abc-Vermutung

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Die abc-Vermutung ist eine 1985 von Joseph Oesterlé und David Masser aufgestellte mathematische Vermutung. Dabei geht es um den gemeinsamen Inhalt an Primfaktoren von Tripeln zueinander teilerfremder natürlicher Zahlen, bei denen die dritte die Summe der beiden anderen ist. Sie beschreibt in präziser Form das Phänomen, dass das Produkt aller in einem solchen Tripel auftretenden verschiedenen Primfaktoren generell nicht oder nur unwesentlich kleiner als die größte Zahl des Tripels ist. Der additive Zusammenhang eines Tripels erzwingt demnach eine starke Einschränkung für die multiplikative Struktur der Tripel-Zahlen.

Anschaulich gesprochen beruht die abc-Vermutung darauf, dass natürliche Zahlen mit zahlenmäßig vielen mehrfach auftretenden Primfaktoren – sogenannte hochpotente oder auch „reiche Zahlen“ – vergleichsweise selten vorkommen. In Anlehnung an eine Definition von Barry Mazur kann eine natürliche Zahl als multiplikativ hochpotent bezeichnet werden, wenn ihre Binärdarstellung wesentlich länger ist als die Binärdarstellung ihres größten quadratfreien Teilers, also des Produktes aller enthaltenen verschiedenen Primfaktoren. Dann besagt die abc-Vermutung für zwei teilerfremde hochpotente Zahlen n_1 und n_2, dass weder ihre Summe n_1+n_2 noch ihre Differenz n_1-n_2 hochpotent sein kann,[1] eventuell mit Ausnahmen, wenn \max(n_1,n_2) klein ist.

Die Vermutung ist bisher weder bewiesen noch widerlegt, sie gilt aber wegen ihrer Schwierigkeit und mehr noch wegen ihrer Bedeutung als prominenter Nachfolger der gelösten Fermatschen Vermutung (neuer „Heiliger Gral“). Dorian Goldfeld bezeichnete sie gar als wichtigstes ungelöstes Problem der diophantischen Analysis.[2] Es ist bereits eine Vielzahl weitreichender zahlentheoretischer Aussagen bekannt, die aus der Gültigkeit der abc-Vermutung folgen würden.[3]

Im August 2012 veröffentlichte Shinichi Mochizuki einen möglichen Beweis,[4] der derzeit geprüft wird.[5] Es wird voraussichtlich einige Zeit bis zur Bestätigung oder Widerlegung des Beweises dauern, weil Mochizuki umfangreiche, von ihm erst jüngst neu entwickelte und bislang nur wenigen bekannte Konzepte und Methoden angewandt hat.

Formulierung[Bearbeiten]

Ein Tripel (a,b,c) heißt abc-Tripel, wenn a und b teilerfremde positive ganze Zahlen sind und c = a + b ihre Summe ist. Aufgrund elementarer Eigenschaften der Teilbarkeitsbeziehung ist c sowohl zu a als auch zu b teilerfremd.

Das Radikal \operatorname{rad}(n) einer positiven ganzen Zahl n ist das Produkt der unterschiedlichen Primfaktoren von n. Primfaktoren, die in der Primfaktorzerlegung von n mehrfach vorkommen, werden bei der Berechnung von \operatorname{rad}(n) nur einmal berücksichtigt. Beispielsweise ist

\operatorname{rad}(600) = \operatorname{rad}(2^3 \cdot 3 \cdot 5^2) = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30

Gilt für ein abc-Tripel die Ungleichung

\operatorname{rad}(abc) \le c,

so wird es als abc-Treffer bezeichnet. Beispiele sind (1, 8, 9), (5, 27, 32), (32, 49, 81) und das von Éric Reyssat gefundene Tripel (2,\,3^{10}\!\cdot\!109,\,23^5)=(2,\,6436341,\,6436343) mit \operatorname{rad}(abc) = 2\!\cdot\!3\!\cdot\!23\!\cdot\!109 = 15042, für das der Quotient log(c)/log(rad(abc)) = 1,62991... besonders groß ist. abc-Treffer sind selten. Unter den 15,2 Millionen abc-Tripeln mit c < 10.000 gibt es nur 120 abc-Treffer und unter den 380 Millionen abc-Tripeln mit c < 50.000 gibt es 276. Sander Dahmen bewies 2006 eine untere Abschätzung für die Anzahl der abc-Treffer bis zu einer gegebenen Schranke und bestätigte damit, dass unendlich viele existieren[6], allerdings sagt seine Formel lediglich etwa eine Million abc-Treffer unterhalb 10^{83} voraus.

