Symmetrisches Polynom

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In der Mathematik heißt ein Polynom in mehreren Unbestimmten symmetrisch, wenn man die Unbestimmten untereinander vertauschen kann, ohne das Polynom zu verändern.

Formale Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es seien eine natürliche Zahl, ein Ring. Dann heißt ein Polynom symmetrisch in , wenn

für alle Permutationen

gilt.

Äquivalente Beschreibungen sind:

  • Für alle ist
das heißt, man kann zwei beliebige Unbestimmte gegeneinander austauschen.
  • Es sei
Dann ist genau dann symmetrisch, wenn
für alle
gilt. Anschaulich bedeutet das, dass der Koeffizient eines Monoms von nur davon abhängt, welche Exponenten wie oft vorkommen, und nicht, bei welchen Unbestimmten.
auf dem Polynomring . Ein Polynom ist genau dann symmetrisch, wenn es invariant unter dieser Operation ist, d. h., wenn
für alle
gilt. Eine mögliche Schreibweise für den Ring der symmetrischen Polynome ist deshalb

Körper der symmetrischen Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wir ersetzen nun den Grundring durch einen Grundkörper . Der Körper der symmetrischen Funktionen ist analog zu obiger Definition der Fixkörper unter , also: .
Die Körpererweiterung ist galoissch mit Galoisgruppe und hat damit Grad

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Das Polynom ist symmetrisch in und , jedoch nicht symmetrisch in .
  • Aus jedem beliebigen Polynom in den Variablen lässt sich ein symmetrisches Polynom bilden indem man die Bilder unter den Permutationen addiert, also:

Elementarsymmetrische Polynome[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine besonders wichtige Sorte symmetrischer Polynome sind die sog. elementarsymmetrischen Polynome. Sie sind Grundbausteine der symmetrischen Polynome in dem Sinn, dass sich letztere stets als Polynom in ersteren ausdrücken lassen und dies auf nur eine Weise.

Zu jeder Anzahl (Symmetriegrad) von Unbestimmten und jedem (Polynom-)Grad gibt es genau ein elementarsymmetrisches Polynom .

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die zwei elementarsymmetrischen Polynome in den Variablen , sind
sowie
  • In drei Variablen , , hat man die drei elementarsymmetrischen Polynome

Potenzsummen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit den Potenzsummen

,

für hat man eine weitere Sorte symmetrischer Polynome. Sie sind über die Newton-Identitäten mit den elementarsymmetrischen Polynomen verbunden. Für hat man beispielsweise:

Und umgekehrt:

Enthält der Ring die rationalen Zahlen , so gilt ein ähnlicher Satz wie bei den elementarsymmetrischen Polynomen:

  • Jedes symmetrische Polynom lässt sich als Polynom in Potenzsummen schreiben.
  • Diese Darstellung ist eindeutig.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]


Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]