Zufälliges Maß

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Ein zufälliges Maß ist in der Maß- und der Wahrscheinlichkeitstheorie eine Zufallsvariable, deren Werte Maße sind. Zufällige geometrische Strukturen, wie sie in der stochastischen Geometrie untersucht werden, können durch zufällige Maße modelliert werden. So kann ein Punktprozess, wie beispielsweise ein allgemeiner Poisson-Prozess, als zufälliges Zählmaß angesehen werden, das einer Menge die zufällige Anzahl der in ihr enthaltenen Punkte zuordnet. In der nichtparametrischen Statistik treten zufällige Maße als empirische Maße auf.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es seien der -dimensionale euklidische Raum mit der borelschen σ-Algebra und die Menge aller lokal endlichen Maße (Borel-Maße) auf . Weiter bezeichne die kleinste σ-Algebra auf , so dass alle Abbildungen , wobei eine beschränkte Borelmenge ist, messbar sind. Ein zufälliges Maß auf ist dann eine Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum mit Werten im Messraum .

Ein zufälliges Maß ordnet also jedem Zufallsergebnis ein Maß auf zu, das auf beschränkten messbaren Mengen endliche Werte annimmt. Für jede beliebige Borelmenge ist

eine nichtnegative Zufallsvariable, genannt das zufällige Maß der Menge .

Bezeichnet den Erwartungswert von , dann ist durch die Abbildung

ein Maß auf gegeben, das Intensitätsmaß von genannt wird. Wenn wieder lokal-endlich ist, heißt integrierbar.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine zufällige Anordnung von Punkten in der Ebene oder im Raum kann als zufälliges Maß modelliert werden: Sind die Positionen von Punkten, aufgefasst als -wertige Zufallsvariable, dann wird durch

ein zufälliges Maß auf definiert. Hierbei bezeichnet das Diracmaß an der Stelle . Für eine Borelmenge ist dann die (zufällige) Anzahl der Punkte, die in der Menge liegen.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Olav Kallenberg: Random measures 4th edition, (revised printing of the 3rd edition 1983). Akademie-Verlag u. a., Berlin u. a. 1986, ISBN 0-12-394960-2.
  • Dietrich Stoyan, Wilfrid S. Kendall, Joseph Mecke: Stochastic Geometry and Its Applications (= Wiley Series in Probability and Statistics). 2. Auflage. Wiley, Chichester u. a. 1995, ISBN 0-471-95099-8, Kap. 7.
  • Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2., korrigierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2008, ISBN 978-3-540-76317-8, Kap. 24.