Satz von Kolmogorow-Riesz

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Der Satz von Kolmogorow-Riesz (nach Andrei Nikolajewitsch Kolmogorow und Marcel Riesz) ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis, der ein Kompaktheitskriterium für Teilmengen von Lp-Räumen darstellt. Dieser Satz wird, je nach Verallgemeinerungsgrad, auch Satz von M. Riesz, Satz von Kolmogorow-Fréchet-Riesz oder Satz von Kolmogorow-Riesz-Weil genannt, womit auch Beiträge der Mathematiker Maurice René Fréchet und André Weil gewürdigt werden, auch die Namen Jakob Davidowitsch Tamarkin und A. N. Tulajkov werden von einigen Autoren erwähnt, wobei Letzterer den Sonderfall behandelt hatte.[1] Derartige Kompaktheitskriterien haben viele Anwendungen, insbesondere in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen.

Der Folgenraum lp[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Situation für die Folgenräume stellt sich besonders einfach dar, der folgende Satz wurde 1908 für von Fréchet bewiesen [2][3]:

Eine Teilmenge () ist genau dann präkompakt, wenn die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:

  • . Dabei ist die -te Komponente von .
  • .

Funktionenräume Lp[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aufwändiger sind Kompaktheitskriterien für Lp-Räume über nicht-diskreten Grundmengen. Mittels Zurückführung auf den Satz von Arzelà-Ascoli kann man zeigen [4]:

Satz von Kolmogorow-Riesz: Eine Teilmenge , , ist genau dann präkompakt, wenn

  • ist beschränkt bezüglich der Norm ,
  • .

Dabei ist für außerhalb des Einheitsintervalls, um in obiger Formel bilden zu können. Ein analoger Satz gilt natürlich für für beliebige .

Eine Ausdehnung dieses Satzes auf unbeschränkte Gebiete erfordert eine zusätzliche Bedingung [5]:

Satz von M. Riesz: Eine Teilmenge () ist genau dann präkompakt, wenn

  • ist beschränkt bezüglich der Norm ,
  • ,
  • .

Dabei steht für die Kugel um 0 mit Radius .

Lokalkompakte abelsche Gruppen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Satz von M. Riesz lässt sich nicht auf Lp-Räume über beliebigen Maßräumen verallgemeinern, da in der zweiten Bedingung des Kompaktheitskriteriums von der Addition und damit von der Gruppenstruktur des Gebrauch gemacht wird. Sei nun eine lokalkompakte abelsche Gruppe und sei ein Haarsches Maß auf . Ist ein Banachraum, so kann man wie oben den Raum aller messbaren Funktionen mit bilden. Die Norm macht zu einem Banachraum. Dies verallgemeinert offenbar die oben betrachteten -Räume. Statt der Kugeln um 0 betrachten wir hier ein bzgl. der Vereinigung gerichtetes Netz kompakter Mengen in , so dass jede kompakte Menge aus in einer Menge aus enthalten ist.

Nicolae Dinculeanu hat folgende Verallgemeinerung obigen Kompaktheitskriteriums bewiesen[6]:

Satz: Eine Teilmenge (, lokalkompakte abelsche Gruppe, Banachraum) ist genau dann präkompakt, wenn

  • Für alle messbaren Teilmengen mit ist präkompakt,
  • ,
  • .

Diese Version wurde für den Fall , also für skalarwertige Funktionen, von M. Riesz bewiesen. Eine auf Kolmogorow und J. D. Tamarkin zurückgehende Version, die eine Approximation der Eins verwendet, wurde ebenfalls von N. Dinculeanu auf den Banachraum-wertigen Fall verallgemeinert. Für die folgende Darstellung dieses Ergebnisses sei eine Nullumgebungsbasis aus relativ kompakten, offenen Mengen in . Zu jedem wähle eine Funktion , die beschränkt, messbar uns symmetrisch (d.h. ) ist mit Träger in und . Man kann zum Beispiel wählen, wobei die charakteristische Funktion von sei. Für und sei die Faltung definiert. Dann ist , und ; das heißt, das Netz ist in diesem Sinne eine Approximation der Eins. Es gilt folgender

Satz: Eine Teilmenge (, lokalkompakte abelsche Gruppe, Banachraum) ist genau dann präkompakt, wenn

  • Für alle messbaren Teilmengen mit ist präkompakt,
  • ,
  • .