Das weltweite Projekt ABC@Home konnte bislang über 33,18 Millionen abc-Treffer durch verteiltes Rechnen finden und hat sich zum Ziel gesetzt, eine komplette Liste aller abc-Treffer für c < 2^{63} zu erstellen.[7] Die Liste für c < 10^{18} wurde im November 2011 abgeschlossen.[8] Das Projekt wurde möglich durch die Programmierung eines Algorithmus, der den Aufwand zur Ermittlung aller abc-Treffer mit c <= N vom offensichtlichen proportional zu N^2 auf nahezu proportional zu N^\frac{2}{3} Rechenschritte reduzierte.[9]

Obwohl also \frac {\operatorname{rad}(abc)}{c} meist größer als 1 ist, bewies Masser, dass das Verhältnis beliebig klein werden kann.[10] Für Exponenten \,s > 1 (auch wenn sie 1 beliebig nahe kommen), formulierte er allerdings mit Oesterlé die abc-Vermutung, dass \frac {\operatorname{rad}(abc)^s}{c} eine positive untere Schranke besitzt.

Genauer formuliert lautet die abc-Vermutung:

Für jedes reelle \varepsilon > 0 existiert eine Konstante K_\varepsilon, sodass für alle Tripel teilerfremder positiver ganzer Zahlen a,\, b,\, c mit \,a+b=c die folgende Ungleichung gilt:
c < K_\varepsilon \, (\mathrm{rad}(abc))^{1 + \varepsilon}

Die Vermutung wird für \varepsilon > 0 formuliert, da sie für \varepsilon = 0 wie erwähnt nachweislich falsch ist.

Man kann die Vermutung auch für beliebige positive oder negative ganze Zahlen a,\,b,\,c formulieren und hat dann nur auf der linken Seite der Ungleichung \,c durch \, \operatorname{max} (|a|, |b|, |c|) zu ersetzen.

Eine andere, äquivalente Formulierung der Vermutung wird unten gegeben.

Folgerungen und Varianten der abc-Vermutung[Bearbeiten]

Folgerungen aus der abc-Vermutung[Bearbeiten]

Die Vermutung konnte bisher zwar nicht bewiesen werden, zieht allerdings eine Menge interessanter Konsequenzen nach sich. Viele gelöste und ungelöste diophantische Probleme lassen sich aus dieser Vermutung folgern. Insbesondere der sehr komplexe und komplizierte Beweis des Großen fermatschen Satzes würde sich auf eine Seite reduzieren.

  • Satz von Thue-Siegel-Roth, wie Machiel van Frankenhuysen 1999 zeigte.
  • Großer fermatscher Satz
  • Vermutung von Mordell (von Gerd Faltings bewiesen), wie Noam Elkies 1991 zeigte. Die Vermutung behauptet die Endlichkeit der Anzahl von Punkten einer algebraischen Kurve vom Geschlecht größer 1 über einem Zahlkörper K. Aus der abc-Vermutung folgt sogar eine Schranke für die Größe (genauer der sogenannten Höhe) der Punkte auf den Kurven über K (in Abhängigkeit von der in der abc-Vermutung auftretenden Konstante). Die abc-Vermutung liefert also eine effektive Version der Mordellvermutung, im Gegensatz zu den bis heute bekannten Beweisen.[11]
  • Erdős-Woods-Vermutung
  • Catalansche Vermutung
  • die Existenz von unendlich vielen Nicht-Wieferich-Primzahlen. Allgemeiner zeigte Joseph Silverman 1988, dass aus der abc-Vermutung folgt, dass es unendliche viele Primzahlen p gibt, für die a^{p-1} - 1 nicht durch p^2 teilbar ist.
  • die schwache Form der Hall-Vermutung, die eine asymptotische untere Schranke für den Betrag der Differenz von Kubikzahlen und Quadratzahlen liefert.
  • die Vermutung von Lucien Szpiro (eine Ungleichung zwischen Führer und Diskriminante elliptischer Kurven über den rationalen Zahlen). Diese Vermutung ist sogar äquivalent zur abc-Vermutung.[12]
  • Pillai Vermutung von S. S. Pillai.

