Satz von der majorisierten Konvergenz

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Der Satz von der majorisierten Konvergenz (auch Satz von der majorisierenden Konvergenz, Satz von der dominierten Konvergenz oder Satz von Lebesgue) ist eine zentrale Grenzwertaussage in der Maß- und Integrationstheorie und geht auf den französischen Mathematiker Henri Léon Lebesgue zurück.

Der Satz liefert ein Entscheidungskriterium für die Vertauschbarkeit von Integral- und Grenzwertbildung.

Die formale Aussage des Satzes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein Maßraum und sei eine Folge von -messbaren Funktionen .

Die Folge konvergiere -fast überall gegen eine -messbare Funktion . Ferner werde die Folge von einer -integrierbaren Funktion auf majorisiert, sprich für alle gelte -fast überall. Beachte, dass bei der hiesigen Definition von Integrierbarkeit der Wert ausgeschlossen ist, das heißt .

Dann sind und alle -integrierbar und es gilt:

   

Dies impliziert auch, dass

gilt.

Bemerkung zu den Voraussetzungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Auf die Voraussetzung der Majorisierbarkeit kann nicht verzichtet werden. Als Beispiel dient die Folge , definiert durch , wobei die Indikatorfunktion auf bezeichne. Es gilt überall, aber dennoch ist
.
  • Auf die Voraussetzung, dass die Funktion messbar ist, kann man verzichten, wenn stattdessen bekannt ist, dass ein vollständiger Maßraum ist, weil dann die Funktion automatisch messbar ist. Ebenso folgt die Messbarkeit von , falls bekannt ist, dass die Folge überall, und nicht nur fast überall gegen konvergiert.

Majorisierte Konvergenz in Lp-Räumen (Folgerung)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein Maßraum, eine reelle Zahl und sei eine Folge von -messbaren Funktionen .

Weiter konvergiere die Folge -fast überall gegen eine -messbare Funktion , und die Folge werde von einer Funktion majorisiert, d.h., für alle gilt -fast überall.

Dann sind alle und auch in und es gilt: Die Folge konvergiert im p-ten Mittel gegen , d.h.

.

Beweisskizze: Anwendung des Originalsatzes auf die Funktionenfolge mit der Majorante .

Majorisierte Konvergenz für Zufallsvariable[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da Zufallsvariable auch nichts anderes als messbare Funktionen auf besonderen Maßräumen, nämlich den Wahrscheinlichkeitsräumen sind, lässt sich der Satz über die majorisierte Konvergenz auch auf Zufallsvariable anwenden. Hier lassen sich sogar die Voraussetzungen an die Folge abschwächen: Es genügt, dass die Folge in Wahrscheinlichkeit konvergiert anstelle der stärkeren Forderung der punktweisen Konvergenz fast überall:

Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum, eine reelle Zahl und sei eine Folge von reellwertigen Zufallsvariablen.

Weiter konvergiere die Folge in Wahrscheinlichkeit gegen eine Zufallsvariable und die Folge werde von einer Zufallsvariablen majorisiert, d. h. für alle gilt -fast überall.

Dann sind alle und auch in und es gilt: Die Folge konvergiert gegen im Sinne von und .

Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Satz von Pratt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus dem Satz von Pratt lässt sich eine Verallgemeinerung des Satzes von der majorisierten Konvergenz herleiten, die auf der Basis der Konvergenz lokal nach Maß aufbaut. Der Satz von Pratt ist eine maßtheoretische Variante des Einschnürungssatzes, setzt man alle einschnürenden Funktionen als eine integrierbare Majorante, so erhält man die angesprochene Verallgemeinerung.

Konvergenzsatz von Vitali[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Konvergenzsatz von Vitali liefert eine Äquivalenz zwischen der Konvergenz lokal nach Maß, der gleichgradigen Integrierbarkeit und der Konvergenz im p-ten Mittel. Da aber jede punktweise fast überall konvergente Funktionenfolge auch lokal nach Maß konvergent ist, und die Existenz einer integrierbaren Majorante ein hinreichendes Kriterium für die gleichgradige Integrierbarkeit einer Funktionenfolge liefert, ist der Satz der majorisierten Konvergenz sehr ähnlich. Ein Unterschied ist jedoch, dass die Integrierbarkeit der Funktionenfolge gefordert wird.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]