Sphärisches Pendel

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Ein sphärisches Pendel, auch Kugelpendel oder räumliches Pendel, ist ein Pendel, dessen Aufhängung Ausschläge in unterschiedliche Richtungen zulässt. Im Unterschied zum (ebenen) Kreispendel, bei dem die Bewegung der Pendelmasse auf einen vertikalen Kreis beschränkt ist, bewegt sich beim (räumlichen) Kugelpendel die Pendelmasse auf einer Kugelfläche.

Ein Spezialfall des Kugelpendels ist das konische Pendel, auch Kegelpendel, Kreispendel, Rundlaufpendel oder Zentrifugalpendel, bei dem sich die Pendelmasse auf einer horizontalen Kreisbahn und der Faden deshalb auf einer Kegelfläche bewegt.[1]

In der theoretischen Behandlung des sphärischen Pendels wird vereinfachend die Aufhängung als masselos und der Pendelkörper als punktförmig angenommen sowie der Einfluss der Reibung vernachlässigt. Neben der Energieerhaltung ist beim sphärischen Pendel auch die Drehimpulserhaltung von Bedeutung. Die Projektion des Pendelfadens auf eine horizontale Ebene überstreicht daher in gleichen Zeiten gleiche Flächen (siehe Flächensatz).

Eine Anwendung des sphärischen Pendels ist das Foucaultsche Pendel, mit dessen Hilfe ohne Bezug auf Beobachtungen am Himmel die Erdrotation anschaulich nachgewiesen werden kann.

Mathematische Betrachtungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da sich die Pendelmasse des Kugelpendels auf einer Kugelfläche bewegt, lässt sich seine Bewegung am besten in Kugelkoordinaten beschreiben:

Dabei ist

  • die Länge des Pendels, die sich wegen der starren Verbindung zwischen Aufhängungspunkt und Pendelkörper nicht ändern kann
  • der Polarwinkel die Auslenkung der Gleichgewichtslage
  • der Azimutwinkel die Rotation um die senkrechte -Achse.

Auf den Pendelkörper wirken im homogenen Schwerefeld zwei Kräfte:

  • die Gewichtskraft in negative -Richtung, d. h. senkrecht nach unten
  • die Zwangskraft durch den „Faden“ des Pendels. Da der Faden nicht nur Zug-, sondern auch Druckkräfte aufnehmen kann, stellt man sich besser einen sehr dünnen, starren Stab vor. wirkt stets in radialer Richtung zum Aufhängepunkt hin oder von ihm weg, es handelt sich also um eine Zentralkraft. hängt wegen der auftretenden Trägheitskräfte nicht nur vom Ort ab, sondern auch von der Geschwindigkeit .

Die Resultierende aus beiden Kräften weist stets in tangentialer Richtung bezüglich der o. g. Kugelfläche. Weil sie mit der -Achse und in einer Ebene liegt, bewirkt sie nur Beschleunigungen in Richtung des Polarwinkels und lässt insbesondere die -Komponente des Drehimpulses unverändert.

Die potenzielle Energie des Pendels bezüglich des Aufhängepunktes beträgt

Die kinetische Energie beträgt

.

Es ergeben sich z. B. nSach Lagrange zwei gekoppelte Differentialgleichungen in den Variablen und . Da eine zyklische Variable ist, die weder in der potentiellen noch in der kinetischen Energie auftritt, ist mit ihr nach dem Noether-Theorem eine Erhaltungsgröße verbunden. Diese Erhaltungsgröße ist der Drehimpuls in -Richtung:

Dadurch entkoppelt die Differentialgleichung für zu

.

Diese Gleichung ist im Allgemeinen nicht elementar lösbar, und es ergeben sich mehr oder weniger komplexe Bewegungen. Außer für den Spezialfall, dass ist, oder für die u.g. trivialen Lösungen führt der erste Term dieser Gleichung dazu, dass die Punkte oder nie erreicht werden können.

Spezielle Lösungen der Gleichungen für das sphärische Pendel sind insbesondere:

  • ist der Spezialfall des mathematischen Pendels: es findet keine Rotation um die -Achse statt, der Pendelkörper führt Schwingungen um seine Gleichgewichtslage nur in einer Ebene aus. Bei sehr kleinen Auslenkungen können diese Schwingungen näherungsweise als harmonisch angesehen werden. Zwei Sonderfälle des mathematischen Pendels und somit auch des sphärischen Pendels sind die trivialen Lösungen
    • : Das Pendel verharrt in seiner stabilen Gleichgewichtslage senkrecht unter der Aufhängung in Ruhe.
    • : Hierbei steht der Pendelkörper senkrecht über dem Aufhängepunkt. Es handelt sich um eine labile Gleichgewichtslage.
  • : Diese Lösung führt auf ; das Pendel rotiert mit einer fixen Auslenkung und konstanter Winkelgeschwindigkeit um die -Achse. Seine Bewegung gleicht hier einem Kegelpendel.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Bergmann-Schaefer Lehrbuch der Experimentalphysik, Band 1: Mechanik, Akustik, Wärme, IV. Kapitel, Abschnitt 35

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]