Satz von Picard

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Die Sätze von Picard (nach Émile Picard) sind Sätze der Funktionentheorie, eines Teilgebietes der Mathematik.

Sie lauten wie folgt:

Bemerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • In beiden Sätzen ist die eventuelle „Ausnahme eines Punktes“ offenbar nötig. Zum Beispiel bildet nicht auf ab, ebenso ist nicht im Bild von einer jeden punktierten Umgebung von enthalten.
  • Der Kleine Satz folgt sofort aus dem Großen Satz, denn eine ganze Funktion ist entweder ein Polynom oder sie hat eine wesentliche Singularität in .
  • Der Große Satz verallgemeinert den Satz von Weierstraß-Casorati.
  • Eine Vermutung von B. Elsner[2] ist mit dem Großen Satz von Picard verwandt: Sei die punktierte offene Einheitskreisscheibe und eine endliche offene Überdeckung von . Auf jedem sei eine schlichte (d. h. injektive holomorphe) Funktion gegeben, so dass auf jeder Schnittmenge . Dann verschmelzen die Differentiale zu einer meromorphen 1-Form auf der Einheitskreisscheibe . (Im Fall, dass das Residuum verschwindet, folgt die Vermutung aus dem Großen Satz.)

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit Hilfe der Theorie der j-Funktion kann ein kurzer Beweis des kleinen Satzes von Picard gegeben werden. Unter der Annahme, sei ganz und lasse die Werte aus, ist die Funktion

ganz und lässt die Werte 0 und 1 aus. Die j-Funktion bildet nun die mit Spitzen vereinigte obere Halbebene auf eine Riemannsche Fläche mit unendlich vielen Blättern und Verzweigungspunkten an den Bildpunkten und ab. Es folgt, dass ihre Inverse diese Riemannsche Fläche (ohne Einschränkung) auf den Abschluss des Standardfundamentalbereichs abbildet. Da für alle und und , bzw. , ist lokal analytisch für alle komplexen Werte außer 0 und 1. Daraus folgt, dass die Komposition

in jeden Punkt lokal analytisch ist, da gerade 0 und 1 auslässt. Damit lässt sich zu einer ganzen Funktion ausdehnen, für welche allerdings für alle gelten muss, da . Daraus folgt mit dem Satz von Liouville, dass und folglich auch konstant ist.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Heinrich Behnke, Friedrich Sommer: Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1965.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Heinrich Behnke, Friedrich Sommer: Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1965, S. 490.
  2. Bernhard Elsner: Hyperelliptic action integral. In: Annales de l’institut Fourier. Band 49, Nr. 1, 1999, ISSN 1777-5310, S. 303–331 (englisch, numdam.org [PDF; 2,0 MB; abgerufen am 9. September 2010]). S. 330.