Satz von Vieta

Der Satz von Vieta oder auch Wurzelsatz von Vieta ist ein mathematischer Lehrsatz aus der elementaren Algebra. Benannt ist er nach dem Mathematiker François Viète, der ihn in seinem postum erschienenen Werk De aequationum recognitione et emendatione tractatus duo (Zwei Abhandlungen über die Untersuchung und Verbesserung von Gleichungen) bewies. Der Satz macht eine Aussage über den Zusammenhang zwischen den Koeffizienten und den Lösungen einer algebraischen Gleichung.

Die Aussage und ihre Umkehrung

Der Satz von Vieta besagt: Sind $x_{1}$und $x_{2}$ die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung $x^{2}+px+q=0$, dann ist

$x_{1}+x_{2}=-p\quad {\text{und}}\quad x_{1}\cdot x_{2}=q.$

Es gilt auch die Umkehrung des Satzes: Erfüllen $x_{1},x_{2},p$ und $q$ die Gleichungen $x_{1}+x_{2}=-p$ und $x_{1}\cdot x_{2}=q$, so sind $x_{1}$ und $x_{2}$ die beiden Lösungen der Gleichung

$x^{2}+px+q=0.$

Beispiele

Für den Satz und seine Umkehrung gibt es drei wichtige Anwendungen:

• Es lassen sich damit quadratische Gleichungen zu vorgegebenen Lösungen konstruieren. Möchte man beispielsweise eine quadratische Gleichung $x^{2}+px+q=0$ mit den Lösungen $x_{1}=2$ und $x_{2}=3$ konstruieren, so setzt man $p:=-(x_{1}+x_{2})=-5$ und $q:=x_{1}\cdot x_{2}=6$ und erhält damit die gesuchte Gleichung $x^{2}-5x+6=0$. Hieraus lassen sich durch Äquivalenzumformungen alle weiteren quadratischen Gleichungen mit den Lösungen $x_{1}=2$ und $x_{2}=3$ erzeugen.
• Es lassen sich Gleichungssysteme der Form

${\begin{aligned}x_{1}+x_{2}&=-p\\x_{1}\cdot x_{2}&=q\end{aligned}}$

lösen. Beispielsweise sind die Lösungen $x$ und $y$ des Systems $x+y=-(-5),x\cdot y=6$ die Lösungen der zugehörigen quadratischen Gleichung $x^{2}-5x+6=0$. Nach der Lösungsformel ergibt sich $x=2$, $y=3$ oder $x=3$, $y=2$.

• Der Satz kann manchmal (insbesondere, wenn vermutet wird, dass die Gleichung ganzzahlige Lösungen hat) helfen, die Lösungen einer quadratischen Gleichung durch Probieren zu finden: Ist die quadratische Gleichung

$x^{2}-7x+10=0$

gegeben, dann muss für potenzielle Nullstellen $x_{1}$, $x_{2}$ gelten:

${\begin{aligned}x_{1}+x_{2}&=-(-7)=7\\x_{1}\cdot x_{2}&=10\,.\end{aligned}}$

Ganzzahligen Nullstellen müssen also Teiler und Gegenteiler der 10 sein, deren Summe 7 ist. Als Teilerpaare kommen $(1,10)$, $(2,5)$, $(-2,-5)$, oder $(-1,-10)$ in Frage. 2 und 5 sind tatsächlich Nullstellen, da $2+5=7$ und $2\cdot 5=10$ ist.

Beweise

Beweis des Satzes von Vieta

Der Satz ergibt sich direkt durch Ausmultiplizieren der Nullstellenform durch Koeffizientenvergleich:

${\begin{aligned}x^{2}+px+q&=(x-x_{1})\cdot (x-x_{2})\\&=x^{2}-(x_{1}+x_{2})\cdot x+x_{1}\cdot x_{2}\end{aligned}}$

und somit $p=-(x_{1}+x_{2})$ und $q=x_{1}\cdot x_{2}$.

Alternativer Beweis

Alternativ folgt der Satz aus der pq-Formel: Für die Lösungen der Gleichung $x^{2}+px+q=0$ gilt

$x_{1}=-{\frac {p}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}$ und $x_{2}=-{\frac {p}{2}}-{\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}.$

Addieren der beiden Gleichungen ergibt

$x_{1}+x_{2}=-{\frac {p}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}+\left(-{\frac {p}{2}}-{\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}\right)=-p$.