Als Beispiel wird die abc-Vermutung auf den großen Fermatschen Satz angewandt, dass

x^n + y^n = z^n

keine Lösung in positiven ganzen Zahlen x,y,z (die als relativ prim angenommen werden) hat für n > 2

Setzt man in der Ungleichung der abc-Vermutung \,a=x^n, b = y^n, c=z^n ein und benutzt

\operatorname{rad}(x^n y^n z^n) = \operatorname{rad}(xyz) \le xyz < z^3,

lautet die Ungleichung dann:

z^n \le K_{\varepsilon} (z^3)^{1+\epsilon}

Ersetzt man in dieser Ungleichung \varepsilon durch \varepsilon/3, dann hat man für  n > 3 + \varepsilon eine obere Schranke für z:

 z^{n-3-\varepsilon} \le K_{\epsilon/3}

Das heißt, die Fermatgleichung kann nur endlich viele Lösungen haben, und ab einem bestimmten Wert des Exponenten n, der nur von K_{\varepsilon/3} abhängt, das durch die abc-Vermutung gegeben wäre, überhaupt keine Lösung mehr, da  z > 1. Man braucht nur alle Fälle n bis zu dieser Grenze mit anderen Methoden zu überprüfen, um die Fermatvermutung zu beweisen (für eine große Zahl von Exponenten n war das Zutreffen der Vermutung schon vor dem Beweis von Andrew Wiles bekannt).

Spezielle Formen der abc-Vermutung und schwache abc-Vermutung[Bearbeiten]

1996 schlug Alan Baker eine Verschärfung der Vermutung vor und präzisierte sie 2004.[13] Während r=\mathrm{rad}(abc) die Gesamtgröße der multiplikativen Bausteine der am Tripel beteiligten Zahlen kennzeichnet, ist die Anzahl ihrer verschiedenen Primfaktoren \omega = \mathrm{\omega}(abc) ein Maß für ihre Detailliertheit. Baker vereinigte beide Maße und gelangte zu einer abc-Vermutung mit einer absoluten, von \varepsilon unabhängigen, Konstanten c_0

\, c < c_0\, (\varepsilon^{-\omega}r)^{1+\varepsilon}.

Wenn man darin berücksichtigt, dass die rechte Seite ein Minimum etwa bei \varepsilon = \frac{\omega}{\log\, r} besitzt, und nach der Ersetzung \omega^{\omega} im Nenner nach unten durch \omega! abschätzt, erhält man eine von \varepsilon freie Version

\, c < c_1\, r\, \frac{(\log\, r)^{\omega}}{\omega!}, \,\, c_1 eine absolute Konstante.

Andrew Granville bemerkte, dass der letzte Faktor nahezu äquivalent zu Θ(r) ist, der Anzahl der natürlichen Zahlen bis r, die nur durch Primfaktoren von r teilbar sind. Damit ergibt sich seine Vermutung zu

\, c < c_2\, r\, \Theta(r), \,\, c_2 eine absolute Konstante.

Eine Untersuchung an den damals 196 bekannten extremalen abc-Tripeln zeigte, dass vermutlich c_1 = \frac{6}{5} und c_2 = 24 gewählt werden kann. Eventuell muss der zweite Wert anhand neuerer numerischer Ergebnisse noch leicht modifiziert werden.

Es gibt auch schwächere Formen der abc-Vermutung, die man zu beweisen versucht. Wird in der ursprünglichen Formulierung der abc-Vermutung  K_{\epsilon} und \epsilon gleich 1 gesetzt, hat man eine Variante der schwachen abc-Vermutung (mit denselben Voraussetzungen an die abc-Tripel wie oben):

 c \leq {(\mathrm{rad}(abc))}^2

Aus dieser Variante folgt sofort (durch eine ähnliche Argumentation wie oben) die Gültigkeit der Fermat-Vermutung für Potenzen größer als fünf.[14] Allgemeiner wird die schwache abc-Vermutung häufig über eine etwas andere Formulierung der abc-Vermutung eingeführt.

