Trägheitsellipsoid

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Abb. 1: Starrer Körper (grau) mit Trägheits-, Drall- und Massenellipsoid (blau, gelb bzw. grün), die hier alle auf gleichlange 2-Achsen skaliert sind

Das Trägheitsellipsoid ist eine Veranschaulichung der Trägheitseigenschaft eines starren Körpers bei Drehbewegungen. Der Abstand des Durchstoßpunktes der Drehachse durch das Trägheitsellipsoid vom Ellipsoidzentrum ist ein Maß für das Trägheitsmoment J des Körpers bezüglich dieser Achse, siehe Abb. 2. Neben dem Trägheitsellipsoid sind noch weitere Ellipsoide für die Drehbewegung bedeutsam, siehe Abb. 1:

  • Das Energieellipsoid, das auch „Poinsotellipsoid“ oder „Poinsotfläche“ nach Louis Poinsot genannt wird, beinhaltet alle Winkelgeschwindigkeiten, die bei einem gegebenen Körper derselben Rotationsenergie entsprechen. Das Energieellipsoid geht aus dem Trägheitsellipsoid durch zentrische Streckung hervor. Die Bewegung kräftefrei drehender, starrer Körper kann mit der Poinsot’schen Konstruktion anhand des Energieellipsoids visualisiert werden.
  • Das Drallellipsoid ist der geometrische Ort aller Winkelgeschwindigkeiten, die demselben Drehimpulsbetragsquadrat entsprechen[L 1]. Das Drallellipsoid ist in jeder Hinsicht schlanker als das Trägheitsellipsoid und skaliert mit dem Drehimpulsbetrag. Bei gegebener Rotationsenergie ist die Größe des Drallellipsoids nach unten und oben beschränkt.
  • Das Massenellipsoid ist ein homogener, ellipsoidförmiger Körper, der die gleiche Masse und das gleiche Trägheitsellipsoid wie ein vorgegebener Körper besitzt.

Trägheits- und Massenellipsoid sind im körperfesten System von eventuell auftretenden Bewegungen unbeeinflusste Eigenschaften eines Körpers allein, sind sich aber ansonsten im Allgemeinen nicht ähnlich. Alle diese Ellipsoide sind mit dem Körper ausgerichtet mit seinen Hauptträgheitsachsen als Symmetrieachsen.

Trägheitsellipsoid[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abb. 2: Trägheitsellipsoid (blaues Netz) und Hauptträgheitsachsen (blau gestrichelt) eines Körpers (nicht dargestellt) und eine Drehachse in globaler z-Richtung (schwarz stichpunktiert)

Mit dem Trägheitstensor eines starren Körpers erhält man mit einem Vektor durch

eine quadratische Form bezüglich . Darin bezeichnen x, y, z die Komponenten des Vektors und Θxx, xy, ... die Komponenten des Trägheitstensors bezüglich einer beliebig orientierten Orthonormalbasis. Die Komponenten x1,2,3 und die Hauptträgheitsmomente Θ1,2,3 beziehen sich auf das körperfeste Hauptträgheitssystem. Der Trägheitstensor ist positiv definit, denn die Hauptträgheitsmomente sind sämtlich positiv. Eine positiv definite quadratische Form beschreibt aber im Allgemeinen ein dreiachsiges Ellipsoid, das hier das Trägheitsellipsoid ist, siehe Abb. 2.

Das Trägheitsellipsoid spiegelt die Trägheitseigenschaften eines starren Körpers gegenüber Drehungen wider. Die Form des Trägheitsellipsoids ist von der Bewegung des Körpers unabhängig, denn die Längen der Halbachsen lT,i sind bewegungsunabhängig, wie die letzte Gleichung zeigt:

In nicht körperfesten Bezugssystemen sind die Komponenten des Trägheitstensors Θxx, xy, ... bei einer Drehbewegung von der Zeit abhängig. Das Ellipsoid bleibt mit dem Körper ausgerichtet. Die sechs unabhängigen Komponenten des Trägheitstensors entsprechen den drei Hauptträgheitsmomenten und der Orientierung der Hauptträgheitsachsen, also der Form und Ausrichtung des Ellipsoids.

