In der Mathematik bezeichnet der Träger (engl. support) meist die abgeschlossene Hülle der „Nichtnullstellenmenge“ einer Funktion oder anderer Objekte.
Analysis
Träger einer Funktion
Der Träger von
wird meist mit
oder
bezeichnet.
Sei
ein topologischer Raum und
eine Funktion.
Der Träger von
besteht dann aus der abgeschlossenen Hülle der Nichtnullstellenmenge von
, formal:
![{\displaystyle \operatorname {Tr} (f)=\operatorname {supp} (f):={\overline {\{x\in A\mid f(x)\neq 0\}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f242a222f6f0359b38298296b4c50d337f056332)
Träger einer Distribution
Sei
eine offene Teilmenge des
und
eine Distribution. Man sagt, dass ein Punkt
zum Träger von
gehört, und schreibt
, wenn für jede offene Umgebung
von
eine Funktion
existiert mit
.
Falls
eine reguläre Distribution
mit stetigem f ist, so ist diese Definition äquivalent zur Definition des Trägers einer Funktion (der Funktion f).
Träger eines Borelmaßes
Der Träger eines positiven Borelmaßes auf einem topologischen Raum ist das Komplement der größten offenen Menge mit Maß 0.
Beispiele
Ist
mit
, dann ist
, denn die Nichtnullstellenmenge von
ist
, deren Abschluss ganz
ist. Dasselbe gilt für jede Polynom-Funktion außer der Nullfunktion.
Ist
mit
, falls
, sonst
, dann ist
die Menge
.
Ist
die charakteristische Funktion von
, falls
, und
, falls
, dann ist der Träger
, also der Abschluss von
.
Sei
eine offene Teilmenge des
.
Die Menge aller stetigen Funktionen von
nach
mit kompaktem Träger bildet einen Vektorraum, der mit
bezeichnet wird.
Die Menge
aller glatten (unendlich oft stetig differenzierbaren) Funktionen mit kompaktem Träger in
spielt als Menge der „Testfunktionen“ eine große Rolle in der Theorie der Distributionen.
Die Delta-Distribution
hat den Träger
, denn mit
gilt: Ist
aus
, dann ist
.
Garbentheorie
Es sei
eine Garbe abelscher Gruppen über einem topologischen Raum
.
Träger eines Schnittes
Für eine offene Teilmenge
und einen Schnitt
heißt die Menge derjenigen Punkte
, für die das Bild von
im Halm
ungleich null ist, der Träger von
, meist mit
oder
bezeichnet.
Der Träger eines Schnittes ist stets abgeschlossen.
Träger einer Garbe
Der Träger von
selbst ist die Menge der Punkte
, für die der Halm
ungleich null ist.
Der Träger einer Garbe ist nicht notwendigerweise abgeschlossen, der Träger einer kohärenten Modulgarbe hingegen schon.
Literatur
- Roger Godement: Théorie des faisceaux. Hermann, Paris 1958.