Sei q = \frac{ \log (c)}{\log (\mathrm{rad}(abc))} die Qualität (auch Potenz, abc-ratio) eines (a,b,c)-Tripels, also die Lösung von \,r^q = c mit \,r = \mathrm{rad} (abc) und damit ein Maß des Anwachsens von c mit dem gemeinsamen „Primzahlinhalt“ r des Tripels. Umfangreiche numerische Suche, zum Beispiel in dem ABC@Home-Projekt, hat bisher einen maximalen Wert von etwa 1,63 für q ergeben (gefunden von Eric Reyssat, s.o.). Insgesamt konnten in 28 Jahren lediglich 236 abc-Tripel mit einer Qualität > 1,4 entdeckt werden.[15] Die eigentliche abc-Vermutung, auch starke abc-Vermutung genannt, besagt dann, dass

\,q > d für ein beliebiges \,d > 1 nur endliche viele Lösungen hat.

Der Wert 1 ist dabei die bestmögliche untere Grenze für d. Setzt man d=1, gibt es unendlich viele Lösungen. Aber schon ein beliebig kleiner Wert über 1 bewirkt nach der starken abc-Vermutung, dass die Anzahl der Lösungen endlich ist.

Die schwache abc-Vermutung besagt, dass q eine obere Schranke hat.[16] In dem oben angegebenen Spezialfall war die obere Schranke 2 vermutet worden. Aus der starken abc-Vermutung folgt die Gültigkeit der schwachen abc-Vermutung, aber nicht umgekehrt.

In symmetrischer Form lässt sich die Vermutung auch als Aussage des Verhältnisses der Höhe H (a,b,c) = max (|a|, |b|, |c|), die die Größe der beteiligten Zahlen misst, zum Radikal Rad (a,b,c) ausdrücken, das den Primzahlinhalt misst. Dann besagt die starke abc-Vermutung, dass a+b=c für jedes \varepsilon > 0 nur endlich viele teilerfremde Lösungen a,b,c hat mit[17]:

Rad (a,b,c) \leq {H (a,b,c)}^{1-\varepsilon}

Jeffrey Lagarias und Kannan Soundararajan stellten der abc-Vermutung eine „xyz-Vermutung“ zur Seite für den Fall, dass alle Primfaktoren des Radikals rad(xyz) eines Tripels (x,y,z) durch eine kleine Konstante S (Glattheit, Smoothness) beschränkt sind, das heißt S = max\lbrace p: p | a,b,c\rbrace. Sie besagt, dass für \alpha > 3/2 nur endlich viele abc-Tripel existieren mit log S /log log z >= \alpha.[18]
B. de Weger ermittelte hierzu in den Ergebnissen des ABC@Home-Projektes dasjenige Tripel mit S = 43 und (vermutlich) größtem z als

13^{11} + 2 \cdot 3^9 \cdot 5 \cdot 23^6 \cdot 29 \cdot 37 = 7^4 \cdot 11 \cdot 17^3 \cdot 19^4 \cdot 43^2.[19]

Weitere Bewertungen eines abc-Treffers[Bearbeiten]

Bereits 1986 zeigten Cameron L. Stewart und Robert Tijdeman, dass die „Qualitäts“-Bewertung der abc-Treffer (mit den Bezeichnungen c = c(a,b,c) und r = \mathrm{rad}(abc), a < b < c)

q(a,b,c) = \frac{\log\,c}{\log\,r}

für wachsendes r nicht zu schnell gegen 1 konvergieren kann und damit erneut, dass es kein K_\varepsilon für \varepsilon = 0 gibt. Sie bewiesen die Existenz von unendlich vielen abc-Tripeln mit

\log\,c - \log\,r > h_1\,\frac{\sqrt{\log\, r}}{\log\,\log\,r}\,\,\, für jedes h_1 < 4.

Im Jahre 2000 verschärfte M. v. Frankenhuysen diese Aussage mit h_1 = 6{,}07...[20] Das legt nahe zu untersuchen, ob ein gegebenes Tripel mit der Bewertung

q_1(a,b,c) = (\log\, c - \log\, r)\, \frac{\log\, \log\, r}{\sqrt{\log\, r}}

die Schranke h_1 übersteigt oder nicht, und die Verteilung der gefundenen extremalen Beispiele zu analysieren. Folgende theoretische (heuristische) Überlegungen lassen vermuten, dass diese Bewertung auf der Menge der abc-Treffer unbeschränkt groß werden kann.[21]

Aus bewiesenen Ergebnissen über die Verteilung der natürlichen Zahlen n mit \operatorname{rad}(n) unterhalb einer gegebenen Schranke und aus (begründeten und vielfach bestätigten, aber unbewiesenen) Annahmen über die Zufälligkeit der Primfaktorzerlegung in unstrukturierten Mengen natürlicher Zahlen konnte v. Frankenhuysen die strengere untere Abschätzung mit kleinerem Nenner

\log\,c - \log\,r > h_2\,\sqrt{ \frac{\log\, r}{\log\,\log\,r}}\,\,\, gilt unendlich oft

herleiten. Je nach Ansatz kann man ein h_2 < 4 bzw. ein h_2 < 4\, \sqrt{3} wählen, das konnte nicht geklärt werden. Die zweite Variante wurde ebenfalls von C. L. Stewart und G. Tenenbaum gefunden (2007, vgl. [22]). Eine einfache Umformung lässt daraus die elegante Bewertung „merit“

q_2(a,b,c) = (q\, -\, 1)^2\, \log\, r\, \log\, \log\, r

als quadriertes Analogon zu q_1 mit der angestrebten Testgröße h_2^2 ansetzen.

Das derzeitige Weltrekord-Tripel bezüglich beider Bewertungen mit q_1 = 12,94882\, (> 2\,h_1 !)\, und q_2 = 38,66573\, wurde am 28. Oktober 2011 von Ralf Bonse entdeckt[23] und lautet

 a = 2543^4 \cdot 182587 \cdot 2802983 \cdot 85813163, (a ist offensichtlich nicht multiplikativ hochpotent)
 b = 2^{15} \cdot 3^{77} \cdot 11 \cdot 173,
 c = 5^{56} \cdot 245983.

Von besonderem Interesse sind solche abc-Tripel, die den Abfall der Qualität mit wachsendem Betrag von c nach unten beschränken. Ein abc-Tripel heißt „unbeaten“ (sinngemäß „unübertroffen“), wenn jedes bekannte abc-Tripel mit größerem c eine kleinere Qualität aufweist.[24]

abc-Vermutung für Polynome[Bearbeiten]

Wilson Stothers und Richard Mason bewiesen 1983 [25] unabhängig voneinander folgenden, bis dato unbekannten Satz für Polynome:

Seien \,f, g, h teilerfremde, nicht-konstante Polynome mit \,f = g + h . Dann ist

\operatorname{max}(\operatorname{grad}(f), \operatorname{grad}(g), \operatorname{grad}(h)) \le N_0 (fgh) - 1

wobei \,N_0 (f) die Anzahl der verschiedenen Nullstellen von f ist. Das ist gewissermaßen das „Funktionenkörper“-Analogon der abc-Vermutung. Sein Beweis ist relativ einfach (siehe z. B. Serge Lang, Elemente der Mathematik, Bd.48 (1993) S. 91f) und wie auch im Fall der abc-Vermutung folgt daraus z.B. der fermatsche Satz für Polynome. Die Übersetzung vom Polynom-Fall in die abc-Vermutung für ganze Zahlen erfolgt dadurch, dass man \,N_0 (f) = \operatorname{Grad}(\operatorname{rad} (f) ) setzt, wobei \,\operatorname{rad}(f) das Produkt der „Primfaktoren“ (x-a) von f ist, erstreckt über alle Wurzeln a von f, und den Grad durch sein Analogon den Logarithmus ersetzt (da \operatorname{grad}(f g) = \operatorname{grad}(f) + \operatorname{grad}(g))).

Diese „Modell“-Version der abc-Vermutung war allerdings nicht die unmittelbare Motivation für die Vermutung durch Oesterlé und Masser. Das Motiv für die Vermutung ergab sich auch nicht aus numerischen Rechnungen, sondern vielmehr aus tiefliegenden Untersuchungen über elliptische Kurven in der Zahlentheorie[26], die sich teilweise in der verwandten Vermutung von Lucien Szpiro widerspiegeln (s.o.).

Teilergebnisse[Bearbeiten]

Bisher wurden folgende Ungleichungen für c und rad(a,b,c) bewiesen:

1986, C.L. Stewart und R. Tijdeman:

c < \exp{(C_1\, \operatorname{rad}(abc)^{15}) },

1991, C.L. Stewart und Kunrui Yu:

c < \exp{ (C_2\, \operatorname{rad}(abc)^{2/3+\epsilon}) },

1996, C.L. Stewart und Kunrui Yu:

c < \exp{ (C_3\, \operatorname{rad}(abc)^{1/3+\epsilon}) },

wobei C1 eine feste Konstante ist und C2 sowie C3 positive leicht berechenbare Konstanten in Abhängigkeit von ε.

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Noam Elkies: The ABC´s of Number Theory (PDF; 417 kB)
  2. The Amazing ABC Conjecture
  3. Gerhard Frey: Die ABC-Vermutung. Spektrum d. Wiss. Februar 2009, S. 70–77
  4. Mochizuki: Inter-Universal Teichmüller Theory IV: Log-Volume Computations and Set-Theoretic Foundations, Preprint August 2012, Online auf seiner Homepage
  5. Holger Dambeck: Japaner präsentiert Lösung für Primzahlen-Rätsel, Spiegel-Online, 26. September 2012
    Philip Ball: Proof claimed for deep connection between prime numbers, Nature News, 10. September 2012
    Caroline Chen: The paradox of the proof. (Stand vom 9. Mai 2013)
    Peter Woit: Latest on abc. (Stand vom 19. Dezember 2013)
  6. Sander Roland Dahmen: Lower bounds for numbers of ABC-hits. Journal Number Theory 128 (2008), Nr. 6, S. 1864–1873 (PDF; 113 kB)
  7. http://www.abcathome.com/data/
  8. http://rekenmeemetabc.nl/Synthese_resultaten
  9. Willem Jan Palenstijn: Enumerating ABC triples. (PDF; 816 kB)
  10. Ein einfacher Beweis nach Wojtek Jastrzebowski und Dan Spielman findet sich bei Lang, Elemente der Mathematik, Bd. 48, 1993, S. 94. Ihr Gegenbeispiel zur abc-Vermutung mit \epsilon = 0 ist a = 1, b =3^{2^k}-1, c=3^{2^k}.Man beweist durch Induktion, dass b durch 2^k teilbar ist. Das ergibt eine Ungleichung, die nicht für alle k erfüllt sein kann.
  11. Machiel van Frankenhuysen The ABC conjecture implies Roth's theorem and Mordell's conjecture, Matemática Contemporânea, Band 16, 1999, S. 45–72
  12. William Stein: Szpiro and ABC. (englisch)
  13. Alan Baker: Logarithmic forms and the abc-conjecture. In: Györy, Pethö, T. Sos (ed.) Number Theory, Eger 1996., de Gruyter 1998, S. 37–44. Experiments on the abc-conjecture. Publ. Math. Debrecen 65 (2004), S. 253–260
  14. zum Beispiel Lukas Pottmeyer Dichte quadratfreier Werte ganzzahliger Polynome, Diplomarbeit, Universität Dortmund, 2009, Seite III, pdf Datei
  15. Bart de Smit: Update on ABC-triples (auch weiterführende numerische Ergebnisse)
  16. ABC at Home Webseite
  17. Lagarias, Soundararajan: Smooth solutions of the abc conjecture, J. Theorie Nombres Bordeaux, Band 23, 2011, S. 209 Preprint
  18. Jeffrey C. Lagarias, K. Soundararajan: Smooth solutions to the equation A + B = C. (PDF; 237 kB) Preprint 2010.
  19. Benne de Weger: Numerical data related to the Lagarias-Soundararajan xyz-conjecture. (PDF; 381 kB) überarbeiteter Preprint 2012.
  20. M. v. Frankenhuysen: A lower bound in the abc conjecture. J. Number Theory 82 (2000), S. 91–95
  21. M. v. Frankenhuysen: Hyperbolic spaces and the abc conjecture. Dissertation Nijmegen 1995
  22. Carl Pomerance: Computational Number Theory (Übersichtsartikel, pdf; 249 kB)
  23. Bart de Smit/ ABC triples/ by merit
  24. Bart de Smit/ ABC triples/ unbeaten
  25. R. Mason: Diophantine equations over function fields. Cambridge University Press 1984, W. W. Stothers: Polynomial identities and Hauptmoduln. Quarterly Journal Mathematics, Oxford, II. Ser., Bd. 32, 1981, 349–370. Auch Joseph Silverman bewies unabhängig den Satz, der auch PQR-Theorem oder Stothers-Mason-(Silverman)-Theorem genannt wird.
  26. Oesterlé zur Motivation hinter ihrer Postulierung der abc-Vermutung