Mit dem Trägheitstensor berechnen sich die Trägheitsmomente J bezüglich einer beliebigen Drehachse durch das Ellipsoidzentrum in Richtung des Einheitsvektors (der Länge eins und deshalb mit Hut geschrieben) gemäß . Für einen Vektor , der vom Ellipsoidzentrum zum Schnittpunkt der Drehachse mit dem Trägheitsellipsoid weist und den Betrag x hat, berechnet sich:

Die Drehachse schneidet das Ellipsoid also im Abstand vom Zentrum des Ellipsoids.

Die Hauptträgheitsmomente Θ1,2,3 erfüllen die Dreiecksungleichungen. Damit ein Ellipsoid mit den Achsen a, b und c als Trägheitsellipsoid herhalten kann, muss sich also aus Seiten der Längen 1/a², 1/b² und 1/c² ein Dreieck formen lassen.

Trägheitsellipsoide spezieller Körper[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Länge der Halbachsen des Trägheitsellipsoids sind umgekehrt proportional zur Wurzel aus den Hauptträgheitsmomenten. Anschaulich entspricht ein langgestrecktes Trägheitsellipsoid einem gestauchten Körper und ein gestauchtes Trägheitsellipsoid einem langgestreckten Körper. Bei homogener Dichteverteilung und Drehung um den Massenmittelpunkt gilt:

  • Unsymmetrische Kreisel besitzen ein „echtes“ Ellipsoid als Trägheitsellipsoid, da . Beispiele sind der Quader mit drei ungleichen Seiten oder gewinkelte Moleküle wie das Wassermolekül H2O.
  • Symmetrische Kreisel besitzen ein Rotationsellipsoid als Trägheitsellipsoid, da zwei Hauptträgheitsmomente gleich sind, z.B. . Bei rotationssymmetrischen Körpern ist die Symmetrieachse stets eine Hauptträgheitsachse, die beiden Hauptträgheitsmomente um beliebige dazu senkrechte Achsen sind gleich. Beispiele: Kreiszylinder, lineare Moleküle. Es ist jedoch zu beachten, dass nicht jeder symmetrische Kreisel rotationssymmetrisch ist. Beispiel: Quadratische Säule.
    • Beim prolaten Kreisel ist und deshalb ist sein Trägheitsellipsoid ein in der Symmetrieachse lang gestrecktes, zigarrenförmiges Rotationsellipsoid.
    • Beim oblaten Kreisel ist und deshalb ist sein Trägheitsellipsoid ein in der Symmetrieachse gestauchtes Rotationsellipsoid. Beispiele: Puck, näherungsweise die abgeplattete Erde.
  • Kugelkreisel oder sphärische Kreisel besitzen eine Kugel als Trägheitsellipsoid, da . Hat ein Körper bezüglich dreier verschiedener Achsen gleiche Trägheitsmomente, so ist das Trägheitsellipsoid eine Kugel. Dies hat zur Folge, dass das Trägheitsmoment bezüglich jeder Achse gleich ist. Die Form des Körpers muss jedoch nicht der einer Kugel entsprechen: bei homogener Dichteverteilung reicht bereits eine Punktsymmetrie wie beim Würfel. Ein regelmäßiges Tetraeder ist auch ein Kugelkreisel. Zudem können auch unregelmäßig geformte Körper Kugelkreisel sein.

Bei inhomogener Dichteverteilung kann von der äußeren Form nicht ohne weiteres auf die Form des Trägheitsellipsoids geschlossen werden.

Energieellipsoid[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei gegebener Rotationsenergie

(: Rotationsenergie, : Trägheitstensor, : Winkelgeschwindigkeit) eines starren Körpers definiert die obige quadratische Form ein Ellipsoid, das Energieellipsoid, das gleich dem mit dem Faktor skalierten Trägheitsellipsoid ist.

