].
  • {B}'\left( t \right) gibt die Wachstumsgeschwindigkeit bzw. die momentane Wachstumsrate an.
  • T bezeichnet die Halbwertzeit bzw. Verdopplungszeit (auch Doppelwertszeit und in der Biologie Generationszeit genannt) und damit die Zeitspanne, in der sich die Bestandsgröße bezogen auf den Anfangsbestand halbiert bzw. verdoppelt hat.
  • e meint die Eulersche Zahl.
  • ln meint den natürlichen Logarithmus.

Differentialgleichung[Bearbeiten]

Differentialgleichungen (DGL) dienen der Beschreibung kontinuierlicher (stetiger) Wachstumsmodelle.

Die DGL für den exponentiellen Prozess lautet:

{B}'\left( t \right)=\frac{\operatorname{d}B}{\operatorname{d}t}= \lambda \cdot B(t)

Dies ist eine lineare homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten und kann zum Beispiel mittels der Methode „Variablentrennung“ gelöst werden.

Explizite Darstellung (Wachstumsfunktion)[Bearbeiten]

Die spezielle Lösung der DGL beschreibt die explizite Darstellung des Wachstumsprozesses und bildet gleichzeitig die Wachstumsfunktion. Diese stellt eine Exponentialfunktion dar.

Exp Wachstum.png

Sie lautet für die exponentielle Zunahme:

B(t) = B(0) \cdot b^t = B(0) \cdot (1+p)^t = B(0) \cdot e^{\lambda t}

mit \lambda= \ln(1+p) = \ln b

Für \lambda>0 bzw. b>1 wird demnach ein positives Wachstum beschrieben. Hier wächst die Bestandsgröße – mathematisch gesehen – ins Unendliche. Der Graph der Funktion steigt streng monoton und beschreibt eine Linkskurve. Das Wachstum ist progressiv. Die Wachstumsgeschwindigkeit nimmt mit der Zeit zu.

Exp Zerfall.png

Für den exponentiellen Zerfall ergibt sich:

B(t) = B(0) \cdot b^t = B(0) \cdot (1-p)^t = B(0) \cdot e^{\lambda t}

mit \lambda= \ln(1-p) = \ln b

Für \lambda < 0 bzw. 1 > b > 0 wird folglich eine exponentielle Abnahme beschrieben. Der Graph der Funktion fällt streng monoton und beschreibt eine Linkskurve. Das Wachstum ist degressiv. Die Wachstumsgeschwindigkeit nimmt mit der Zeit ab. Die x-Achse (Abszisse) bildet die Asymptote der Funktion.

Wachstumsgeschwindigkeit[Bearbeiten]

Diese lässt sich leicht aus der DGL herleiten:  B'(t) = \lambda \cdot B(t) = \lambda \cdot B(0) \cdot e^{\lambda t}

Rekursive Darstellung[Bearbeiten]

Zur Darstellung des diskreten Wachstumsmodells als rekursive Darstellung dienen aus Differenzen abgeleitete Folgen. Dabei stellt \Delta t eine Zeitdifferenz in einer äquidistante Folge von Zeitpunkten {{t}_{n}}={{t}_{0}},{{t}_{1}},{{t}_{2}}\cdots dar und {{B}_{n}}={{B}_{0}},{{B}_{1}},{{B}_{2}}\cdots meint die entsprechenden Bestandsgrößen. Mathematisch kann zwischen einer exakten und genäherten Diskretisierung unterschieden werden.

Exakte Diskretisierung[Bearbeiten]

Für die exponentielle Zunahme gilt:

\begin{align}
  & {{B}_{n+1}}={{B}_{n}}+p\cdot {{B}_{n}}=\left( 1+p \right)\cdot {{B}_{n}}=b\cdot {{B}_{n}}\text{  mit  }b=1+p\text{ bzw}\text{. }b={{\operatorname{e}}^{\lambda \Delta t}} \\
\end{align}

Für den exponentiellen Zerfall ergibt sich: \begin{align}
 & {{B}_{n+1}}={{B}_{n}}-p\cdot {{B}_{n}}=\left( 1-p \right)\cdot {{B}_{n}}=b\cdot {{B}_{n}}\text{  mit  }b=1-p\text{ bzw}\text{. }b={{\operatorname{e}}^{\lambda \Delta t}} \\
\end{align}

Genäherte Diskretisierung[Bearbeiten]

Folgende Näherung ergibt sich durch Anwendung des expliziten Eulerverfahrens:

