Torsionstensor

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Der Torsionstensor ist ein mathematisches Objekt aus dem Bereich der Differentialgeometrie. Eingeführt wurde dieses Tensorfeld von Élie Cartan in seinen Studien zur Geometrie und Gravitation.[1]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit zusammen mit einem affinen Zusammenhang . Der Torsionstensor ist ein Tensorfeld, das durch

definiert ist. Dabei sind zwei Vektorfelder und meint die Lie-Klammer.[2]

Lokale Darstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein lokaler Rahmen des Tangentialbündels . Das sind Schnitte im Tangentialbündel, die in jedem Tangentialraum eine Vektorraumbasis bilden. Setzt man , und , dann gilt für die Komponenten des Torsionstensors in lokalen Koordinaten

Dabei bezeichnen die Symbole die Christoffel-Symbole. Da es immer möglich ist, den lokalen Rahmen so zu wählen, dass die Lie-Klammer überall verschwindet, gilt in diesen Koordinaten für die Komponenten des Tensorfelds

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Der Torsionstensor ist ein (2,1)-Tensorfeld, ist also insbesondere -linear in seinen drei Argumenten.
  • Der Torsionstensor ist schiefsymmetrisch, das heißt, es gilt .

Symmetrischer Zusammenhang[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein affiner Zusammenhang heißt symmetrisch oder torsionsfrei, wenn der Torsionstensor verschwindet, wenn also

oder äquivalent

gilt. Der wichtigste symmetrische Zusammenhang ist der Levi-Civita-Zusammenhang, der zusätzlich noch metrisch ist.

Für symmetrische Zusammenhänge kann eine Art Verallgemeinerung des Satzes von Schwarz für differenzierbare Kurven bewiesen werden. Sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit symmetrischem Zusammenhang und eine glatte Homotopie von glatten Kurven, dann gilt

Einfach ausgedrückt kann im Fall eines symmetrischen Zusammenhangs also die Ableitung nach mit der nach vertauscht werden.[3]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Elie Cartan: On manifolds with an Affine Connection and the Theory of General Relativity (= Monographs and Textbooks in Physical Science 1). Bibliopolis, Neapol 1986, ISBN 88-7088-086-9 (Engl. transl. of French original 1922/23: Sur les variétés à connexion affine et la théorie de la relativité généralisée).
  2. John M. Lee: Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature (= Graduate Texts in Mathematics 176). Springer, New York NY u. a. 1997, ISBN 0-387-98322-8, S. 68.
  3. John M. Lee: Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature (= Graduate Texts in Mathematics 176). Springer, New York NY u. a. 1997, ISBN 0-387-98322-8, S. 97–98.