Die quadratische Form in einem kartesischen Koordinatensystem mit x-, y- und z-Achsen komponentenweise ausgeschrieben lautet

Bei gegebener Rotationsenergie Erot weist die Winkelgeschwindigkeit vom Ellipsoidzentrum (=Ursprung) auf einen Punkt des Energieellipsoids. Der Gradient der Fläche in diesem Punkt ist der Drehimpuls, was die Grundlage für die Poinsot’sche Konstruktion ist.

Denn ist eine Fläche wie hier durch gegeben, so steht der Gradient an jedem Punkt dieser Fläche senkrecht zur Fläche. Daraus ergibt sich für das hier betrachtete Energieellipsoid:

oder koordinatenfrei mit dem Gâteaux-Differential und der Fréchet-Ableitung[F 1]

aufgrund der Symmetrie des Trägheitstensors (das hochgestellte „T“ steht für die Transposition.)

Abb. 3: Schnitt durch ein Energieellipsoid entlang zweier Hauptträgheitsachsen, mit den Hauptträgheitsmomenten und

Der Drehimpuls ist also parallel zur Normalen des Energiellipsoids in dem Punkt, an dem die Spitze des Winkelgeschwindigkeitsvektors das Ellipsoid berührt. Damit ist ersichtlich, dass

  • und nur entlang der Hauptträgheitsachsen parallel sind,
  • Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit immer einen spitzen Winkel (<90°) einschließen, denn , und
  • der Zuwachs an Rotationsenergie maximal ist, wenn die Winkelgeschwindigkeit in Richtung des Drehimpulses zunimmt, denn .

Mittels einer Hauptachsentransformation erhält man die Hauptträgheitsmomente Θ1,2,3 (Eigenwerte des Trägheitstensors) und die Hauptträgheitsachsen (Eigenvektoren). Die Rotationsenergie ergibt sich mit den Komponenten ω1,2,3 der Winkelgeschwindigkeit im Hauptträgheitssystem zu:

bzw. umgeformt

Aus der letzten Gleichung lassen sich die Halbachsen des Energieellipsoids direkt ablesen:

Die korrespondierenden Energie- und Trägheitsellipsoide haben die gleiche Orientierung im Raum, aber die Längen der Hauptachsen sind verschieden:

  • Energieellipsoid: 
  • Trägheitsellipsoid: 

Das Energieellipsoid geht aus dem Trägheitsellipsoid durch eine Zentrische Streckung mit dem Faktor hervor.

Das Trägheitsmoment bezüglich einer beliebigen Drehachse ist:  

Im kräftefreien Fall sind der Drehimpuls und die Rotationsenergie konstant und wegen ist auch die Komponente der Winkelgeschwindigkeit in Richtung des Drehimpulses konstant. Die Tangentialebene an das Energieellipsoid am Ort der aktuellen Winkelgeschwindigkeit ist damit fest und die Winkelgeschwindigkeit bewegt sich auf sogenannten Herpolhodien in dieser Ebene. Im körperfesten Hauptträgheitssystem zeichnet die Winkelgeschwindigkeit „Polhodien“ genannte Kurven nach, die die Schnittmenge von Drehimpuls- und Energieellipsoid sind. Mehr dazu ist bei der Poinsot’schen Konstruktion zu finden.

Drallellipsoid[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Winkelgeschwindigkeiten, die alle dasselbe Drehimpulsbetragsquadrat zu einem bestimmten Zeitpunkt liefern, definieren ebenfalls ein Ellipsoid, das Drallellipsoid:

Das Drallellipsoid ist also schlanker als das Trägheitsellipsoid, siehe Abb. 1:

Die Winkelgeschwindigkeit liegt zu einem bestimmten Zeitpunkt sowohl auf diesem Ellipsoid als auch auf dem Energieellipsoid. Damit beide Ellipsoide gemeinsame Punkte haben können, muss zu jedem Zeitpunkt

oder

sein, wenn wie üblich die Hauptträgheitsmomente gemäß Θ1 < Θ2 < Θ3 angeordnet sind.

