Satz von Parseval

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Der Satz von Parseval ist eine Aussage aus der Funktionalanalysis aus dem Bereich der Fourier-Analysis. Er besagt, dass die -Norm einer Fourier-Reihe mit der -Norm ihrer Fourier-Koeffizienten übereinstimmt. Die Aussage entstand 1799 aus einem Satz über mathematische Reihen von Marc-Antoine Parseval, der später auf die Fourier-Reihen ausgedehnt wurde. Parseval, der sich eigentlich nur auf reell-wertige Funktionen konzentrierte, veröffentlichte seinen Satz ohne Beweis, da er seine Richtigkeit für augenscheinlich hielt. Eine ähnliche Aussage für die Fourier-Transformation macht der Satz von Plancherel. Oftmals werden diese beiden Sätze nicht auseinandergehalten, sondern auch der Satz von Plancherel nach Parseval benannt.

Aussagen des Parsevalschen Theorems[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien und zwei riemann-integrierbare komplexwertige Funktionen über mit Periode und der Fourier-Reihen-Zerlegung

und .

Dann gilt

wobei die Imaginäre Einheit ist und * konjugiert komplex bezeichnet.

Es gibt viele verschiedene Spezialfälle des Theorems. Ist z. B. , erhält man

woraus die Unitarität der Fourierreihen folgt.

Außerdem sind oft nur die Fourierreihen für reell-wertige Funktionen A und B gemeint, was folgendem Spezialfall entspricht:

reell, ,
reell, .

In diesem Fall ist

wobei den Realteil bezeichnet.

Anwendungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Physik und den Ingenieurwissenschaften wird mit dem Parsevalschen Theorem ausgedrückt, dass die Energie eines Signals im Zeitbereich gleich seiner Energie im Frequenzbereich ist. Dies wird in folgender Gleichung ausgedrückt:

wobei die Fourier-Transformation von mit weggelassenem Vorfaktor ist und die Frequenz des Signals bezeichnet.

Für zeitdiskrete Signale wird die Gleichung zu

wobei X[k] die diskrete Fourier-Transformation (DFT) von x[n] ist, beide mit Intervalllänge N.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Referenzen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Parseval, MacTutor History of Mathematics archive.
  • George B. Arfken and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists (Harcourt: San Diego, 2001).
  • Hubert Kennedy, Eight Mathematical Biographies (Peremptory Publications: San Francisco, 2002).
  • Alan V. Oppenheim and Ronald W. Schafer, Discrete-Time Signal Processing 2nd Edition (Prentice Hall: Upper Saddle River, NJ, 1999) p 60.
  • William McC. Siebert, Circuits, Signals, and Systems (MIT Press: Cambridge, MA, 1986), pp. 410–411.
  • David W. Kammler, A First Course in Fourier Analysis (Prentice-Hall, Inc., Upper Saddle River, NJ, 2000) p. 74.