Tangenssatz

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In der Trigonometrie stellt der Tangenssatz (auch Tangentensatz und Regel von Napier) eine Beziehung zwischen den drei Seiten eines ebenen Dreiecks und dem Tangens der halben Summe bzw. der halben Differenz zweier Winkel des Dreiecks her.

Für die drei Seiten a, b und c eines Dreiecks sowie für die diesen Seiten jeweils gegenüber liegenden Winkel α, β und γ gilt:

Wegen kann man diese Formel auch schreiben als

Analoge Formeln für und erhält man durch zyklische Vertauschung:

Wegen bleibt eine dieser Formel gültig, wenn sowohl die Seiten als auch die zugehörigen Winkel vertauscht werden, also etwa:

Beweis mit Sinussatz und Identitäten der Winkelfunktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nach dem Sinussatz gilt und damit folgt:

nach Einsetzen der Identitäten

sowie

,

die sich aus den Additionstheoremen ableiten lassen, ergibt sich per Division die gewünschte Formel.

Beweis mit Mollweideschen Formeln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit Winkelsumme im Dreieck und Übergang zum Komplementärwinkel:

(1)

Aus den Mollweideschen Formeln folgt mit (1):

q.e.d.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]