Silberner Schnitt

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Der silberne Schnitt in einem regelmäßigen Achteck

Der Silberne Schnitt (angelehnt an die Bezeichnung Goldener Schnitt) ist das Teilungsverhältnis einer Strecke oder anderen Größe, bei dem das Verhältnis der Summe des verdoppelten größeren und des kleineren Teils zum größeren Teil gleich dem Verhältnis des größeren zum kleineren Teil ist.

Definition und Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Silberner Schnitt, Proportionen der Streckenteile:

Mit als größerem und als kleinerem Teil sowie als Silbernem Schnitt gilt:

Des Silberne Schnitt erfüllt daher die Gleichung

oder umgeformt ergibt die quadratische Gleichung

.

Wegen folgt daraus

.

Der Silberne Schnitt lässt sich auch durch trigonometrische Funktionen ausdrücken und ist mit dem Winkel verbunden:

Zudem besitzt der Silberne Schnitt ähnlich wie der Goldene Schnitt eine besonders einfache Darstellung als Kettenbruch:

Konstruktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ausgangssituation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Silberner Schnitt in einem halben regelmäßigen Achteck nach dem Satz von Pythagoras:

Ausgehend vom regelmäßigen Achteck mit einer Seitenlänge (wie in der obigen Skizze Der silberne Schnitt in einem regelmäßigen Achteck) soll die folgende Beschreibung zur nebenstehenden Konstruktion die Teilung einer Strecke im Verhältnis des Silbernen Schnittes verdeutlichen.[1]

  • Die geometrische Herleitung des Zahlenwertes von mit Zirkel und Lineal entsteht im Verlauf der Konstruktion. Sie erweist sich als praktikable Alternative zur rechnerischen Herleitung.

Zuerst wird nach dem Ziehen einer horizontalen und einer vertikalen Linie, jeweils ab dem Punkt , um dem Punkt ein Viertelkreis mit dem Radius gezeichnet, damit ergeben sich die Punkte und . Halbiert man nun den rechten Winkel , ergeben sich der Winkel , der Schnittpunkt und somit als Strecke die erste Seite des halben Achtecks. Es folgt ein Kreisbogen mit dem Radius um den Punkt und eine horizontale Linie ab ; beide schneiden sich in und bilden somit als Strecke die zweite Seite des halben Achtecks. Um den Mittelpunkt des halben Achtecks zu erhalten, konstruiert man die zwei Mittelsenkrechten und der beiden Achteckseiten. Anschließend werden durch den Mittelpunkt die horizontale Mittelachse und um der Halbkreis mit dem Radius gezeichnet. Es ergibt sich der Schnittpunkt und somit als Strecke die dritte Seite des halben Achtecks. Die Verbindungen der Punkte und mit dem Mittelpunkt ergeben den Schnittpunkt sowie den Zentriwinkel der Achteckseite. Um das halbe Achteck fertigzustellen, bedarf es noch zweier Senkrechten zur Strecke , jeweils ab den Punkten und bis auf die Mittelachse. Dabei ergeben sich schließlich die beiden Schnittpunkte und .

Die Seite des Dreiecks schneidet die Strecke , deren Länge entspricht, im Punkt und teilt sie dort im Verhältnis des Silbernen Schnittes.

  • Das Ergebnis zeigt, dass jede der beiden Strecken und die Länge hat, daraus folgt:

Innere Teilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Silberner Schnitt, innere Teilung

Für die innere Teilung der Strecke im Verhältnis des Silbernen Schnittes sind aus der Zeichnung des halben regelmäßigen Achtecks prinzipiell folgende Konstruktionselemente ableitbar:

  • Grünes Dreieck
  • Mittelpunkt der Strecke
  • Kreisbogen um , erzeugt Teilungspunkt

Zu Beginn wird die Strecke halbiert, es ergibt sich der Mittelpunkt . Anschließend zieht man den Halbkreis mit dem Radius um den Punkt . Es folgt eine Senkrechte auf die Strecke durch den Punkt , dabei ergibt sich der Schnittpunkt mit dem Halbkreis. Der abschließende Kreisbogen um den Punkt mit dem Radius teilt in die Strecke im Verhältnis des Silbernen Schnittes mit als größerem und als kleinerem Teil.

