Erste internationale Erfahrungen sammelte Shin Min-kyu im Jahr 2017, als er bei den Jugendasienmeisterschaften in Bangkok in 10,83 s den vierten Platz im 100-Meter-Lauf belegte und über 200 Meter in 21,48 s die Goldmedaille gewann. Im Jahr darauf gelangte er bei den Juniorenasienmeisterschaften in Gifu mit 10,53 s auf Rang sechs über 100 Meter und gewann in 21,06 s die Silbermedaille im 200-Meter-Lauf. Zudem belegte er mit der südkoreanischen 4-mal-400-Meter-Staffel in 3:12,87 min den fünften Platz. Anschließend schied er bei den U20-Weltmeisterschaften in Tampere mit 10,62 s in der ersten Runde über 100 Meter aus. 2023 gewann er bei den Asienmeisterschaften in Bangkok in 38,99 s gemeinsam mit Simon Lee, Ko Seung-hwan und Park Won-jin die Bronzemedaille in der 4-mal-100-Meter-Staffel hinter den Teams aus Thailand und der Volksrepublik China. Zudem schied er über 200 Meter mit 21,15 s im Halbfinale aus. Im Oktober schied er bei den Asienspielen in Hangzhou mit 21,07 s im Halbfinale über 200 Meter aus und belegte mit der 4-mal-400-Meter-Staffel in 3:05,89 min den sechsten Platz.
2019 wurde Shin südkoreanischer Meister im 200-Meter-Lauf sowie 2022 und 2023 in der 4-mal-100-Meter-Staffel.
Anmerkung: Bei diesem Artikel wird der Familienname vor den Vornamen der Person gesetzt. Dies ist die übliche Reihenfolge im Koreanischen. Shin ist hier somit der Familienname, Min-kyu ist der Vorname.
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