Für die exponentielle Zunahme:

\begin{align}
  &  \\
 & {{B}_{n+1}}={{B}_{n}}+\lambda \cdot \Delta t\cdot {{B}_{n}}=\left( 1+\lambda \cdot \Delta t \right){{B}_{n}} \\
\end{align}

Für den exponentiellen Zerfall:

\begin{align}
 & {{B}_{n+1}}={{B}_{n}}-\lambda \cdot \Delta t\cdot {{B}_{n}}=\left( 1-\lambda \cdot \Delta t \right){{B}_{n}} \\
\end{align}

Dabei zu beachten ist, dass

\begin{align}
  & 1+p=b={{\operatorname{e}}^{\lambda \Delta t}}\ne 1+\lambda \Delta t \\
 & 1-p=b={{\operatorname{e}}^{\lambda \Delta t}}\ne 1-\lambda \Delta t \\
\end{align}

Durch eine Reihenentwicklung der Exponentialfunktion kann gezeigt werden, dass die exakte und genäherte rekursive Darstellung bis auf Terme höherer als 1. Ordnung übereinstimmt.

Halbwerts- bzw. Verdopplungszeit[Bearbeiten]

Die Halbwerts- bzw. Verdoppelungszeit T hängt folgendermaßen direkt mit der Größe \lambda zusammen:

Exponentielle Zunahme:  \lambda \cdot T = \ln 2

Exponentieller Zerfall:  \lambda \cdot T = \ln \frac{1}{2}

Die Verdoppelungszeit einer exponentiell wachsenden Größe lässt sich überschlagen mit T \approx \frac{70}p. Im Zähler steht bei dieser Faustformel 70, da gilt: 100 \cdot \ln 2 \approx 69{,}3 \approx 70. Vergleiche auch die 72er-Regel.

Analog ergibt sich: 100 \cdot \ln \frac{1}{2} \approx -69{,}3 \approx -70.

Beispiele[Bearbeiten]

Naturwissenschaften[Bearbeiten]

Bakterielles Wachstum bei E. coli. Die Generationszeit liegt bei ca. 20 Minuten.
Das Wachstum von Mikroorganismen[1] wie beispielsweise Bakterien und Viren, Krebszellen[2] und auch der Weltbevölkerung[3] können ohne hemmende (Fress-)Feinde und Giftstoffe theoretisch exponentiell angenähert werden. Die Zeit der Verdopplung bezogen auf den Anfangsbestand wird hier als Generationszeit bezeichnet.
Die Anzahl der Kernzerfälle in einer radioaktiven Materialmenge nimmt zeitlich annähernd exponentiell ab (siehe auch Zerfallsgesetz). In gleich langen Zeitintervallen zerfällt stets derselbe Bruchteil der zu Beginn des Intervalls noch vorhandenen Menge.[4]
Legt ein monochromatischer (einfarbiger) Lichtstrahl mit einer bestimmten einfallenden Intensität durch ein absorbierendes, homogenes Medium (z.B. Farbstoff) einer bestimmten Schichtdicke darin einen Weg zurück, so lässt sich die Intensität des austretenden Strahls durch einen exponentiellen Zerfallsprozess darstellen. Die Intensität des austretenden Strahls ist proportional zur Intensität des einfallenden Strahls.[5][6] Dies steht in engen Zusammenhang mit dem sogenannten Absorptionsgesetz für beispielsweise Röntgenstrahlung.[7]
Exponentielles Anwachsen der Amplitude nach dem Einschalten eines Oszillators, bis die Begrenzung einsetzt.
Die zeitlich lineare Amplitudenänderung beim Anschwingen eines Oszillators entspricht einem zeitlich exponentiellen Amplitudenzuwachs eines realen Schwingers bei Parameterresonanz.[8]

Wirtschaft und Finanzen[Bearbeiten]

Die Zinsen werden hier einem Kapital K über einen gewissen Zeitraum zugeschlagen und mit verzinst.[9] Dies führt zu einem exponentiellen Wachstum des Kapitals.[10][11] Die Zinseszinsformel lautet K(t) = K(0) \cdot (1+i)^t, wobei i der Zinssatz und K(0) das Anfangskapital darstellt (siehe auch Zinsrechnung, Josephspfennig – hier wird ein Penny im Jahre Null angelegt).
Bei einem Sparbuch mit 5 % Zinsen pro Jahr liegt die Verdoppelungszeit nach obenstehender Faustformel bei \frac{70}5 \approx \text{14 Jahren}.
Dies sind Geschäftsmodelle, bei denen die Anzahl der Teilnehmer exponentiell wächst. Jeder Mitarbeiter hat hier eine bestimmte Anzahl weiterer Mitarbeiter zu rekrutieren, die dann wiederum diese Anzahl anwerben sollen, und so weiter. Nach dem gleichen Prinzip funktionieren auch Schenkkreise und Kettenbriefe.

