In der ebenen und sphärischen Trigonometrie stellt der Sinussatz eine Beziehung zwischen den Winkeln eines allgemeinen Dreiecks und den gegenüberliegenden Seiten her.
Sind , und die Seiten eines Dreiecks mit dem Flächeninhalt , den Winkeln , und , die der zugehörigen Seite gegenüber liegen, und dem Radius des Umkreises, dann gilt mit der Sinusfunktion:
Wenn mit Hilfe des Sinussatzes Winkel im Dreieck errechnet werden sollen, muss darauf geachtet werden, dass es im Intervall [0°;180°] im Allgemeinen zwei verschiedene Winkel mit demselben Sinuswert gibt. Diese Zweideutigkeit entspricht der des Kongruenzsatzes SSW.
Zum Zusammenhang mit den Kongruenzsätzen und zur Systematik der Dreiecksberechnung siehe den Artikel zum Kosinussatz.
In der sphärischen Trigonometrie gibt es einen entsprechenden Satz, der ebenfalls als Sinussatz bezeichnet wird.
Die eingezeichnete Höhe zerlegt das Dreieck in zwei rechtwinklige Teildreiecke, in denen man den Sinus von und jeweils als Quotient von Gegenkathete und Hypotenuse ausdrücken kann:
Auflösen nach ergibt:
Durch Gleichsetzen erhält man demnach
Dividiert man nun durch , so erhält man den ersten Teil der Behauptung:
Die Gleichheit mit ergibt sich entsprechend durch Benutzung der Höhe oder . Um auch noch die Übereinstimmung mit zu zeigen, die streng genommen nicht zum Sinussatz gehört, benötigt man den bekannten Satz über Peripheriewinkel (Umfangswinkel) oder den Kosinussatz zusammen mit dem Peripherie-/Zentriwinkelsatz (siehe weiter unten).
Stumpwinkliges Dreieck mit Höhe
Da diese Herleitung nur für Dreiecke mit spitzen Winkeln anwendbar ist, wird bei Dreiecken mit einem stumpfen Winkel, bei welchem die Höhe außerhalb des Dreiecks liegt, der Sinussatz folgendermaßen bewiesen:
durch Auflösen nach und Gleichstellen erhält man:
Dividieren beider Seiten durch und ergibt:
Da für stumpfe Winkel gilt, ergibt sich auch bei stumpfen Winkeln:
Auf dem Umkreis des Dreiecks ABC soll D der Punkt sein, der zusammen mit dem Punkt A einen Durchmesser bildet, sodass die Verbindung von A und D durch den Mittelpunkt des Umkreises verläuft (siehe Abbildung). Dann ist ABD nach dem Satz des Thales ein rechtwinkliges Dreieck und es gilt:
Nach dem Umfangswinkelsatz sind die Umfangswinkel und über der Seite gleich groß, also gilt:
Die folgenden Zahlenwerte sind grobe Näherungen. In einem Dreieck ABC sind folgende Seiten- und Winkelgrößen bekannt (Bezeichnungen wie üblich):
Gesucht sind die Größen der restlichen Seiten und Winkel. Als erstes verwendet man den Sinussatz zur Berechnung von . Danach gilt
was sich umformen lässt zu
woraus sich mit Hilfe des Arkussinus, der Umkehrfunktion des Sinus,
errechnen lässt.
Eigentlich gibt es noch einen zweiten Winkel mit demselben Sinuswert, nämlich . Dieser kommt als Lösung aber nicht in Betracht, da sonst die Winkelsumme des Dreiecks die vorgeschriebenen
überschreiten würde.
erhält man nun mit Hilfe der Winkelsumme
Die Seitenlänge soll wieder mit dem Sinussatz
ermittelt werden. (Auch der Kosinussatz wäre hier möglich.)
Es gilt
Der Punkt liegt auf dem Radius und der Punkt liegt auf dem Radius , sodass . Der Punkt liegt auf der Ebene, sodass gilt. Daraus folgt und . Weil die senkrechte Projektion von auf die Ebene ist, gilt . Nach Definition des Sinus gilt:
