Quadrat

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Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig. Weitere Bedeutungen sind unter Quadrat (Begriffsklärung) aufgeführt.
Quadrat mit Seitenlänge a und Diagonale d

In der Geometrie ist ein Quadrat (veraltet auch Geviert) ein spezielles Polygon, nämlich ein ebenes, konvexes und regelmäßiges Viereck. Das Quadrat ist ein Sonderfall des Parallelogramms, des Trapezes, des Rechtecks und der Raute. Für die Konstruktion eines Quadrats genügt eine Angabe, z. B. der Länge der Seite oder der Diagonale.

Quadrate sind die Begrenzungsflächen eines der platonischen Körper (= dreidimensionale reguläre Polytope), nämlich des Würfels. Das Quadrat ist zudem ein Stein einer regulären Parkettierung. Als Spezialfall entsprechender allgemeiner n-dimensionaler Körper ist das Quadrat sowohl der zweidimensionale Hyperwürfel als auch das zweidimensionale Kreuzpolytop.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Quadrat mit Umkreis und Inkreis

Für das Quadrat gilt:

Formelsammlung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Größen eines Quadrats mit der Seitenlänge a 
Umfang u = \, 4 \cdot a
Zentriwinkel  \alpha = \frac{360^\circ}{4} = 90^\circ
Innenwinkel  \delta = 180^\circ - \alpha = 90^\circ
Inkreisradius r_i = \frac{1}{2} a
Umkreisradius r_u =  a \, \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{d}{2}
Diagonalenlänge d = \, a \cdot \sqrt{2} = 2 r_u
Flächeninhalt A = a^2 = \frac{d^2}{2}

Konstruktion eines Quadrats[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Quadrat mit gegebener Seitenlänge ist mit Zirkel und Lineal konstruierbar.

Quadrat mit gegebener Seitenlänge, Animation
rechten Winkel mithilfe des Thaleskreises gefunden

Verallgemeinerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Begriff Quadrat wird in der synthetischen Geometrie der affinen Ebene verallgemeinert, indem eine der äquivalenten Aussagen, die ein Quadrat in der elementaren Geometrie beschreiben, zur Definition des Begriffes verwendet wird. Zum Beispiel wird für präeuklidische Ebenen die Existenz dieser Figuren zu einem zusätzlichen Axiom.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Wiktionary: Quadrat – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen
 Commons: Quadrate – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
 Wikibooks: Quadrat – Lern- und Lehrmaterialien