Technik[Bearbeiten]

5-fach gefaltete Mylarfolie
  • Bei jedem Falten verdoppelt sich die Dicke von Papier oder Folie.[12] Auf diese Weise lassen sich dünne Folien mit einem einfachen Messschieber ausmessen. Die Mylarfolie auf dem Bild besteht nach 5-fachem Falten aus 25 = 32 Lagen Folie, die gemeinsam eine Dicke von 480 µm haben. Eine Folie ist also ca. 15 µm stark. Nach 10-fachem Falten wäre die Lage bereits 15 mm dick, nach weiteren 10 Faltungen mehr als 15,7 m. Da sich gleichzeitig auch die Stapelfläche exponentiell verringert, lässt sich Papier in einem handelsüblichen Papierformat kaum mehr als sieben Mal zusammenschlagen.

Mathematik[Bearbeiten]

Der Anekdote zufolge soll der Brahmane Sissa ibn Dahir ein Spiel, was heute unter dem Namen Schach bekannt ist, für den indische Herrscher Shihram erfunden haben, um ihm seine tyrannische Herrschaft, die das Volk in Elend und Not stürzte, zu verdeutlichen und ihn zu unterhalten. Ihm wurde dafür ein freier Wunsch gewährt. Sissa wünschte sich Folgendes: Auf das erste Feld eines Schachbretts wollte er ein Weizenkorn[13] (je nach Literatur auch ein Reiskorn)[14], auf das zweite Feld das Doppelte, also zwei Körner, auf das dritte wiederum die doppelte Menge, also vier und so weiter. Der König lachte und gewährte ihm den Wunsch. Auf dem letzten (64.) Feld würden so am Ende 9,22 · 1018 Körner, also mehr als 9 Trillionen Körner liegen. Das Anwachsen der Körnerzahl lässt sich als exponentielles Wachstum unter Nutzung einer Exponentialfunktion der Basis 2 auffassen.

Grenzen des Modells[Bearbeiten]

Der Modellansatz zu exponentiellem Wachstum stößt in der Realität auf seine Grenzen – insbesondere im wirtschaftlichen Bereich.

„Exponentielles Wachstum ist nicht realistisch“ als langfristiger Trend, so der Wirtschaftswissenschaftler Norbert Reuter. Er führt an, dass die Wachstumsraten in höher entwickelten Gesellschaften aufgrund von konjunkturellen Einflüssen zurückgehen.[15] Indikator dafür ist das Bruttoinlandsprodukt (BIP). Mit Blick auf statistische Daten lässt sich ableiten, dass ein exponentielles Wirtschaftswachstum eher typisch für Anfangsjahre einer industriellen Volkswirtschaft ist, aber ab einem bestimmten Niveau, wenn wesentliche Entwicklungsprozesse abgeschlossen sind, in ein lineares Wachstum übergeht.[16] Wird also ein weiteres exponentielles Wachstum extrapoliert, tritt eine Diskrepanz zwischen der Wachstumserwartung und dem tatsächlichen Verlauf auf. Dies betrifft unter anderem die Staatsverschuldung. Durch die rechentechnisch falsche Erwartung, dass die Staatsverschuldung durch ein Wirtschaftswachstum begrenzt werden könnte, sinkt die Schwelle für neue Schulden. Bleibt jedoch das erwartete Wachstum aus, entsteht ein Defizit, das die künftige Handlungsfähigkeit eines Staates einschränkt. Aufgrund der Zinsen und Zinsenzinsen besteht die Gefahr, dass die Staatsverschuldung exponentiell wächst.[17]

Ein weiterer Aspekt ist, dass der Bedarf nicht ins Unermessliche steigt, sondern einen Sättigungseffekt erfährt, der auch nicht durch entsprechende Wirtschaftspolitik kompensiert werden kann.[18] In die gleiche Richtung gehen Überlegungen in Bezug auf biologische Zusammenhänge beispielsweise durch Konkurrenz um Nahrung oder Platz. Bezogen auf die Weltbevölkerung thematisiert dies die Debatte um den ökologischen Fußabdruck - sprich um die Tragfähigkeit der Erde mit dem relativ kleinen Verbrauch an regenerativen Ressourcen bezogen auf den Gesamtverbrauch an Ressourcen.[19] Diesbezüglich vernachlässigt das exponentielle Wachstumsmodell auch demographische Entwicklungen wie das Verhältnis zwischen Geburten- und Sterberate sowie das Verhältnis zwischen weiblicher und männlicher Bevölkerung.[20]

Wachstumsmodelle, die den Sättigungseffekt berücksichtigen, sind das beschränkte Wachstum und das logistische Wachstum, während das Modell des vergiftetes Wachstums auch wachstumshemmende Faktoren in den Prozess mit einberechnet.

