Satzgruppe von Vieta

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Der Satz von Vieta oder auch Wurzelsatz von Viëta ist ein mathematischer Lehrsatz aus der elementaren Algebra. Benannt ist er nach dem Mathematiker François Viète, der ihn in seinem Buch „De aequationum recognitione et emendatione Tractatus duo“ bewies.[1] Der Satz macht eine Aussage über den Zusammenhang zwischen den Koeffizienten und den Lösungen einer algebraischen Gleichung.

Aussage[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien und die Koeffizienten der quadratischen Gleichung

und und deren Lösungen (Wurzeln). Dann gilt

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für den Satz gibt es drei wichtige Anwendungen:

  • Es lassen sich damit quadratische Gleichungen zu vorgegebenen Lösungen konstruieren. Beispielsweise lautet eine quadratische Gleichung zu den Lösungen 2 und 3 .
  • Es lassen sich Gleichungssysteme der Form
lösen. Beispielsweise sind die Lösungen und des Systems die Lösungen der zugehörigen quadratischen Gleichung . Nach der Lösungsformel ergibt sich , oder , .
  • Der Satz kann helfen, die Lösungen durch Probieren zu bestimmen: Ist die quadratische Gleichung
gegeben, dann muss für die Nullstellen , gelten:
Wenn wir zunächst nach ganzzahligen Nullstellen suchen, müssen die Nullstellen Teiler der 10 sein, deren Summe 7 ist. Als Teiler von 10 kommen nur 2 und 5 infrage; die sind tatsächlich Nullstellen, da und ist.

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Satz ergibt sich direkt durch Ausmultiplizieren der Nullstellenform nach Koeffizientenvergleich:

und somit und .

Der Beweis ist aber auch elementarer ohne Koeffizientenvergleich möglich. Wenn und Lösungen der Gleichung sind muss gelten. Daraus folgt dann der Rest:

Bei der Rechnung ist die Annahme für das Teilen durch wichtig.

Die Gleichung für erhält man, indem man in einsetzt.

Verallgemeinerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Satz von Vieta über quadratische Gleichungen lässt sich auf Polynomgleichungen bzw. Polynome beliebigen Grades verallgemeinern. Diese Verallgemeinerung des Satzes von Vieta ist die Grundlage für das Lösen von Gleichungen höheren Grades durch Polynomdivision. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra gilt:

Jedes (normierte) Polynom -ten Grades mit Koeffizienten in den komplexen Zahlen lässt sich als Produkt von Linearfaktoren darstellen:

sind die Nullstellen des Polynoms; auch wenn alle Koeffizienten reell sind, können die Nullstellen komplex sein. Nicht alle müssen verschieden sein.

Nun ergibt sich der Satz von Viëta durch Ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich:

,

wobei

die sogenannten Elementarsymmetrischen Polynome in bis sind. Für ein Polynom vierten Grades

ergibt sich:

Eine wichtige Anwendung des Satzes für und ist die Rückführung der kubischen Gleichung auf eine quadratische Gleichung und der Gleichung 4. Grades auf eine kubische Gleichung, die sog. kubische Resolvente.

Allgemein gilt der Wurzelsatz von Viëta auch für Polynome mit Koeffizienten in anderen Körpern, solange diese nur algebraisch abgeschlossen sind.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Walter Gellert: Lexikon der Mathematik. Leipzig: Bibliographisches Institut, 1990, S.578, 200.

Weblink[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Heinz-Wilhelm Alten: 4000 Jahre Algebra. Geschichte, Kulturen, Menschen. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-43554-9, S. 268.