Äußere Teilung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Silberner Schnitt, äußere Teilung

Ähnlich wie der Goldene Schnitt ist auch der Silberne Schnitt mit einer äußeren Teilung, durch eine Verlängerung der vorgegebenen Strecke, konstruierbar.

Für die äußere Teilung der Strecke im Verhältnis des Silbernen Schnittes sind aus der Zeichnung des halben regelmäßigen Achtecks prinzipiell folgende Konstruktionselemente ableitbar:

  • Grünes Dreieck
  • Kreisbogen um
  • Kreisbogen um , erzeugt die Strecke

Es beginnt mit der Konstruktion eines rechten Winkels (einer Senkrechten) auf der vorgegebenen Strecke im Punkt . Anschließend wird um den Punkt , ab dem Punkt , ein Viertelkreis bis zur Senkrechten gezeichnet, es ergibt sich der Schnittpunkt . Nun folgt die Halbierung des rechten Winkels , dabei ergeben sich der Winkel und der Schnittpunkt . Weiter geht es mit der Verlängerung der Strecke ab dem Punkt um etwa die Hälfte der Strecke . Der abschließende Kreisbogen um den Punkt mit dem Radius verlängert die vorgegebene Strecke in um die Länge der Strecke . Somit ist die Strecke geteilt im Verhältnis des Silbernen Schnittes mit als größerem und als kleinerem Teil.

Silbernes Rechteck[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Silbernes Rechteck,
anhand des Silbernen Schnittes mit innerer Teilung

Ein Rechteck mit den Seitenlängen und heißt silbernes Rechteck, wenn der Quotient der Seitenlängen gerade der Silberne Schnitt ist:

Das Silberne Rechteck kann mit Zirkel und Lineal konstruiert werden.

Um die beiden Seitenlängen und zu finden, wird zunächst eine beliebige Strecke im Verhältnis des Silbernen Schnittes mit einem der beiden oben beschriebenen Verfahren (innere Teilung oder äußere Teilung) geteilt. Die damit ermittelte Seite wird nun in die Senkrechte hochgeklappt und anschließend das Silberne Rechteck fertiggestellt.

Die nebenstehende Konstruktion zeigt, der Mittelpunkt der Strecke teilt jetzt die Seitenlänge im Verhältnis des Silbernen Schnittes. Es entstehen dadurch die Seitenlängen und eines weiteren Silbernen Rechtecks, was mit der Konstruktion neuer „silberner“ Paare natürlich beliebig weit fortgesetzt werden kann.

Anders als beim Goldenen Schnitt und beim Goldenen Rechteck gibt es nur eher wenige Beispiele aus dem Alltag, wo man diesen Quotienten beobachten kann. So gibt es beispielsweise Autos, deren Länge und Breite dem silbernen Schnitt entsprechen. Eine einfache Möglichkeit, ein silbernes Rechteck selbst zu erstellen, ist mithilfe eines DIN-A4-Blattes. Dieses hat ein Seitenverhältnis von . Durch Knicken und Schneiden kann man so ein silbernes Rechteck konstruieren.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Donald B. Coleman: The Silver Ratio: A Vehicle for Generalization. The Mathematics Teacher, Vol. 82, No. 1 (Januar 1989), S. 54–59 (JSTOR).

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Siehe dazu Hans Walser: Kolloquium über Mathematik, Informatik und Unterricht. In: 4.3 Diagonalenschnittwinkel im Silbernen Rechteck, 5. Das regelmäßige Achteck. 20. November 2014, abgerufen am 20. Juni 2017.