Sinussatz

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In der ebenen und sphärischen Trigonometrie stellt der Sinussatz eine Beziehung zwischen den Winkeln eines allgemeinen Dreiecks und den gegenüberliegenden Seiten her.

Sinussatz für ebene Dreiecke[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sinussatz

Sind , und die Seiten eines Dreiecks mit dem Flächeninhalt , den Winkeln , und die der zugehörigen Seite gegenüber liegen und dem Radius des Umkreises, dann gilt mit der Sinusfunktion:

Wenn mit Hilfe des Sinussatzes Winkel im Dreieck errechnet werden sollen, muss darauf geachtet werden, dass es im Intervall [0°;180°] im Allgemeinen zwei verschiedene Winkel mit demselben Sinuswert gibt. Diese Zweideutigkeit entspricht der des Kongruenzsatzes SSW.

Zum Zusammenhang mit den Kongruenzsätzen und zur Systematik der Dreiecksberechnung siehe den Artikel zum Kosinussatz.

In der sphärischen Trigonometrie gibt es einen entsprechenden Satz, der ebenfalls als Sinussatz bezeichnet wird.

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Dreieck mit Höhe

Die eingezeichnete Höhe zerlegt das Dreieck in zwei rechtwinklige Teildreiecke, in denen man den Sinus von und jeweils als Quotient von Gegenkathete und Hypotenuse ausdrücken kann:

Auflösen nach ergibt:

Durch Gleichsetzen erhält man demnach

Dividiert man nun durch , so erhält man den ersten Teil der Behauptung:

Die Gleichheit mit ergibt sich entsprechend durch Benutzung der Höhe oder . Um auch noch die Übereinstimmung mit zu zeigen, die streng genommen nicht zum Sinussatz gehört, benötigt man den bekannten Satz über Peripheriewinkel (Umfangswinkel) oder den Kosinussatz zusammen mit dem Peripherie-/Zentriwinkelsatz.

Beweis siehe auch: Wikibooks-Beweisarchiv

Zusammenhang mit dem Umkreis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Dowód sinusów2.svg

Auf dem Umkreis des Dreiecks ABC soll D der Punkt sein, der zusammen mit dem Punkt A einen Durchmesser bildet, sodass die Verbindung von A und D durch den Mittelpunkt des Umkreises verläuft (siehe Abbildung). Dann ist ABD nach dem Satz des Thales ein rechtwinkliges Dreieck und es gilt:

Nach dem Umfangswinkelsatz sind die Umfangswinkel und über der Seite gleich groß, also gilt:

Entsprechend gilt auch und , also insgesamt

Anwendungsbeispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die folgenden Zahlenwerte sind grobe Näherungen. In einem Dreieck ABC sind folgende Seiten- und Winkelgrößen bekannt (Bezeichnungen wie üblich):

Gesucht sind die Größen der restlichen Seiten und Winkel. Als erstes verwendet man den Sinussatz zur Berechnung von . Danach gilt

was sich umformen lässt zu

woraus sich mit Hilfe des Arkussinus, der Umkehrfunktion des Sinus,

errechnen lässt.

Eigentlich gibt es noch einen zweiten Winkel mit demselben Sinuswert, nämlich . Dieser kommt als Lösung aber nicht in Betracht, da sonst die Winkelsumme des Dreiecks die vorgeschriebenen überschreiten würde.

erhält man nun mit Hilfe der Winkelsumme

Die Seitenlänge soll wieder mit dem Sinussatz ermittelt werden. (Auch der Kosinussatz wäre hier möglich.) Es gilt

Durch Umformung gelangt man so zum Ergebnis

Sinussatz für Kugeldreiecke[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für Kugeldreiecke gelten die Gleichungen

Dabei sind , und die Seiten (Kreisbögen) des Kugeldreiecks und , und die gegenüber liegenden Winkel auf der Kugeloberfläche.

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sine law spherical small.svg

Der Radius der Einheitskugel ist gegeben durch

Der Punkt liegt auf dem Radius und der Punkt liegt auf dem Radius , sodass . Der Punkt liegt auf der Ebene , sodass gilt. Daraus folgt und . Weil die senkrechte Projektion von auf die Ebene ist, gilt . Nach Definition des Sinus gilt:

Außerdem ist . Einsetzen ergibt

Entsprechend erhält man , also insgesamt

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Manfred Leppig (Hrsg.): Lernstufen Mathematik. 1. Auflage, 4. Druck. Girardet, Essen 1981, ISBN 3-7736-2005-5, S. 189–190.
  • H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer: Geometry Revisited. Washington, DC: Math. Assoc. Amer., S. 1–3 (Online-Kopie)

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Commons: Sinussatz – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
Wiktionary: Sinussatz – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen