Reduktionsverfahren von d’Alembert

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Das Reduktionsverfahren von d’Alembert ist ein Verfahren aus der Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen, das nach dem Mathematiker und Physiker Jean-Baptiste le Rond d’Alembert benannt ist. Es wird verwendet, um eine lineare Differentialgleichung -ter Ordnung mit nicht-konstanten Koeffizienten unter Kenntnis einer Lösung des homogenen Problems auf eine lineare Differentialgleichung -ter Ordnung zurückzuführen.

Grob gesagt, gilt Folgendes: Um eine (inhomogene) lineare Differentialgleichung -ter Ordnung zu lösen, beschaffe man sich eine nichttriviale Lösung der zugehörigen homogenen linearen Differentialgleichung . Dann führt der Variation der Konstanten Ansatz für die ursprüngliche Gleichung auf eine (inhomogene) lineare Differentialgleichung der niedrigeren Ordnung für .

Formulierung des Satzes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man betrachte den Differentialoperator -ter Ordnung

Hierzu sei eine Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung

bekannt. Für

gilt dann

Mit anderen Worten: löst die inhomogene Differentialgleichung -ter Ordnung genau dann, wenn

die inhomogene lineare Differentialgleichung -ter Ordnung

löst.

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nach der leibnizschen Regel gilt

also

Nun ist nach Voraussetzung . Somit folgt

Indexverschiebung liefert .

Spezialfall: Lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung

Dann ist

Lösung der (inhomogenen) Differentialgleichung

genau dann, wenn

der Gleichung

genügt. Diese Gleichung lässt sich mit Hilfe der Variation der Konstanten vollständig lösen.

Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es existiert auch eine Verallgemeinerung für lineare Systeme von Differentialgleichungen.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]