Reduktionsverfahren von d’Alembert

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Das Reduktionsverfahren von d’Alembert ist ein Verfahren aus der Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen, das nach dem Mathematiker und Physiker Jean-Baptiste le Rond d’Alembert benannt ist. Es wird verwendet, um eine lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung mit nicht-konstanten Koeffizienten unter Kenntnis einer Lösung des homogenen Problems auf eine lineare Differentialgleichung (n-1)-ter Ordnung zurückzuführen.

Grob gesagt, gilt Folgendes: Um eine (inhomogene) lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung \mathcal{L}(y) = f zu lösen, beschaffe man sich eine nichttriviale Lösung der zugehörigen homogenen linearen Differentialgleichung \mathcal{L}(u) = 0. Dann führt der Variation der Konstanten Ansatz y(x) := c(x)u(x) für die ursprüngliche Gleichung \mathcal{L}(y)=f auf eine (inhomogene) lineare Differentialgleichung \tilde{\mathcal{L}}(c') = f der niedrigeren Ordnung n-1 für c'(x).

Formulierung des Satzes[Bearbeiten]

Man betrachte den Differentialoperator n-ter Ordnung

\mathcal{L}(v)(x) := \sum_{k=0}^na_k(x)v^{(k)}(x)\ .

Hierzu sei eine Lösung u der homogenen linearen Differentialgleichung

\mathcal{L}(u) =  0

bekannt. Für

y(x) := c(x)u(x)

gilt dann

\mathcal{L}(y)(x) = \sum_{j=0}^{n-1}\left[\sum_{k=j+1}^n{k \choose {j+1}}a_k(x)u^{(k-j-1)}(x)\right]c^{(j+1)}(x).

Mit anderen Worten: y löst die inhomogene Differentialgleichung n-ter Ordnung \mathcal{L}(y) = f genau dann, wenn

z(x) := c'(x)

die inhomogene lineare Differentialgleichung (n-1)-ter Ordnung

\sum_{j=0}^{n-1}\left[\sum_{k=j+1}^n{k \choose {j+1}}a_k(x)u^{(k-j-1)}(x)\right]z^{(j)}(x) = f(x)

löst.

Beweis[Bearbeiten]

Nach der leibnizschen Regel gilt

(c\cdot u)^{(k)}(x) = \sum_{j=0}^k{k \choose j}c^{(j)}(x)u^{(k-j)}(x)\ ,

also

\sum_{k=0}^na_k(x)(c\cdot u)^{(k)}(x) = \sum_{k=0}^n\sum_{j=0}^k{k \choose j}a_k(x)c^{(j)}(x)u^{(k-j)}(x) = \sum_{j=0}^n\sum_{k=j}^n{k \choose j}a_k(x)u^{(k-j)}(x)c^{(j)}(x)\ .

Nun ist nach Voraussetzung \textstyle \sum_{k=0}^n{k \choose 0}a_k(x)u^{(k)}(x) = \mathcal{L}(u) = 0. Somit folgt

\mathcal{L}(y) = \sum_{k=0}^na_k(x)(c\cdot u)^{(k)}(x) = \sum_{j=1}^n\left[\sum_{k=j}^n{k \choose j}a_k(x)u^{(k-j)}(x)\right]c^{(j)}(x)\ .

Indexverschiebung liefert \textstyle \mathcal{L}(y) = \sum_{j=0}^{n-1}\left[\sum_{k=j+1}^n{k \choose {j+1}}a_k(x)u^{(k-j-1)}(x)\right]c^{(j+1)}(x).

\Box

Spezialfall: Lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung[Bearbeiten]

Sei u Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung

u''(x) + p(x)u'(x) + q(x)u(x) = 0\ .

Dann ist

y(x) := c(x)u(x)

Lösung der (inhomogenen) Differentialgleichung

y''(x) + p(x)y'(x) + q(x)y(x) = f(x)

genau dann, wenn

z(x) := c'(x)

der Gleichung

u(x)z'(x) + [p(x)u(x) + 2u'(x)]z(x) = f(x)

genügt. Diese Gleichung lässt sich mit Hilfe der Variation der Konstanten vollständig lösen.

Verallgemeinerungen[Bearbeiten]

Es existiert auch eine Verallgemeinerung für lineare Systeme von Differentialgleichungen.

Literatur[Bearbeiten]