Denn ein Punkt, der auf beiden Ellipsoiden liegt, muss die Bedingungen

erfüllen. In den letzten beiden Gleichungen sind alle Faktoren bis auf die Klammerausdrücke null oder positiv. Damit eine nicht-triviale Lösung existiert, darf deswegen in beiden Gleichungen der kleinste Klammerausdruck nicht positiv und der größte nicht negativ sein. Mit den angenommenen Größenverhältnissen der Hauptträgheitsmomente stellen dies die obigen Schranken für das Drehimpulsbetragsquadrat und die Rotationsenergie sicher. Dann sind die Rotationsenergie und der Drehimpulsbetrag mit einer Drehbewegung des betrachteten Körpers verträglich.

Bei gegebener Rotationsenergie hat eine Drehung um die Hauptträgheitsachse mit dem kleinsten Hauptträgheitsmoment den kleinsten und eine Drehung um die Hauptträgheitsachse mit dem größten Hauptträgheitsmoment den größten Drehimpulsbetrag.

Umgekehrt hat bei gegebenem Drehimpulsbetrag eine Drehung um die Hauptträgheitsachse mit dem kleinsten Hauptträgheitsmoment die größte und eine Drehung um die Hauptträgheitsachse mit dem größten Hauptträgheitsmoment die kleinste Rotationsenergie. Deswegen wird die Drehachse bei dissipativen Vorgängen (Luftwiderstand, Reibung) in Richtung der 3-Achse wandern.

Massenellipsoid[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Abb. 4: Ellipsoid mit drei ungleichen Halbachsen

Zu jedem starren Körper gibt es einen ellipsoidförmigen Körper wie in Abb. 4, das Massenellipsoid, das die gleichen Trägheitseigenschaften (Masse und Trägheitstensor) besitzt wie der Körper selbst. Das Massenellipsoid und das Trägheitsellipsoid haben gleiche Symmetrieachsen, sind sich aber ansonsten zumeist nicht ähnlich. Wenn sich nämlich die mittellangen Halbachsen nach geeigneter Skalierung decken, wird die größte Halbachse des Trägheitsellipsoids kleiner, die kleinste aber größer als die entsprechende des Massenellipsoids sein, siehe Abb. 1.[L 2]

Denn bei homogener Dichteverteilung hat ein ellipsoidförmiger Körper mit Masse m sowie den Halbachsen a, b und c in x-, y- bzw. z-Richtung die Hauptträgheitsmomente

oder bei gegebenen Hauptträgheitsmomenten die Halbachsen

Weil die Hauptträgheitsmomente die Dreiecksungleichungen erfüllen, besitzt jeder Körper ein Massenellipsoid. Anders als beim Trägheitsellipsoid können die Halbachsen des Massenellipsoids jedwedes Verhältnis zueinander aufweisen, brauchen also nicht die Dreiecksungleichungen zu erfüllen. Die Halbachsen des Trägheitsellipsoids verhalten sich wie

Wenn ist, dann ist und und daher . Die größte Halbachse des Trägheitsellipsoids ist folglich verhältnismäßig kleiner, die kleinste aber verhältnismäßig größer als die entsprechende des Massenellipsoids, siehe auch Abb. 1 am Anfang des Artikels.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Fußnoten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Die Fréchet-Ableitung einer skalaren Funktion nach einem Vektor ist der Vektor , der in jeder Richtung dem Gâteaux-Differential entspricht. Dann wird auch geschrieben.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Othmar Marti: Kreisel. Institut für Experimentelle Physik an der Universität Ulm, abgerufen am 11. Juni 2017 (html, deutsch).
  2. Grammel (1950), S. 27f

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik. Mechanik und Wärme. 4. neu bearbeitete und aktualisierte Auflage. Band 1. Springer Verlag, Berlin u. a. 2006, ISBN 3-540-26034-X.
  • Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik. Klassische Mechanik. 8. Auflage. Band 1. Springer Verlag, Berlin u. a. 2006, ISBN 3-540-34832-8 (Springer-Lehrbuch).
  • R. Grammel: Der Kreisel. Seine Theorie und seine Anwendungen. 2. überarb. Aufl. Band 2. Springer, Berlin, Göttingen, Heidelberg 1950, DNB 451641280 (archive.org).