In den früheren Fassungen für und wurden die Netze und verwendet. Wendet man diesen Satz auf die lokalkompakte abelsche Gruppe an, so ist die erste Bedingung äquivalent zu , denn jede Menge endlichen Maßes ist endlich; die zweite Bedingung ist leer, wenn man das Netz wählt, und die letzte Bedingung wird zu , wenn man setzt. Mit einer geeigneten Isomorphie zwischen und erhält man genau den eingangs zitierten Satz über -Räume.

Weitere Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weitere Verallgemeinerungen auf nicht-kommutative lokalkompakte Gruppen wurden von Josh Isralowitz[7] gefunden. Eine Ausweitung von Kompaktheitskriterien dieses Typs auf andere über lokalkompakten Gruppen definierte Funktionenräume findet sich bei Hans G. Feichtinger.[8]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. H. Hanche-Olsen, Helge Holden: The Kolmogorov–Riesz Compactness Theorem, 4. A Bit of History
  2. M. Fréchet: Essai de geometrie analytique, Nouv. ann. Math. 4 (1908) 97–116, 289–317.
  3. Joseph Wloka: Funktionalanalysis und Anwendungen, §22, Satz1
  4. Jürgen Appell, Martin Väth: Elemente der Funktionalanalysis. Vektorräume, Operatoren und Fixpunktsätze, Satz 3.2
  5. Joseph Wloka: Funktionalanalysis und Anwendungen, §22, Satz 3
  6. N. Dinculeanu: On Kolmogorov-Tamarkin and M. Riesz Compactness Criteria in Function Spaces Over a Locally Compact Group, J. Math. Anal. Appl. 87 (1982), Seiten 67-85
  7. Josh Isralowitz: A characterization of norm compactness in the Bochner space Lp(G;B) for an arbitrary locally compact group, J. Math. Anal. Appl. 323,2 (2005), Seiten 1007-1017
  8. Hans G. Feichtinger: Compactness in Translation Invariant Banach Spaces of Distributions and Compact Multipliers, Journal of Mathematical Analysis and Applications (1984), Band 102, Seiten 289-327, Theorem 2.2

Quellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis, Springer-Verlag (2006) ISBN 3-540-34186-2
  • Jürgen Appell, Martin Väth: Elemente der Funktionalanalysis. Vektorräume, Operatoren und Fixpunktsätze, Vieweg+Teubner (2005), ISBN 3-528-03222-7
  • N. Dinculeanu: On Kolmogorov-Tamarkin and M. Riesz Compactness Criteria in Function Spaces Over a Locally Compact Group, J. Math. Anal. Appl. 87 (1982), Seiten 67-85
  • Hans G. Feichtinger: Compactness in Translation Invariant Banach Spaces of Distributions and Compact Multipliers, Journa l of Mathematical Analysis and Applications (1984), Band 102, Seiten 289-327. (auch online verfügbar) (PDF; 2,6 MB)
  • H. Hanche-Olsen, Helge Holden: The Kolmogorov–Riesz Compactness Theorem (PDF; 398 kB)
  • A. N. Kolmogorow: Über die Kompaktheit der Funktionenmengen bei der Konvergenz im Mittel, Nachr. Akad. Wiss. Göttingen Math. Phys. Kl. II (1931), Seiten 60-63
  • J. D. Tamarkin: On the compactness of the space L, Bull. Amer. Math. Soc. Band 38 (1932) Seiten 79-84
  • A. N. Tulajkow: Zur Kompaktheit im Raum Lp für p=1, Göttinger. Nachrichten (1933), Seiten 167-170
  • Joseph Wloka: Funktionalanalysis und Anwendungen, ISBN 3-110-01989-2