Siehe auch[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Wachstum und binäre Teilung einer Zelle. Abgerufen am 2. April 2013 (PDF; 508 kB).
  2. Zinseszins und exponentielles Wachstum. Abgerufen am 2. April 2013.
  3. Einflußfaktoren und räumliche Aspekte natürlicher Bevölkerungsbewegungen. Abgerufen am 2. April 2013.
  4. Stefan Keppeler: Mathematik 1 für Biologen, Geowissenschaftler und Geoökologen: Exponentialfunktionen und Logarithmus. 5. November 2008, abgerufen am 28. März 2013 (PDF; 454 kB).
  5. Stefan Keppeler: Mathematik 1 für Biologen, Geowissenschaftler und Geoökologen: Exponentialfunktionen und Logarithmus. 5. November 2008, abgerufen am 28. März 2013 (PDF; 454 kB).
  6. Bouger-Lambert-Gesetz. Abgerufen am 28. März 2013.
  7. Valeriano Ferreras Paz: Röntgenabsorbtion. Abgerufen am 31. März 2013 (PDF; 2,0 MB).
  8.  Hans Dresig,I.I Vul'fson: Dynamik der Mechanismen. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1989, ISBN 3-326-00361-7, S. 198 (Volltext).
  9. Dr.rer.nat. H. Schreier: Finanzmathematik. Abgerufen am 10. April 2013 (PDF; 211 kB).
  10. Zinseszins und exponentielles Wachstum. Abgerufen am 2. April 2013.
  11. Roland Spinola: Exponentielles Wachstum - was ist das. Abgerufen am 13. April 2013 (PDF; 121 kB).
  12. Roland Spinola: Exponentielles Wachstum - was ist das. Abgerufen am 13. April 2013 (PDF; 121 kB).
  13. Geschichte. Abgerufen am 14. April 2013.
  14. Das Schachbrett und die Reiskörner. Abgerufen am 14. April 2013.
  15. Hartmut Steiger: Exponentielles Wachstum ist nicht realistisch. Abgerufen am 16. April 2013.
  16. Kai Bourcarde, Karsten Heinzmann: Normalfall exponentielles Wachstum - ein internationaler Vergleich. Abgerufen am 16. April 2013 (PDF; 738 kB).
  17. Kai Bourcarde: Lineares Wirtschaftswachstum - exponentielle Staatsverschuldung. Abgerufen am 16. April 2013 (PDF; 345 kB).
  18. Hartmut Steiger: Exponentielles Wachstum ist nicht realistisch. Abgerufen am 16. April 2013.
  19. Donella Meadows, Jorgen Randers, Dennis Meadows: Exponentielles Wachstum als treibende Kraft von Überschreitungen ökologischer Grenzen. Abgerufen am 16. April 2013.
  20. Thomas Kämpe: Weltbevölkerung. Abgerufen am 16. April 2013 (PDF; 2,4 MB).

Literatur[Bearbeiten]

  •  Joachim Engel: Anwendungsorientierte Mathematik: Von Daten zur Funktion. Eine Einführung in die mathematische Modellbildung für Lehramtsstudierende. Springer Verlag, Heidelberg 2010, ISBN 978-3-540-89086-7, S. 150–153.
  •  Hermann Haarmann, Hans Wolpers: Mathematik zur Erlangung der allgemeinen Hochschulreife. Nichttechnische Fachrichtungen. 2. Auflage. Merkur Verlag, Rinteln 2012, ISBN 978-3-8120-0062-8, S. 272–274.
  •  Klaus Schilling: Analysis: Qualifikationsphase: Kerncurriculum Berufliches Gymnasium. Eins Verlag, Köln 2012, ISBN 978-3-427-07770-1, S. 249–257.
  •  Walter Seifritz: Wachstum, Rückkopplung und Chaos: Eine Einführung in dei Welt der Nichtlinearität und des Chaos. Hansen Verlag, München 1987, ISBN 3-446-15105-2, S. 9–18.