Trennung der Veränderlichen

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Die Methode der Trennung der Veränderlichen, Trennung der Variablen, Separationsmethode oder Separation der Variablen ist ein Verfahren aus der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen. Mit ihr lassen sich separierbare Differentialgleichungen erster Ordnung lösen. Das sind Differentialgleichungen, bei denen die erste Ableitung ein Produkt aus einer nur von und einer nur von abhängigen Funktion ist: Der Begriff „Trennung der Veränderlichen“ geht auf Johann Bernoulli zurück, der ihn 1694 in einem Brief an Gottfried Wilhelm Leibniz verwendete.[1]

Ein ähnliches Verfahren für bestimmte partielle Differentialgleichungen ist der Separationsansatz.

Lösung des Anfangswertproblems[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wir untersuchen das Anfangswertproblem

für stetige (reelle) Funktionen und . Falls , so wird dieses Anfangswertproblem durch die konstante Funktion gelöst. Diese Lösung muss unter den angegebenen Bedingungen nicht eindeutig sein.

Formulierung des Satzes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es seien mit . Dann gilt:

  • Es gibt ein umfassendes offenes Intervall mit für alle . Dann ist die Abbildung auf wohldefiniert und streng monoton.
Weiter gibt es ein umfassendes offenes Intervall , so dass die Abbildung für alle Werte in hat.
  • Seien und wie oben. Dann ist die eindeutige Lösung des Anfangswertproblems
auf .

Die Lösung des Anfangswertproblems ist in diesem Fall also die Lösung der Gleichung

.

Man beachte, dass im Fall der konkreten Gestalt der getrennten Veränderlichen tatsächlich lokale Eindeutigkeit bei vorliegt, obwohl und keine lokale Lipschitz-Bedingung zu erfüllen brauchen.

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da und stetig, gibt es ein umfassendes offenes Intervall , so dass für alle . Insbesondere hat auf dasselbe Vorzeichen, so dass auf wohldefiniert und streng monoton ist. ist ein 0 umfassendes offenes Intervall. Also gibt es ein umfassendes offenes Intervall , so dass für alle gilt.

ist auf wohldefiniert, und wegen für alle gilt

auf . Bei der Ableitung wurden die Kettenregel und die Umkehrregel genutzt. Natürlich ist . Dies beweist die Existenz einer Lösung des angegebenen Anfangswertproblems.

Für die Eindeutigkeit nehme man an, dass irgendeine Lösung des Anfangswertproblems auf ist. Es wird nun gezeigt, dass auf gilt; die Eindeutigkeit links von geht analog.

Angenommen, die Eindeutigkeit rechts von wäre verletzt. Wegen der Stetigkeit von und gibt es ein mit , so dass

für alle

wahr ist, für das jedoch die Aussage

auf

für jedes mit falsch ist. Im Folgenden wird gezeigt, dass es dennoch ein positives gibt, für das obige Aussage wahr ist, was den gewünschten Widerspruch impliziert.

Wegen gibt es ein mit , so dass für alle gilt. Insbesondere ist auf wohldefiniert, und es gilt

für alle .

Dies impliziert , also für alle , was mit der Definition von übereinstimmt. Dies liefert den Widerspruch zur Annahme der Nichteindeutigkeit.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gesucht sei die Lösung des Anfangswertproblems

.

Hierbei handelt es sich um eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen:

.

Setze also

.

Die Umkehrfunktion lautet

.

Also ist die Lösung des Anfangswertproblems gegeben durch

.

Differentiale als anschauliche Rechenhilfe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Anschaulich besagt der Satz von der Trennung der Veränderlichen, dass das folgende Vorgehen erlaubt ist, d. h. zu richtigen Ergebnissen führt (obwohl die Differentiale und eigentlich nur Symbole sind, mit denen man streng genommen nicht rechnen kann):

  • Schreibe die Ableitung konsequent als .
  • Bringe alle Terme, in denen ein vorkommt – einschließlich des – auf die rechte, und alle anderen − einschließlich des – auf die linke Seite, unter Anwendung gewöhnlicher Bruchrechnung.
  • Es sollte dann links im Zähler ein und rechts im Zähler ein stehen.
  • Setze einfach vor beide Seiten ein Integralsymbol und integriere.
  • Löse die Gleichung gegebenenfalls nach auf.
  • Ermittle die Integrationskonstante mithilfe der Anfangsbedingung.

Die Rechnung für das obige Beispiel würde dann auf folgende Weise ablaufen:

mit , also .

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Wolfgang Walter. Gewöhnliche Differentialgleichungen. Springer, 4. überarbeitete Auflage, 1990, ISBN 3-540-52017-1, S. 13-20
  • Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis I. Aula-Verlag, 9. auflage, Wiesbaden 1989, ISBN 3-89104-498-4, S. 316-333
  • Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Einführung in Lehre und Gebrauch. Vieweg+Teubner, 6. aktualisierte Auflage, 2009, ISBN 9783834807052, S. 102-122

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Einführung in Lehre und Gebrauch. 2. Auflage. Teubner, Stuttgart 1991, ISBN 3-519-12227-8, S. 128