Multiplizieren ergibt nach der dritten binomischen Formel

$x_{1}\cdot x_{2}=\left(-{\frac {p}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}\right)\cdot \left(-{\frac {p}{2}}-{\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}\right)=\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-\left(\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q\right)=q$.

Beweis der Umkehrung

Sind $x_{1},x_{2},p$ und $q$ mit $x_{1}+x_{2}=-p$ und $x_{1}\cdot x_{2}=q$, so zeigt man die Behauptung, indem man $p$ und $q$ in der Gleichung $x^{2}+px+q=0$ geeignet substituiert und $x_{1}$ bzw. $x_{2}$ einsetzt.

Verallgemeinerung

Der Satz von Vieta über quadratische Gleichungen lässt sich auf Polynomgleichungen bzw. Polynome beliebigen Grades verallgemeinern. Diese Verallgemeinerung des Satzes von Vieta ist die Grundlage für das Lösen von Gleichungen höheren Grades durch Polynomdivision. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra gilt:

Jedes (normierte) Polynom $n$-ten Grades mit Koeffizienten in den komplexen Zahlen lässt sich als Produkt von $n$ Linearfaktoren darstellen:

$P(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{2}x^{2}+a_{1}x^{1}+a_{0}=(x-x_{1})(x-x_{2})\dotsm (x-x_{n}).$

$x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n}$ sind die Nullstellen des Polynoms; auch wenn alle Koeffizienten $a_{0},a_{1},\dotsc ,a_{n-1}$ reell sind, können die Nullstellen komplex sein. Nicht alle $x_{i}$ müssen verschieden sein.

Nun ergibt sich der Satz von Vieta durch Ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich:

$a_{n-j}=(-1)^{j}\sigma _{j},\quad j=1,\dotsc ,n$,

wobei

$\sigma _{k}=\sum _{1\leq i_{1}<i_{2}<\dotsb <i_{k}\leq n}x_{i_{1}}\cdots x_{i_{k}}$

die sogenannten Elementarsymmetrischen Polynome in $x_{1}$ bis $x_{n}$ sind.

Der Aufbau der Koeffizienten für das oben gezeigte Polynom $\textstyle P(x)$ vom Grad $n$ in Normalform lässt sich ganz allgemein so angeben:

${\begin{array}{r c l}a_{n-1}&=&-(x_{1}+x_{2}+\dotsb +x_{n})\\a_{n-2}&=&+(x_{1}\cdot x_{2}+x_{1}\cdot x_{3}+\dotsb +x_{2}\cdot x_{3}+\dotsb +x_{n-1}\cdot x_{n})\\a_{n-3}&=&-(x_{1}\cdot x_{2}\cdot x_{3}+x_{1}\cdot x_{2}\cdot x_{4}+\dotsb +x_{2}\cdot x_{3}\cdot x_{4}+\dotsb +x_{n-2}\cdot x_{n-1}\cdot x_{n})\\&\vdots &\\a_{0}&=&(-1)^{n}\cdot x_{1}\cdot x_{2}\dotsm x_{n}\\\end{array}}$

Beispiel

Für ein Polynom vierten Grades

$P(x)=x^{4}+a_{3}\cdot x^{3}+a_{2}\cdot x^{2}+a_{1}\cdot x+a_{0}=(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})(x-x_{4})$

ergibt sich:

${\begin{array}{r c l c l}-a_{3}&=&\sigma _{1}&=&x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}\\a_{2}&=&\sigma _{2}&=&x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4}\\-a_{1}&=&\sigma _{3}&=&x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4}\\a_{0}&=&\sigma _{4}&=&x_{1}x_{2}x_{3}x_{4}\\\end{array}}$

Eine wichtige Anwendung des Satzes für $n=3$ und $n=4$ ist die Rückführung der kubischen Gleichung auf eine quadratische Gleichung und der Gleichung 4. Grades auf eine kubische Gleichung, die sog. kubische Resolvente.

Allgemein gilt der Wurzelsatz von Vieta auch für Polynome mit Koeffizienten in anderen Körpern, solange diese nur algebraisch abgeschlossen sind.

Literatur

• Walter Gellert: Lexikon der Mathematik. Leipzig: Bibliographisches Institut, 1990, S. 578, 200.

Weblink

• Beweis durch direkte Rechnung (für Schüler) auf der Web-Site von Rudolf Brinkmann